备战2023年高考数学二轮专题复习专题练　第10练　零点问题.docx

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1、第10练零点问题考情分析在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现一、 判断零点个数问题例1(2019全国)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯一极大值点，即f(x)在上存在唯一极

2、大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)上单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)上单调递减，又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0上的唯一零点当x时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，而f(0)0，f0；当x时，f(x)0，所以当x时，f(x)0，从而f(x)在上没有零点当x时，f(x)0，f()1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)上没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点规律方法利用导数研究函数的零点(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的

3、情况，进而判断函数零点个数(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类跟踪训练1(2022浙江精诚联盟联考)已知函数f(x)exasin x，g(x)ln(x1)asin x.(1)若yf(x)在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)cos x在(1，)上恒成立，判断函数g(x)在(1,1)上的零点个数，并说明理由解(1)因为f(x)exasin x，所以f(x)exacos x，因为yf(x)在上单调递增，所以exacos x0在区间上恒成立，当x时，exa

4、cos x0显然成立，当x时，exacos x0恒成立等价于a恒成立，故令h(x)，x，则h(x)0在上恒成立，所以函数h(x)在上单调递增，所以h(x)minh(0)1，所以a1.故实数a的取值范围是(，1(2)设F(x)f(x)cos xexasin xcos x，易知F(0)0，因为不等式F(x)0在(1，)上恒成立，所以0是函数F(x)的极值点，因为F(x)exacos xsin x，所以F(0)1a0，解得a1.所以g(x)ln(x1)sin x，因为g(0)0，故0是函数g(x)的一个零点g(x)cos x，令u(x)cos x，则u(x)sin x，当x(1,0)时，u(x)si

5、n x0恒成立，所以g(x)在(1,0)上单调递减，由于g(x)g(0)0，所以g(x)在(1,0)上单调递增，所以g(x)g(0)0，所以g(x)在区间(1,0)上无零点当x(0,1)时，由于函数y，ysin x在区间(0,1)上均为增函数，所以u(x)sin x在区间(0,1)上为增函数，因为u(0)10，所以存在唯一x0(0,1)，使得u(x0)0，所以g(x)cos x在(0，x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，因为g(0)0，g(1)cos 10，所以当x(0,1)时，g(x)0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)0)，所以f(x).当x(0,1)时，f(x)0

6、，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0)，得f(x)a(x0)当a0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；当a0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(1)a10时，f(x)，当a1时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，因为f(1)a10，所以函数f(x)恰有一个零点；当a1时，00，所以ff(1)0，当x0时，f(x)，由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，所以a1满足条件，当0a1，故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减因为f(1)a10，所以ff(1)0，当x时，f(x)，由零点存在定理可知f(x)在上必有一

7、个零点，即0a1满足条件综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，)规律方法已知零点个数求参数范围时(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解跟踪训练2(2022烟台模拟)已知函数f(x)ln xaxa(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1，)上有零点x0，求a的取值范围；求证：x00恒成立，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，f

8、(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)解注意到，f(1)ln 1aa0，由(1)知，当a0时，f(x)在1，)上单调递增，对任意x(1，)，恒有f(x)f(1)0，不符合题意；同理，当a1，即1时，f(x)在(1，)上单调递减，所以对任意x(1，)，恒有f(x)f(1)0，不符合题意；当0a1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以ff(1)0，又当x时，f(x)，由零点存在定理知，存在唯一一点x0，使得f(x0)0，满足题意，综上所述，a的取值范围为(0,1)证明由知，当0a，只需证ln x0.令g(x)ln x，x(1，)，则g(x)0，所以g(x)ln x在(1，)上单调递增，又g(1)0，所以g(x)0在(1，)上恒成立，即ln x0，即x0.要证x0，只需证ln x0，即ln x0.即证(ln x0)2x01.令h(x)(ln x)2x1，x(1，)，则h(x).令m(x)2ln xx，x(1，)，则m(x)1，所以函数m(x)在(1,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，m(x)maxm(2)2ln 220，所以h(x)0在(1，)上恒成立，所以h(x)在(1，)上单调递减，所以h(x0)h(1)0，即(ln x0)2x01，即x0，不等式得证