2024年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第13讲极值点偏移问题.docx

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1、第13讲极值点偏移问题对于函数yf(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)0的解为x1，x2且ax1x22.(1)解f(x)ex(1x)，令f(x)0得x1；令f(x)1，函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)有极大值f(1)，f(x)无极小值(2)证明方法一(对称化构造法)构造辅助函数F(x)f(x)f(2x)，x1，则F(x)f(x)f(2x)ex(1x)ex2(x1)(x1)(ex2ex)，当x1时，x10，ex2ex0，F(x)0，F(x)在(1，)上为增函数，F(x)F(1)0，故当x1时，f(x)f(2x)，(*)由f(x1)f(x2)，x

2、1x2，可设x11f(2x2)，又f(x1)f(x2)，f(x1)f(2x2)又x11,2x22x2，x1x22.方法二(比值代换法)设0x111，则x2tx1，代入上式得lnx1x1lntlnx1tx1，得x1，x2.x1x22lnt0，设g(t)lnt(t1)，g(t)0，当t1时，g(t)为增函数，g(t)g(1)0，lnt0，故x1x22.极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1x22x0型，构造函数F(x)f(x)f(2x0x)；对结论x1x2x型，构造函数F(x)f(x)f，通过研究F(x)的单调性获得不等式(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不

3、等式通过代换t化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明已知函数f(x)xlnx的图象与直线ym交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)求证：x1x20得x，由f(x)0得0x，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增可设0x1x2.方法一构造函数F(x)f(x)f，则F(x)f(x)f1lnx(1lnx)，当0x时，1lnx0,10，得F(x)在上是增函数，F(x)F0，f(x)f，将x1代入上式得f(x1)f，又f(x1)f(x2)，f(x2)，且f(x)在上单调递增，x2，x1x21，则x2tx1，代入上式得x1lnx1tx1(lntlnx1)，得lnx1.x1x2lnx1lnx222lnx1lnt2lnt0.设g(t)lnt(t1)，则g(t)0.当t1时，g(t)为增函数，g(t)g(1)0，lnt0.故x1x2.