备战2023年高考数学二轮专题复习专题练　第9练　导数与不等式证明.docx

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1、第9练导数与不等式证明考情分析导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现一、单变量函数不等式的证明例1(2022新高考全国)已知函数f(x)xeaxex.(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ln(n1)(1)解当a1时，f(x)(x1)ex，xR，则f(x)xex，当x0时，f(x)0时，f(x)0，故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)解设h(x)xeaxex1，则h(0)0，h(x)(1ax)eaxex，设g(x)(1ax)eaxex，则g(x)(2aa2x)eax

2、ex，若a，则g(0)2a10，因为g(x)为连续不间断函数，故存在x0(0，)，使得x(0，x0)，总有g(x)0，故g(x)在(0，x0)上单调递增，故g(x)g(0)0，故h(x)在(0，x0)上单调递增，故h(x)h(0)0，与题设矛盾；若00，总有ln(1x)x成立，证明：设S(x)ln(1x)x，故S(x)10，故S(x)在(0，)上单调递减，故S(x)S(0)0，即ln(1x)x成立由上述不等式有eaxln(1ax)exeaxaxexe2axex0，故h(x)0总成立，即h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)h(0)0，满足题意；若a0，则h(x)eaxexaxeax1100

3、，所以h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)0，总有ex11，t2ex，x2ln t，故2tln tt21，即2ln t1恒成立所以对任意的nN*，有2ln，整理得ln(n1)ln nln 2ln 1ln 3ln 2ln(n1)ln nln(n1)，故不等式成立规律方法用导数证明不等式一般有以下方法(1)构造函数法(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式(3)分成两个函数进行研究(4)利用图象的特点证明不等式(5)利用放缩法证明不等式跟踪训练1(2022宜宾第四中学模拟)已知函数f(x)ax2xln x2.(1)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当a0时，证明：f(x)

4、x.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x2ax1，由题意知f(x)0在(0，)上有两解，即ln x2ax10，即2a有两解令g(x)(x0)，即g(x)的图象与直线y2a有两个交点由g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)maxg(1)1，g0，当x0时，g(x)；当x时，g(x)0，02a1，0ax，即证xln x2x0，令h(x)xln x2x(x0)，则h(x)ln x，令m(x)ln x，则m(x)，当x0时，m(x)0，h(x)在(0，)上单调递增h(1)20，存在唯一的x0(1，e)，

5、使得h(x0)ln x00，当x0(0，x0)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)minh(x0)又x0(1，e)，h(x0)0，ln x00，h(x0)x0ln x02x02x02x02e0，h(x)0，f(x)x.二、双变量函数不等式的证明例2(2022全国甲卷)已知函数f(x)ln xxa.(1)若f(x)0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x21.(1)解由题意知函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)1，可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)e1a.又f(x)0，所以e1a0，解得ae1，所以a

6、的取值范围为(，e1(2)证明方法一不妨设x1x2，则由(1)知0x111.令F(x)f(x)f，则F(x)(exx1)令g(x)exx1(x0)，则g(x)ex1ex1(x0)，所以当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以当x(0,1)时，g(x)0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)F(1)，即在(0,1)上，f(x)fF(1)0.又f(x1)f(x2)0，所以f(x2)f0，即f(x2)f.由(1)可知，函数f(x)在(1，)上单调递增，所以x2，即x1x21.方法二不妨设x1x2，则由(1)知0x11x2,00)，g(x)h(x)hx2ln x(x0)，则g(

7、x)10(x0)，所以函数g(x)在(0，)上单调递增，所以当x1时，g(x)g(1)0，即当x1时，h(x)h，所以h(x1)h(x2)h.又h(x)1(x0)，所以h(x)在(0,1)上单调递减，所以0x11，即x1x21.规律方法破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果跟踪训练2(2022绍兴模拟)已知函数f(x)exax2(aR)有两个极值点x1，x2(x1x2)，其中e2.7

8、18 28为自然对数的底数(1)记f(x)为f(x)的导函数，证明：f(1)0；(2)证明：0，方程exax化为xaln xxln xa0，令g(x)xln xa，x0，则g(x)1，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)1a，依题意，函数g(x)有两个零点，必有1a1，此时g(ea)ea0，g(ea)ea2a，令m(x)ex2x，x1，则m(x)ex20，即有m(x)在(1，)上单调递增，m(x)e20，于是得g(ea)0，因此，f(x)有两个极值点时，函数g(x)必有两个零点，从而得a1，所以f(1)e1a1e010.(2)由已知及(1)得，且，0x1x2，则f(x1)xx1x，f(x2)x2x，x1x2，因此x1x2x1x20)，则有x1，x2，则x1x2，于是得x1x211ln t1，h(t)1时，h(t)h(1)0成立，即ln t恒成立，x1x21恒成立，所以不等式成立