2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练34基本立体图形及空间几何体的表面积和体积北师大版.docx

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1、课时规范练34基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是()答案:A解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A中的平面图形旋转形成的.故选A.2.(2022广东潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为36,则该圆柱的体积为()A.16B.27C.36D.54答案:D解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则=2R,2R=36,解得R=3,=6,圆柱的体积V=R2h=54.3.(2022广东深圳二模)已知一个球的表面积在数值上是它的体积的3倍,则这个球的半径是()A.2B.2C.3D.3答案:D解析:设球的半径为R,则根据球的表面积公式和体积公式,可得4

2、R2=43R33,化简得R=3.4.(2023福建福州格致中学模拟)已知一个直三棱柱的高为2,其底面ABC水平放置的直观图为ABC,如图所示,其中OA=OB=OC=1,则此三棱柱的表面积为()A.4+42B.8+42C.8+45D.8+85答案:C解析:由斜二测画法可得底面的平面图如图所示,其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=5,所以此三棱柱的表面积S=21222+(2+25)2=8+45.5.(2022山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,ABAC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾

3、斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为()图1图2A.3B.4C.42D.6答案:A解析:在图1中V水=12222=4,在图2中,V水=VABC-A1B1C1VC-A1B1C1=1222h-131222h=43h,43h=4,h=3.6. (2022广东佛山二模)如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36的球的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为()A.26B.46C.16D.163答案:B解析:依题意,作球的剖面图,其中,O是球心,E是圆锥的顶点,EC是圆锥的母线.设球的半径为R,则43R3=36,R=3.圆柱的高为

4、2,OD=1,DE=3-1=2,DC=32-12=22,母线EC=22+8=23.圆锥的侧面积S=12EC2DC=1223222=46.故选B.7.(2022全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=()A.5B.22C.10D.5104答案:C解析:如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2r1=4,2r2=2,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所

5、以V甲V乙=13r12113r222=2251222=10.故选C.8.(多选)(2023广东广州高三检测)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则()A.该圆台的高为1 cmB.该圆台轴截面面积为33 cm2C.该圆台的体积为733 cm3D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm答案:BCD解析:如图,作BECD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,则BE=22-12=3,则圆台的高为3cm,故A错误;圆台的轴截面面积为12(2+4)3=33(cm2),故B正确;

6、圆台的体积为133(+4+4)=733(cm3),故C正确;由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,侧面展开图的圆心角=224=,设P为AD的中点,连接CP,可得COD=2,OC=4,OP=3,则CP=42+32=5,从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5cm,故D正确.故选BCD.9. (2023湖南长沙一中高三检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点,将该正方体挖去两个四分之一圆锥,得到如图所示的几何体,则该几何体的体积为.答案:8-3解析:该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥,圆锥

7、底面圆半径R=1,高h=2,该几何体的体积V=23-1213122=8-3.10.(2022福建漳州一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60,高为6的圆锥形包装盒,若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切),则该球形冰淇淋的表面积为.答案:16解析:如图,由题意知,BAC=60,AO1=6,故在RtAO1C中,AC=43,O1C=23.设内切球球心为O,半径为R,则OD=OO1=R.在RtADO中,OAD=30,所以2R=6-R,解得R=2.所以该球形冰淇淋的表面积S=4R2=16.综合提升组11. (2022山东青岛二模)九章算术中

8、记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体.如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF平面ABCD,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为()A.23B.43C.823D.4答案:B解析:连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,连接OM,则OM平面ABCD,取BC的中点G,连接FG,作GHEF,垂足为H,如图所示.由题意可知,HF=12,FG=32,所以HG=FG2-HF2=22,所以OM=HG=22.又AM=22,所以OA=OM2+AM2=1.又OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,所以

9、这个几何体的外接球的体积为V=4313=43.12. (2022山东泰安三模)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,AA1底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为()A.814B.24C.24316D.86答案:B解析:因为ABC为等腰直角三角形,AC=BC=2,所以ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1,且AO1=2.连接O1与A1B1的中点E,则O1EAA1,所以O1E平面ABC.设球的球心为O,由球的截面性质可得O在O1E上,设OO1=x,DE=t(0t2),球的半径为R.因为OA=

10、OD=R,所以2+x2=(4-x)2+t2,所以t2=8x-14.又0t2,所以74x2.因为R2=2+x2,所以8116R26,所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为24.13.(多选)(2022山东滨州二模)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把AEB,AFD和EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则下列结论正确的是()图1图2A.PAEFB.三棱锥M-AEF的体积为4C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24D.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围

11、为,6答案:ACD解析:由题意,将三棱锥补形为长方体,其中PA=4,PE=2,PF=2,如图所示.对于A,因为APPE,APPF,PEPF=P,PE,PF平面PEF,所以AP平面PEF,又EF平面PEF,所以PAEF,故A正确;对于B,因为M为PE的中点,所以VM-AEF=12VP-AEF=12VA-PEF=121312224=43,故B错误;对于C,三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球,所以外接球的直径2R=22+22+42=26,所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为S=4R2=24,故C正确;对于D,过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大截面为过球心O的大

12、圆,此时截面圆的面积为R2=(6)2=6,最小截面为过点M且垂直于球心O与M连线的圆,此时截面圆半径r=R2-OM2=6-5=1,截面圆的面积为r2=,所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为,6,故D正确.故选ACD.14.十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具.如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为.图1图2答案:43解析:该几何体的直观图如图所示,这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD和P-ABCD.设内切

13、球的半径为R,AC的中点为H,由题意,H为内切球的球心,连接BH,SH,可知SH即为四棱锥S-ABCD的高,在RtABH中,BH=AB2-AH2=6-2=2.又AC=SB=22,S四边形ABCD=122222=42.又BH=SH,VS-ABCD=13SHS四边形ABCD=13242=823.由八个侧面的面积均为22,13R228=2823,得R=1.故几何体的内切球的体积为43.创新应用组15.如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为()A.23B.24C.26D.27答案:D解析:该几何体由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB组成,作HMCB于M,如图.因为CH=BH=3,CHB=120,所以CM=BM=332,HM=32.因为重叠后的底面为正方形,所以AB=BC=33.在直棱柱AFD-BHC中,AB平面BHC,则ABHM.由ABBC=B,可得HM平面ADCB.设重叠后的EG与FH的交点为I,则VI-BCDA=13333332=272,VAFD-BHC=12333233=814,则该几何体的体积V=2VAFD-BHC-VI-BCDA=2814272=27.