2024版高考数学一轮总复习第五章三角函数解三角形解答题专项二三角函数中的综合问题北师大版.docx

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1、解答题专项二三角函数中的综合问题解答题专项练1.(2022山东临沂高三二模)已知函数f(x)=Asinx+4(A0,01),f4=f2,且f(x)在0,34上的最大值为2.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g2=12,求sin 2的值.解:(1)因为02,又f(x)在0,34上的最大值为2,且f4=f2,所以当x=124+2=38时,f(x)取得最大值2,所以A=2,且f38=2,即2sin38+4=2.因为01,所以438+458,故38+4=2,解得=23,故f(x)=2sin23x+4.(2)由于g(

2、x)=f(3x)=2sin2x+4,又g2=2sin+4=12,则sin+4=122,故sin2=-cos2+2=2sin2+4-1=-34.2.(2023辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=ab-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(3,cos x)(xR).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB4=3,b2=ac,求1tanA+1tanC的值.解:(1)f(x)=ab-1=(sin2x,2cosx)(3,cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+6,令2k-22x+62k+2,k

3、Z,得k-3xk+6,kZ,所以f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)因为fB4=2sinB2+6=3,所以sinB2+6=32,又B(0,),B2+66,23,所以B2+6=3,所以B=3.因为b2=ac,所以sin2B=sinAsinC.于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinBsinAsinC=sinBsin2B=1sinB=1sin3=233.3.(2023山东烟台高三期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin

4、 B,点D在边AB上,且CDAB.(1)证明:CD=12c;(2)若a2+b2=6ab,求ACB.(1)证明:在CDB中,因为CDAB,所以sinB=CDa.因为sinC=2sinAsinB,所以sinCsinA=2sinB.所以sinCsinA=2CDa.在ABC中,根据正弦定理,得sinCsinA=ca,所以ca=2CDa,故CD=12c.(2)解:在ABC中,SABC=12absinC=12cCD,又由(1)知,CD=12c,所以c2=2absinC,在ABC中,根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,又由已知a2+b2=6ab,得2absinC=6ab-2abcosC,所以s

5、inC+cosC=62,则2sinC+4=62,即sinC+4=32.因为C(0,),则C+44,54,所以C+4=3或C+4=23,所以C=12或C=512,又点D在边AB上,且CDAB,CD=12c,所以ACD,BCD中必有一个大于等于4,所以C=512.4.(2022河北唐山高三模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b.(1)求C;(2)若AB=AC,D是ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值.解:(1)2ccosB=2a-b,2sinCcosB=2sinA-sinB.又A=-(B

6、+C),2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,即2sinBcosC=sinB.sinB0,cosC=12.0C,C=3.(2)AB=AC,ACB=3,ABC是等边三角形.设AC=x,D=,AD=2,CD=1,SABC=34x2,SADC=12ADCDsinD=sin.由余弦定理,得AC2=x2=1+4-4cos=5-4cos,S=SABC+SADC=34x2+sin=34(5-4cos)+sin=534+sin-3cos=534+2sin-3.0,-3-323,当sin-3=1,即=56时,平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax=534+2.