备战2023年高考数学二轮专题复习专题检测五　解析几何.docx

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1、专题检测五解析几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12B.-12C.1D.-12.(2022吉林长春模拟)当直线l:x-my+m-1=0(mR)被圆x2+y2=4截得的弦长最短时,m的值为()A.-2B.2C.-1D.13.(2022北京东城三模)已知直线y=k(x-3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OAOB,则k=()A.2B.2C.1D.14.(2022北京北大附中三模)已知半径为r的圆C经过点P(2,0),且与直线

2、x=-2相切,则其圆心到直线x-y+4=0距离的最小值为()A.1B.2C.2D.225.(2022云南曲靖一中高二期中)已知双曲线C:x2-y2b2=1(b0)的渐近线经过椭圆C1:x23+2y23=1与抛物线C2:y=x2的交点,则以双曲线C的两焦点为直径端点的圆的方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=3D.x2+y2=46.(2022福建福州模拟)圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则实数m的取值范围是()A.(-,-5B.5,+)C.-5,5D.(-,-55,+)7.(2022河北唐山三模)阿基米德在他的著作关于圆锥体和

3、球体中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为62,两个焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C的上顶点,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点.若PA,PB的斜率之积为-89,则椭圆C的长轴长为()A.3B.6C.22D.428.(2022广东茂名模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧,若|AQ|2|AP|,则该双曲线的离心率的取值范

4、围是()A.(1,3B.3,+)C.1,213D.213,+二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:y23-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则()A.|PF1|-|PF2|=23B.双曲线C的渐近线方程为y=33xC.双曲线C的离心率为233D.|PF1+PF2|2310.(2021新高考11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的

5、距离大于2C.当PBA最小时,|PB|=32D.当PBA最大时,|PB|=3211.(2022湖南常德高三期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点,则()A.抛物线C的准线方程为x=1B.线段AB的中点在直线y=2上C.若|AB|=8,则OAB的面积为22D.以线段AF为直径的圆一定与y轴相切12.(2022河北保定一模)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),过点F2的直线与该椭圆相交于A,B两点,点P在该椭圆上,且|AB|1,则下列说法正确的是()A.存在点P,使得F1PF2=90B.满足F1PF

6、2为等腰三角形的点P有2个C.若F1PF2=60,则SF1PF2=33D.|PF1|-|PF2|的取值范围为-23,23三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022北京12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=33x,则m=.14.(2022新高考14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:.15. (2022浙江镇海中学模拟)油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1 000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径

7、为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,北京的阳光与地面夹角为60),若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为.16.(2022山东济宁三模)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|=3,则p=;设M是抛物线C上的任意一点,N是抛物线C的对称轴与准线的交点,则|MN|MF|的最大值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022四川成都模拟)P为曲线C上任意一点,直线l:x=-4,过点P作PQ与直线l垂直,垂足为Q,

8、点F(-1,0),且|PQ|=2|PF|.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上的点M(x0,y0)(x01)作圆(x+1)2+y2=1的斜率为k1,k2的两条切线,切线与y轴分别交于A,B两点,若k1k2=512,求|AB|.18.(12分)(2022山东滨州二模)已知抛物线C:x2=2py(p0)在点M(1,y0)处的切线斜率为12.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线l:y=2x+m对称,求实数m的取值范围.19.(12分)已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t

9、=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.20.(12分)(2022福建漳州三模)已知圆C1:(x+2)2+y2=9,圆C2:(x-2)2+y2=1,动圆P与圆C1、圆C2都外切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知A,B是曲线C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,且AB的中垂线为直线l,是否存在半径为1的定圆E,使得l被圆E截得的弦长为定值?若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2022山东菏泽二模)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,抛物线E上不同的两点M,N只能同时满足下

10、列三个条件中的两个:|FM|+|FN|=|MN|,|OM|=|ON|=|MN|=83,直线MN的方程为x=6p.(1)问M,N两点只能满足哪两个条件(只写出序号,无需说明理由)?并求出抛物线E的标准方程.(2)如图,过点F的直线与抛物线E交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线E的另一交点为C,与x轴的交点为D,且|FA|=|FD|,求ABC面积的最小值.22.(12分)(2022山东潍坊二模)已知M,N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a0)和双曲线C2:x2a2-y2=1的公共顶点(M为左顶点),e1,e2分别为C1和C2的离心率.(1)若e1e2=154.()求C2的渐近线方程;()过点G(

11、4,0)的直线l交C2的右支于A,B两点,直线MA,MB与直线x=1相交于A1,B1两点,记A,B,A1,B1的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),求证:1y1+1y2=1y3+1y4.(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0a)引C1的两条切线,经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成的三角形的面积为S,试判断S是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.专题检测五解析几何1.A解析 圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,a=12,故选A.2.C解析 直线l过定点A(1,1),圆x2+y2=4的圆心为O

12、(0,0),半径为r=2,当lOA时,直线l:x-my+m-1=0(mR)被圆x2+y2=4截得的弦长最短,因为kOA=1,所以kl=-1,即1m=-1,m=-1.3.B解析 直线y=k(x-3)过定点(3,0),且点(3,0)在圆O:x2+y2=4内.因为直线y=k(x-3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OAOB,所以圆心O(0,0)到直线y=k(x-3)的距离d=2,所以d=2=|3k|1+k2,即k2=2,k=2.4.B解析 依题意,设圆C的圆心为C(x,y),动点C到点P的距离等于到直线x=-2的距离,根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2=8x.设圆心C到直线x-y+4

13、=0的距离为d,则d=|x-y+4|2=18y2-y+42=|y2-8y+32|82,当y=4时,dmin=2.5.B解析 由x23+2y23=1,y=x2,解得x=-1,y=1或x=1,y=1,则椭圆C1与抛物线C2的交点为P(1,1).因为点(1,1)在C的渐近线y=bx上,所以b=1,则双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2为一条直径的圆的方程是x2+y2=2.6.D解析 将x2+2mx+y2+m2-1=0化为标准方程得(x+m)2+y2=1,即圆心为(-m,0),半径为1,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2.因为圆x2+(y-2)2=4与圆x

14、2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,所以两圆的位置关系为外切或相离,所以m2+42+1,即m25,解得m(-,-55,+).7.B解析 椭圆的面积S=ab=62,即ab=62.因为点P为椭圆C的上顶点,所以P(0,b).因为直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,不妨设A(m,n),则B(-m,-n),且m2a2+n2b2=1,所以m2=a2-a2n2b2.因为PA,PB的斜率之积为-89,所以n-bm-n-b-m=-89,把m2=a2-a2n2b2代入整理化简得b2a2=89.联立解得a=3,b=22.所以椭圆C的长轴长为2a=6.8. C解析 由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x

15、2+y2=c2,由双曲线的对称性不妨令P,Q在渐近线y=bax上,由y=bax,x2+y2=c2,解得x=a,y=b或x=-a,y=-b,Q(a,b),P(-a,-b).又A为双曲线的左顶点,则A(-a,0),|AQ|=(a+a)2+b2,|AP|=-a-(-a)2+b2=b.|AQ|2|AP|,(a+a)2+b22b,即4a23(c2-a2),e273.又e1,e1,213.9.CD解析 双曲线C:y23-x2=1的焦点在y轴上,a=3,b=1,c=a2+b2=2.对于A,|PF1|-|PF2|=2a=23,而点P在哪支上并不确定,故A错误;对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=ab

16、x=3x,故B错误;对于C,e=ca=23=233,故C正确;对于D,设P(x,y),则|PO|=x2+y2=x2+(3x2+3)=3+4x23(当x=0时,等号成立),因为O为F1F2的中点,所以|PF1+PF2|=|2PO|=2|PO|23,故D正确.10. ACD解析 如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=|5+25-4|12+22=115,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-

17、r=115-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=115+4.又115-42,115+40,解得b1,则x1+x2=4-2b,x1x2=b2,|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=241-b=8,解得b=-1,点O到直线l的距离为d=|b|2=22,故SAOB=12|AB|d=12822=22,故C正确;对于D,设线段AF的中点为N(x3,y3),则x3=x1+12,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2x1+12,即|AF|等于点N到y轴距离的两倍,故以线段AF为直径的圆一定与y轴相切,故D正确.12.ACD解析 根据题意,可得c=3.因为|AB|的最小值为1,所以2b2a=1.又c2

18、=a2-b2,所以a=2,b=1,c=3,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.当点P为该椭圆的上顶点时,tanOPF2=3,所以OPF2=60,此时F1PF2=120,所在存在点P,使得F1PF2=90,故A正确;当点P为椭圆的上、下顶点时,满足F1PF2为等腰三角形,又因为2-3|PF2|2+3,|F1F2|=23,所以满足|PF2|=|F1F2|的点P有两个,同理满足|PF1|=|F1F2|的点P有两个,故B不正确;若F1PF2=60,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即|PF1|

19、2+|PF2|2-|PF1|PF2|=12,又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=16,所以|PF1|PF2|=43,所以SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=33,故C正确;|PF1|-|PF2|=|PF1|-(2a-|PF1|)=2|PF1|-4,分析可得|PF1|2-3,2+3,则|PF1|-|PF2|-23,23,故D正确.13.-3解析 由题意知a2=1,b2=-m,其中m0).又圆心O到直线l1的距离d1=|b|-342+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l1的方程为y=-34x+54.由y=43x,x=-1,得直线l与直线OO1的交点为A-

20、1,-43.则可设直线l2的方程为y+43=k(x+1).又圆心O到直线l2的距离d2=k-43k2+1=1,解得k=724,故直线l2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.15. 2-3解析 如图所示,伞柄底位于椭圆的左焦点,且左焦点到右顶点的距离为22,即a+c=22.在ABC中,由正弦定理得2asin(60+45)=4sin60,a=23222+122232=6+23=32+63,c=22-32+63=32-63,该椭圆的离心率为e=ca=32-632+6

21、=2-3.16. 322解析 设过点F0,p2的直线l的方程为y=kx+p2(斜率存在且不为0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2=2py,y=kx+p2,消去x得y2-(2k2+1)py+p24=0,可得y1y2=p24.由|AF|=3|BF|=3,可得y2+p2=1,y1+p2=3,则3-p21-p2=p24,解得p=32.过点M作准线的垂线,垂足为D,则可得|MN|MF|=|MN|MD|=1sinMND.若|MN|MF|取到最大值,即MND最小,此时直线MN与抛物线C相切.x2=3y,即y=x23,则y=23x.设Mx0,x023,则切线斜率k=23x0,切线方程为y-x02

22、3=23x0(x-x0),切线过点N0,-34,代入得-34-x023=-2x023,解得x0=32,即M32,34,则|MD|=32,|ND|=32,即MND=4.则|MN|MF|的最大值为2.17.解 (1)设P(x,y),由|PQ|=2|PF|,得|x+4|=2(x+1)2+y2,整理得x24+y23=1,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(2)设过点M(x0,y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率必存在),A(xA,yA),B(xB,yB).圆心为F(-1,0),半径为r=1,所以点F(-1,0)到y-y0=k(x-x0)的距离d=|-k+y0-kx0|1+k2=1,即(

23、x02+2x0)k2-2(x0+1)y0k+y02-1=0,则k1+k2=2(x0+1)y0x02+2x0,k1k2=y02-1x02+2x0.所以y02-1x02+2x0=512,又因为4y02=12-3x02,x01,解得x0=1.因为直线MA:y-y0=k1(x-x0),令xA=0,得yA=y0-k1x0,同理yB=y0-k2x0.所以|AB|=|yA-yB|=x0|k1-k2|=x0(k1+k2)2-4k1k2=213.18.解 (1)点M1,12p,则切线方程为y-12p=12(x-1),联立2py-1=p(x-1),x2=2py,消去y并整理得x2-px+p-1=0,依题意,=p2

24、-4(p-1)=0,解得p=2,所以抛物线C的标准方程是x2=4y.(2)设抛物线C上关于直线l对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),则设直线AB的方程为y=-12x+t(tR),联立y=-12x+t,x2=4y,消去y并整理得x2+2x-4t=0,1=4+16t0,解得t-14,则x1+x2=-2,y1+y2=-12(x1+x2)+2t=2t+1.显然线段AB的中点-1,t+12在直线l上,于是得t+12=-2+m,即t=m-52.而t-14,因此m-52-14,解得m94,所以实数m的取值范围是94,+.19.解 (1)当t=4时,E的方程为x24+y23=1,A(-2,0).直

25、线AM的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,设M(x0,y0),则x0=-8k2-63+4k2,则|AM|=1+k22-8k2-63+4k2=1+k2123+4k2.由MANA,得直线NA的斜率为-1k(k0),所以|AN|=1+1k2123+4k2=1+k212k3k2+4.由|AM|=|AN|,得1+k2123+4k2=1+k212k3k2+4,所以13+4k2=k3k2+4,即4k3-4+3k-3k2=0,整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0无实根,可得k=1.故AMN的面积为12|AM|2=121+

26、1123+42=14449.(2)由题意t3,k0,A(-t,0),直线AM的方程y=k(x+t),由y=kx+kt,x2t+y23=1,得(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0.故|AM|=1+k24t3(3+tk2-tk2)3+tk2=1+k26t3+tk2.由MANA,得直线NA的斜率为-1k(k0),所以|AN|=1+1k26t3+tk2=1+k26tk3k2+t.由2|AM|=|AN|,得21+k26t3+tk2=1+k26tk3k2+t,即3k+tk3=6k2+2t,因此t=6k2-3kk3-2,t3,等价于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-2

27、0,即k-2k3-20,k3-20或k-20,解得32k2.因此k的取值范围是32,2.20.解 (1)圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1=3.圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2=1.设动圆P的半径为R,因为动圆P与圆C1、圆C2都外切,所以|PC1|=R+r1=R+3,|PC2|=R+r2=R+1,所以|PC1|-|PC2|=20,b0),c=a2+b2,所以2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=c2-a2=3.注意圆C1与圆C2外切于点(1,0),P不可能为(1,0),所以C的方程为x2-y23=1(x1).(2)存在圆E:(x-8)2+y2=1满足题意.设A(x1,y

28、1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).因为A,B是C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,所以x12-y123=1,x22-y223=1,x0=x1+x22=2,y0=y1+y22,-得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)3=0.当kAB存在时,kAB=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=342y0=6y0,所以AB的中垂线l的方程为y-y0=-y06(x-2),即l:y=-y06(x-8),所以l过定点T(8,0).当直线AB的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,AB的中垂线l为x轴,此时l也过T(8,0).所以存在定圆E:(x-8)2+y2

29、=1,使得l被圆E截得的弦长为定值2.21.解 (1)抛物线E:y2=2px的焦点为Fp2,0,由知,点F在线段MN上,由知,OMN为正三角形,由知,直线MN过点(6p,0),显然矛盾.若满足,令M(t1,s1),N(t2,s2),则|MN|=t1+t2+p,由|OM|=|ON|,得t12+s12=t22+s22,即t12+2pt1=t22+2pt2(t1-t2)(t1+t2+2p)=0,故t1=t2.又|OM|=|MN|,所以t12+2pt1=(2t1+p)2,整理得3t12+2pt1+p2=0,0,y1y2=-4,x1x2=(y1y2)216=1,m=x1-1y1,|AB|=x1+x2+2

30、=x1+1x1+2.由|FA|=|FD|,得D(x1+2,0),则直线AD:y=-y12(x-x1-2),联立y=-y12(x-x1-2),y2=4x,消去x并整理得14y2+2y1y-x1-2=0,则点C的纵坐标为-8y1-y1,于是得点C4+x1+4x1,-8y1-y1.又1+m2=1+x1-1y12=1+x1y1,点C到AB的距离d=4+x1+4x1+m8y1+y1-11+m2=y11+x14+x1+4x1+x1-1y18y1+y1-1=4x11+x12+x1+1x1,所以SABC=12|AB|d=12x1+1x1+24x11+x12+x1+1x1=2x11+x12+x1+1x12=21

31、x1+x1x1+1x14=2x1+1x1316,当且仅当x1=1x1,即x1=1时,等号成立,所以ABC面积的最小值是16.22. (1)()解 由题意得e1=a2-1a,e2=a2+1a,所以e1e2=a4-1a2=154,又a0,解得a2=4.故双曲线C2的渐近线方程为y=12x.()证明 设直线AB的方程为x=ty+4,联立x=ty+4,x24-y2=1,消去x得(t2-4)y2+8ty+12=0,0,且t2,所以y1+y2=-8tt2-4,y1y2=12t2-4,故1y1+1y2=y1+y2y1y2=-2t3.又直线AA1的方程为y=y1x1+2(x+2),所以y3=3y1x1+2,同

32、理y4=3y2x2+2,所以1y3+1y4=13x1+2y1+x2+2y2=13ty1+6y1+ty2+6y2=2ty1y2+6(y1+y2)3y1y2=23t+2(y1+y2)y1y2=23t+21y1+1y2=23t-43t=-23t.故1y1+1y2=1y3+1y4.(2)解 S为定值a.设两个切点P1(x5,y5),P2(x6,y6),所以直线PP1的方程为l1:x5xa2+y5y=1,直线PP2的方程为l2:x6xa2+y6y=1.由l1,l2过P点可得x5x0a2+y5y0=1,x6x0a2+y6y0=1,可得直线P1P2的方程为x0xa2+y0y=1.不妨设直线P1P2与双曲线的两条渐近线y=1ax交于两点P1a2x0+ay0,ax0+ay0,P2a2x0-ay0,-ax0-ay0,则围成的三角形的面积S=12a2x0+ay0-ax0-ay0-ax0+ay0a2x0-ay0=a3x02-a2y02.因为P在双曲线C2上,所以x02-a2y02=a2,则S=a3a2=a为定值.