2024高考数学一轮复习小练60圆锥曲线最值与范围问题.docx

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1、2024高考数学一轮复习小练(60)1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C的右顶点到直线xy0的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(2，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，求OAB(O为坐标原点)的面积的最大值答案(1)1(2)2解析(1)因为椭圆C的右顶点到直线xy0的距离为3，所以3，解得a2或a4(舍)因为椭圆C的离心率为，所以，所以c，所以b.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(m24)y24my40，且32m2640，则y1y2，y1y2，从而|y1y2|.故OAB的面

2、积S|OP|y1|OP|y2|2|y1y2|.设t，则m2t22，故S2，当且仅当t，即m0时，OAB的面积取得最大值2.2.如图，已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为42.(1)求椭圆E的方程；(2)设C，D是椭圆E上两个不同的点，CDAB，直线CD与x轴、y轴分别交于不同的两点M，N，且，求的取值范围答案(1)y21(2)(，2)(2，)解析本题考查直线与椭圆的位置关系、向量的应用、参数的取值范围(1)由题意得解得则b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)由(1)得，A(2，0)，B(0，1)

3、，所以kAB.因为CDAB，所以可设直线CD的方程为yxm(m1，且m0)由已知得，M(2m，0)，N(0，m)设C(x1，y1)，D(x2，y2)联立得x22mx2m220，由(2m)24(2m22)0，得m2b0)的右焦点为F2，短轴B1B2的长为2，且B1F2B2为等边三角形(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，求的取值范围答案(1)1(2)解析(1)由短轴B1B2的长为2，得2b2，所以b.因为B1F2B2为等边三角形，所以cbtan 603，则a2b2c212，故椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，易得点M，N的坐标，不妨设M

4、(0，)，N(0，)，则(0，2)(0，2)1.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)将直线l的方程与椭圆方程联立并整理得，(14k2)x216kx40，由256k244(14k2)0，得k2，所以x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)4，y1y2k2x1x22k(x1x2)4.所以(x1，y12)(x2，y22)x1x2y1y22(y1y2)41.综上可得，的取值范围为.4(2022沧衡八校联盟)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，|AB|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，|PQ|m(m0)，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值答案(1)x24y(2)当0m0，所以y1y2k(x1x2)2b4k22b2k2，所以点E的纵坐标yEk2(k21)1，令tk211，则yEt1.当1时，即0m4时，函数yEt1在1，)上单调递增，所以当t1时，(yE)min；当1，即m4时，函数yEt1在t时取得最小值，(yE)min1.综上所述，当0m4时，点E纵坐标的最小值为；当m4时，点E纵坐标的最小值为1.