安徽省a10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题.docx

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1、A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。第I卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 已知，则（ ）A. 1B. C. 3D. 2. 已知集合，则的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 设，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 5. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶“冰桶”系列，受到了年轻消费

2、者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度）A. B. C. D. 6. 2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕. 为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂 青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到图片题”，事件为“第2次抽到视频题”，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知平面区域，记的面积分别为，则（ ）A. B. C. D. 8. 古希腊数学家特埃

3、特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. ）9. 电影八角笼中是由王宝强导演并参演的一部电影，讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事. 该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期，现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则（ ）喜欢该电影不喜欢该电影男性观众16040女性观众14060A. 若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概

4、率为B. 在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异附：. 0. 100. 050. 010. 0012. 7063. 8416. 63510. 82810. 已知直线及圆，则（ ）A. 直线过定点B. 直线截圆所得弦长最小值为2C. 存在，使得直线与圆相切D. 存在，使得圆关于直线对称11. 已知函数，则（ ）A. 是偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的最小正周期为2D. 在上单调递增12. 已知首项为的数列的前项和为，其中，

5、记数列的前项积为，则（ ）A. B. C. D. 使得成立的最小正整数的值为2025第II卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）13. 展开式中的常数项为_（用数字作答）14. 曲线在点处的切线方程为_.15. 已知抛物线与直线交于两点（点在第一象限），的焦点为，则_.16. 已知正方体的所有顶点均在一个表面积为的球面上，空间内的一点满足，若平面，平面，且平面，则的长为_.四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. （本小题满分10分）中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点. （1）求角的大小；（2

6、）若，求的长. 18. （本小题满分12分）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样. （1）从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；（2）现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为，求的分布列以及数学期望. 19. （本小题满分12分）已知等差数列满足，数列的前项和为，且数列是公比为的等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，试比较与的大小. 20. （本小题满分12分）如图，在五面体

7、中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，二面角为直二面角，. （1）求点到平面的距离；（2）设点为线段的中点，点满足，若直线与平面及平面所成的角相等，求的值. 21. （本小题满分12分）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程；（2）记为坐标原点，求面积的最大值. 22. （本小题满分12分）已知函数. （1）若在上恰有2个零点，求的取值范围；（2）若是的零点（是的导数），求证：. A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只

8、有一项是符合题目要求的. ）题号12345678答案CBDBDCAA1. C 因为，所以，故选C. 2. B 由题意得，故，故选B. 3. D 因为，所以，又，所以. 故选D. 4. B 由题意得，则. 故选B. 5. D 由题意得，圆台的高，故该容器的容积，故选D. 6. C 因为，所以. 故选C. 7. A 分别作出曲线的大致图形如图所示（先作出第一象限的图形，再由对称性作出全部图形），观察可知，故选A. 8. A 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，则，. 因为，故，因为，所以（负值舍去），故. 又，则，因为，所以，解得，所以. 故选A. 二、选择题（本题共4小题，小题5

9、分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. ）题号9101112答案ACABDABACD9. AC 因为，故A正确；因为，故B错误；，因为，故C正确，D错误. 故选AC. 10. ABD 由，得，解得，所以直线过定点为，故A正确；由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时，直线截圆所得弦长最短，因为，则最短弦长为，故B正确；因为点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，故D正确. 故选ABD. 11. AB 由，知，所以是偶函数，故A正确；因为，所以的图象关于直线对称，故B正确

10、；因为，则. 所以2不是的周期，故C错误；因为，则. 故D错误. 故选AB. 12. ACD 由题意得，故，故A正确；，故数列单调递增，故B错误；，故，累加可得，即. 则，由数列单调递增，得，所以，故C正确；因为. 所以. 所以，所以使得成立的最小正整数的值为2025，故D正确. 故选ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）13. 15的展开式的通顶为，令，解得，故常数项为. 14. （其他形式的答案只要正确也可）由题意得，所以，解得，故，则，所以曲线在点处的切线方程为，即. 15. 8由题意得，直线过的焦点且倾斜角，故. 16. 由题意得，故. 因为，所以，又，所以平面

11、，则直线即为直线. 取线段的中点，连接，连接交于，连接，易证，故平面，故平面即为平面，则. 四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. （本小题满分10分）（1）2分由正弦定理可得：，即，3分由余弦定理可得：，4分. 5分（2），是的角平分线，7分. 8分在中，. 10分18. （本小题满分12分）（1）记事件表示芯片来自甲机器生产，事件表示芯片来自乙机器生产，事件表示取到的是合格品. .4分（2）由题意得，5分故，9分所以的分布列为012310分故. 12分19. （本小题满分12分）（1）设等差数列的公券为，由，得. 解得. 3分由题意得，即，

12、. 4分两式作差得：，化简得：. 5分数列是以为首项、2为公比的等比数列. 6分（2）由（1）得，. 8分9分10分，11分 当时，；当时，；当时，. 12分20. （本小题满分12分）（1）如图，过点作于点，连接. 因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，因为平面，所以2分因为四边形为等腰梯形，所以，所以. 4分又，所以，即点到平面的距离为. 5分（2）以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，6分由，得. . 7分设平面的法向量为，由，得，令，则. 9分又易知平面的一个法向量为. 10分设直线与平面所成角为，与平面

13、所成角为，则， . 11分整理得，由，得. 12分21. （本小题满分12分）（1）由题意得，2分解得，故的方程为. 4分（2）设，直线，联立，整理得：. 由得，且，6分8分点到直线的距离，9分. 10分令，故，故，当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为. 12分22. （本小题满分12分）（1）令，显然. 1分令，则，2分故当时，当时，故函数在上单淍递增，在上单调递减. 3分作出的大致图象如图所示，因为，所以要使函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点，则. 5分解得，即实数的取值范围为. 6分（2）要证：，即证：. 因为，所以，则，7分故9分令，则，10分故当时，当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即. 12分以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分.