2024版高考数学一轮总复习第4章三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式.docx

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1、第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sincostan .2借助单位圆的对称性推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式一、教材概念结论性质重现1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：sincos=tan 2+k，kZ.(3)常见变形：sin 1cos2；cos 1sin2；(sincos )212sin cos ；sin tan cos .利用同角三角函数的基本关系可以实现正弦、余弦、正切值的转化，但一定要注意确定角的终边所在的象限“同角”有两层含义：一是角相同，二是任意一个角(在有意义的前提下)2

2、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角22正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”其含义理解为：(1)所有诱导公式均可看作k2(kZ)和的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数，变与不变是指三角函数名称的变化(2)结果的符号与把当成锐角时角k2(kZ)的三角函数值的符号相同二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)对任意角，sin23cos231都

3、成立()(2)若cos(n)13(nZ)，则cos 13.()(3)已知sin m3m+5，cos 42mm+5，其中2，则m5或m3.()2若是第四象限角，tan 512，则sin 等于()A15 B14 C513 D513D解析：因为tan sincos512，sin2cos21，所以sin513.因为是第四象限角，所以sin 513.3已知sin x335，则cos x+6()A35B45C35D45C解析：因为sin x335，所以cos x+6cos 2+x3sin x335.故选C.4若是第三象限角且cos 33，则sin _，tan _632解析：因为是第三象限角且cos 33，

4、所以sin 1cos263，所以tansincos2.5已知sin 12，则cos2sin52+sin ()cos (2)的值为_14解析：原式cos2sin2+2+(sin )cos ()sinsin2+(sin )cos sincos(sin )cos sin214.考点1同角三角函数关系的基本应用应用性考向1知弦求弦、切或知切求弦(1)(2022济南一模)已知(0，)，若cos12，则tan 的值为()A33B33C3D3D解析：因为(0，)，cos 12，所以sin 32，则tan 3.(2)已知3sin +2sin ()0，(，0)，则sin ()A31010B1010C31010D

5、1010A解析：由3sin +2sin ()0，可得3cos sin ，可得tan 3.而(，0)，可得sin 332+1231010.本例(2)条件不变，求cos 的值解：由3sin +2sin ()0，可得3cos sin ，可得tan 3.而(，0)，可得sin 0，所以cos 0，所以cos 132+121010.1利用sin 2cos21可以实现正弦、余弦的互化，利用tansincos可以实现弦切互化2由一个角的任意一个三角函数值可以求出这个角的另外两个三角函数值，求值时要注意角所在的象限，以免出现符号错误考向2弦切互化求值(1)已知cos 13，则sin tan+1tan的值为()

6、A13B13C3D3 C解析：原式sin sincos+cossinsin sin2+cos2cossin1cos3.(2)(2021新高考全国卷)若tan 2，则sin1+sin2sin+cos()A65B25C25D65C解析：将式子进行齐次化处理，得sin1+sin2sin+cossinsin2+cos2+2sincossin+cosin (sin cos )sinsin+cossin2+cos2tan2+tantan2+1424+125.本例(2)条件不变，求cos2sin2的值解：cos2sin2cos22sincossin2+cos2=12tantan2+112222+11.1弦化

7、切的常见结构(1)形如“a sin2b sin cos c cos2”的二次式，分母看作1，利用1sin2cos2将原式转化为齐次式求值(2)形如“asin+coscsin+dcos次分式2切化弦当要化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tan sincos，把式中的正切化为弦考向3sin cos ，sin cos 之间的关系(1)已知sin cos 15，且(0，)，则sin cos ()A75B75C75D4925C解析：把sin cos 15，两边平方得(sin cos )212sin cos 125，即2sin cos 24250.因为00，cos 0.所以sin cos

8、 sincos212sincos1242575.(2)已知sin xcos x312，x(0，)，则tan x等于()A33B33C3D3D解析：由题意可知sin xcos x312，x(0，)，则(sin xcos x)24234.因为sin2xcos2x1，所以2sinx cos x32，即2sinxcosxsin2x+cos2x2tanxtan2x+132，得tanx33或tan x3.当tan x33时，sin xcos x0且(0，)，所以sin 0，cos 0，所以sin cos 符号不确定，所以(sin cos )212sin cos 112016949169，所以sin cos

9、 713.8(2022聊城模拟)已知，0，2，且满足sin cos 2cos sin 0，则tan (2)tan 2的最小值为()A2B2C1D22D解析：因为sin cos 2cos sin 0，0，2，所以tan 0，tan 0，tan 2tan ，所以tan (2)tan 2tan 1tan2tan 1tan22，当且仅当tan 22时等号成立9(2022承德二模)若2，2sin cos 355，则tan ()A2B2 C211D211A解析：由2sin cos 355，两边平方，可得(2sin cos )295，即4sin24sincos cos295.所以4sin2+4sincos+

10、cos2sin2+cos2=95，所以4tan2+4tan+1tan2+1=95，则11tan220tan40.解得tan 2或tan 211.因为2，所以tan 2.10(2022浙江卷)若3sin sin 10，2，则sin _，cos 2_3101045解析：因为3sin sin 10，2，所以3sin cos 10，所以cos 3sin 10.因为sin2cos21，所以sin2(3sin10)21，解得sin 31010，cos sin 31010，cos 22cos21290100145.11已知cos2sin 2+1，则cos232+cos1的取值范围为_14，0解析：由已知得c

11、os 1sin .因为1cos 1，所以11sin 1.又1sin 1，可得0sin 1，所以cos232+cos1sin21sin1sin2sinsin12214.(*)又0sin 1，所以当sin 12时，(*)式取得最小值14，当sin 0或sin 1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是14，0.12已知20，且函数f()cos 32+sin 1+cos1cos1.(1)化简f()；(2)若f()15，求sin cos 和sin cos 的值解：(1)因为20，所以sin 0，所以f()sin sin 1+cos21cos21sinsin 1+cossin1sin cos .(2)法一：由f()sin cos 15，平方可得sin22sincos cos2125，即2sincos 2425.所以sin cos 1225.又20，所以sin 0，所以sin cos 0，因为(sin cos )212sin cos 4925，所以sin cos 75.法二：联立方程sin+cos=15，sin2+cos2=1，解得sin=35，cos=45，或sin=45，cos=35，因为20，所以sin=35，cos=45，所以sin cos 1225，sin cos 75.