2024届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练18利用导数证明不等式.docx

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1、课时规范练18利用导数证明不等式1.已知函数f(x)=aex-ex.(1)若对任意的实数x都有f(x)0成立,求实数a的取值范围;(2)当a1且x0时,证明:f(x)(x-1)2.2.已知函数f(x)=(x-1)ex,g(x)=ax2+xln x-12.(1)判断是否存在实数a,使得g(x)在x=1处取得极值?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由;(2)若a12,当x1时,求证:f(x)g(x).3.已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a的值;(2)证明:xR,f(x)0.4.(2022山东威海三模)已知函数

2、f(x)=2ln x-x+ax.(1)当a=34时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,从下面两个结论中选一个证明.f(x2)-f(x1)x2-x12a-2;f(x2)32(n2,nN*).课时规范练18利用导数证明不等式1.(1)解若对任意的实数x都有f(x)0,即aex-ex0,所以aexex.令g(x)=exex,则g(x)=1-xex-1.令g(x)=0得x=1.当x0,函数g(x)单调递增;当x1时g(x)0,函数g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得极大值亦即最大值g(1)=1,即a1.故实数a的取值范围是1,+).(2)证明因为当a1且

3、x0时,f(x)=aex-exex-ex,所以只需证明ex-ex(x-1)2,只需证明(x-1)2+exex1,即证(x-1)2+exex-10.设h(x)=(x-1)2+exex-1(x0),则h(x)=(x-1)(3-e-x)ex.令h(x)=0,得x=3-e或x=1.所以当0x3-e时,h(x)0,h(x)单调递减;当3-ex0,h(x)单调递增;当x1时,h(x)0,则t(x)=-1+1x=1-xx.令t(x)=0,得x=1.当0x0;当x1时,t(x)0,所以函数h(t)在区间1,+)上单调递增,所以h(t)min=h(1)=e-20,所以m(x)0,从而得函数m(x)在区间1,+)

4、上单调递增,所以m(x)min=m(1)=0,所以m(x)0,即f(x)g(x)得证.3.(1)解由f(x)=ex-asinx-x,得f(x)=ex-acosx-1.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x+y-1=0,所以f(0)=-1,即1-a-1=-1,解得a=1.故实数a的值为1.(2)证明由(1)知f(x)=ex-sinx-x,要证明xR,f(x)0,需证明ex-xsinx.令g(x)=ex-x,则g(x)=ex-1,令g(x)=0,得x=0.因为当x0时,g(x)0时,g(x)0,所以函数g(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,所以g(x)mi

5、n=g(0)=1,即xR,ex-x1,所以ex-x-sinx1-sinx0,两个等号不同时成立,所以ex-xsinx,所以xR,f(x)0.4.解由已知得f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-1-ax2=-x2+2x-ax2.(1)当a=34时,f(x)=-x2+2x-34x2=-4x2-8x+34x2=-(2x-1)(2x-3)4x2.令f(x)0,得12x32;令f(x)0,得0x32,所以f(x)的单调递增区间为12,32,单调递减区间为0,12,32,+.(2)若选择,证明如下:由题意知,x1,x2是方程x2-2x+a=0的两根,则x1+x2=2,x1x2=a.f(x2)-f(

6、x1)x2-x1=2(lnx2-lnx1)-(x2-x1)+a(x1-x2)x1x2x2-x1,将x1x2=a代入,得f(x2)-f(x1)x2-x1=2(lnx2-lnx1)x2-x1-2,要证明f(x2)-f(x1)x2-x12a-2,即证明2(lnx2-lnx1)x2-x1-22a-2,即证明lnx2-lnx1x2-x11a=1x1x2.因为0x10,只需证明lnx2x11,只需证明lnt2t-1t,即2lnt-t+1t1),令h(t)=2lnt-t+1t,t1,则h(t)=2t-1-1t2=-(t-1)2t20,所以函数h(t)在区间(1,+)上单调递减,可得h(t)h(1)=0,所以

7、2lnt-t+1t1),综上可知,f(x2)-f(x1)x2-x10,g(0)0,解得0a1,因为g(2)=-a0,所以1x22.f(x2)-23a=2lnx2-x2+ax223a,由-x22+2x2-a=0,得a=-x22+2x2,代入,得f(x2)-23a=2lnx2+23x22103x2+2.令h(x)=2lnx+23x2-103x+2(1x2),则h(x)=2x+43x-103=2(x-1)(2x-3)3x,当x1,32时,h(x)0,所以h(x)在区间32,2内单调递增.因为1x22,所以h(x2)0,即h(2)h(1),所以h(x2)h(2),所以f(x2)-23a2ln2-2,即

8、f(x2)0;当x3,23时,f(x)1),则F(x)=lnx+1x-1.令g(x)=F(x),x1,则g(x)=1x1x2=x-1x2,当x1时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,+)上单调递增,又因为g(1)=0,所以g(x)=F(x)0,即F(x)在区间(1,+)上单调递增,所以F(x)F(1)=0,故当x1时,(x+1)lnx2(x-1).令x=n2-21(n2,nN*),则(n2-1)ln(n2-2)2(n2-3),所以ln(n2-2)n2-32n2-1=2(n-1)(n+1)=1n-11n+1,因此k=2nln(k2-2)k2-31-13+1214+1315+1416+1n-21n+1n-11n+1,化简可得k=2nln(k2-2)k2-31+121n1n+1322n.所以ln21+ln76+ln(n2-2)n2-3+2n32(n2,nN*),故原不等式成立.