2024版高考数学一轮总复习第2章函数第8节函数与方程.docx

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1、第八节函数与方程考试要求：1理解函数的零点与方程的解的联系2理解函数零点存在定理，并能简单应用3了解用二分法求方程的近似解的方法一、教材概念结论性质重现1函数的零点的概念对于一般函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数的零点与方程的解的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与x轴有公共点函数yf(x)有零点3函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解1函数f(x)的零点是一个实数，是

2、方程f(x)0的解，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象4二分法条件(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象连续不断(2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)0方法不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值5.常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号二

3、、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(4)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点.()2下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点3函数f(x)exx3在区间(0，1)上的零点个数是()A0B1C2D3B解析：由题知函数f(x)是

4、增函数根据函数零点存在定理及f(0)20，f(1)e20，可知函数f(x)在区间(0，1)上有且只有一个零点故选B.4已知2是函数f(x)log2x+m，x2，2x，x2 的一个零点，则f(f(4)的值是_3解析：由题意知log2(2m)0，所以m1，所以f(f(4)f(log23)2log233.5设f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.5)0，则方程的根所在区间为_(2.5，2.75)解析：因为f(2.25)0，由零点存在定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)0，由零点存在定理知，方程的根所

5、在区间为(2.5，2.75)考点1判断函数零点所在的区间基础性1函数f(x)ln x2x的零点所在的大致区间是()A(1，2)B(2，3)C1e，1和(3，4)D(4，)B解析：因为f(2)ln 210，且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2，3)上2若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，1，32上，则与f(0)符号相同的是()Af(4)Bf(2)Cf(1)Df32C解析：由题意知f(x)的零点在1，32上，可知f(0)与f(1)的符号相同3曲线y13x与yx12的交点横坐标所在区间为()A0，13B13，12C

6、12，23D23，1B解析：设f(x)13xx12 ，易知f(x)单调递减，因为f13131313120，f12131212120，f(2)1222120，f(1)1122520，f(1)1122120，f(3)13+9221760.又x0，所以根据零点存在定理可得区间(3，2)，12，1，上存在零点确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)解决这类问题一般考虑利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0)，yln x (x0)的图象如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)函数f(x)x2+x2，x0，1+lnx，

7、x0的零点个数为()A3B2C7D0B解析：由f(x)0得x0， x2+x2=0或x0， 1+lnx=0，解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点将本例(1)中“f(x)|x2|ln x”变为“f(x)|x2|ln x|”，结果如何？D解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，)在同一平面直角坐标系中作出函数y|x2|，y|ln x|的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点令f(x)0，有几个解就有几个零点(2)函数零点存在定理要求函数f(x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点

8、个数(3)利用图象交点个数作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数1设m，nZ，已知函数f(x)log2(|x|8)的定义域是m，n，值域是0，3.当m取最小值时，函数g(x)2|x-1|m1的零点个数为()A0B1C2 D3C解析：因为函数f(x)log2(|x|8)的值域是0，3，所以1|x|88，即7x7.因为函数f(x)log2(|x|8)的定义域是m，n，所以m的最小值为7，此时g(x)2|x-1|6.令g(x)2|x-1|60，解得x2log23或xlog23，即有2个零点2已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)2x，0x1，2x+4，x1，则函数yf(f(x)1

9、的零点个数为_8解析：函数yf(f(x)1零点的个数等价于方程f(f(x)1实数根的个数，令f(x)，则f()1.方程f()1有3个实数根，且132，20，332.方程1f(x)有2个实数根，方程2f(x)有2个实数根，方程3f(x)有4个实数根，故函数yf(f(x)1有8个零点考点3函数零点的应用应用性考向1根据零点所在区间求参数(1)若函数f(x)2x2xa的一个零点在区间(1，2)上，则实数a的取值范围是()A(1，3)B(1，2)C(0，3)D(0，2)C解析：由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.(2)若二次函数f(x)x22xm在区间(

10、0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是_(8，1解析：由题意知mx22x在(0，4)上有解又x22x(x1)21，所以yx22x在(0，4)上的值域为(8，1，所以80，f10，解得52a0(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1B1，)C(0，1)D(，1A解析：画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需1a0，即a1；当x0时，f(x)有一个零点，需a0.综上，0a1.2若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)上，则n_2解析：因

11、为f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)1ln 20，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n2.3已知函数f(x)3x1，x2， 2x1，x0，f(4)32log24322120，故f(x)的零点所在的区间是(3，4)2已知函数f(x)12x，x0，log2x，x0，则函数g(x)f(x)12的零点个数为()A0B1C2D3C解析：令g(x)f(x)120，即有f(x)12，当x0时，12x12，解得x1，不满足x0，所以无解；当x0时，|log2x|12，解得x2或x22.所以g(x)有2个零点故选C.3已知函数f(x)lnx，x1， f2x+k，x1，若函数yf(x)1恰有一个

12、零点，则实数k的取值范围是()A(1，)B1，)C(，1)D(，1B解析：当x1时，若f(x)ln x1，则xe，因此函数yf(x)1在x1时有一个零点，从而在x1时无零点当x1，f(x)f(2x)kln (2x)k，它是减函数，值域为(k，)，要使f(x)1无解，则k1.4二次函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，f(2)1，0blog321.令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐标系中画出函数yax和yxb的图象，如图所示由图可知，两函数的图象在区间(1，0)内有交点，所以函数f(x)在区间(1，0)内有零点，所以n1.9设函数f(x)2xa，x1， 4xax2a，x1.

13、(1)若a1，求f(x)的最小值；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围解：(1)若a1，则f(x)2x1，x1， 4x1x2，x1.作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得f(x)的最小值为1.(2)当x1时，f(x)(a，2a)，所以当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2；当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足a0，解得12a2的部分，函数在(2，3)上单调递增，在(3，)上单调递减，所以直线ym与函数yx26x8(x2)的图象有2个交点，与函数yex1(x2)的图象有1个交点，设直线ym与函数yx26x8(x2)的图象的2个交点的横坐标为x1，x2，与y

14、ex1(x2)的图象的1个交点的横坐标为x3，由二次函数的对称性可知x1x26，当ex11时，xln 2，所以0x3ln 2，所以x1x2x3(6，6ln 2)，故C正确；对于D，结合f(x)的图象，当3时，yex1单调递增，yx26x8单调递减，此时最多有2个零点，所以若存在实数m使得函数g(x)有3个零点，则3，故D正确故选ACD.14(多选题)已知函数f(x)2x1，x1，x+4x 4，x1.若存在实数m使得方程f(x)m有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)，则下列叙述中正确的有()Ax1x20Bx3x44Cf(3)mDf(x2)x3有最小值ABD解析：作出函

15、数f(x)的图象如图：由条件知x10，0x21，1x32，2x4，0m22x12x222x1+x2，则2x1+x21，即 x1x20成立，故A正确；由f(x3)f(x4)m知x3，x4是方程x4x4m，即x2(4m)x40的两个根，则x3x44，故B正确；f(3)343413， 而0m1，两者无法比较大小，故C错误；f(x2)f(x3)m，f(x2)x3f(x3)x3x34x34x32x34x3422x34x34424，当且仅当2x34x3，即 x32时，取等号，即f(x2)x3有最小值，故D正确故选ABD.15已知函数f(x)1x，x1，x3，x1.若f(x0)1，则x0_；若关于x的方程f

16、(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_1(0，1)解析：由f(x0)1，得x01，1x0=1或x01，x03=1，解得x01.关于x的方程f(x)k有两个不同的零点等价于yf(x)的图象与直线yk有两个不同的交点，如图观察图象可知，当0k1时yf(x)的图象与直线yk有两个不同的交点，即k(0，1)16已知函数f(x)x22x，g(x)x+14x，x0，x+1，x0.(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)因为f(1)123，所以g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知当t(，1)时，方程f(

17、x)t有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象(如图)，由图象可知，当1a54时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是1，54.17已知aR，函数f(x)log21x+a.(1)当a5时，解不等式f(x)0；(2)若函数g(x)f(x)2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)当a5时，f(x)log21x+5.由f(x)0，即log21x+50，可得1x51，解得x14或x0.即不等式f(x)0的解集为，14(0，)(2)g(x)f(x)2log2xlog21x+a+2log2xlog2 1x+ax2(其中x0)因为函数g(x)f(x)2log2x只有一个零点，即g(x)0只有一个根，即1x+ax21在(0，)上只有一个解，即ax2x10在(0，)上只有一个解当a0时，方程x10，解得x1，符合题意当a0时，设函数yax2x1.当a0时，此时函数yax2x1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意当a0时，要使得函数yax2x1与x轴的正半轴只有一个交点，则满足12a0， =1+4a=0，解得a14 .综上可得，实数a的取值范围是aa14或a0