备考2024年高考数学一轮复习第八章第1节直线的方程.docx

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1、第1节直线的方程考试要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 3.常与圆锥曲线结合考查斜率的表示及直线方程的设法和求解.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是|0180.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即kta

2、n_.(2)计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)是直线l上的两点，则向量(x2x1，y2y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线常用结论1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：0

3、00不存在k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，等号成立的条件是k0，且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.若直线l的方程为x3，则直线l的倾斜角是()A. B. C. D.0答案A解析直线l的方程为x3，直线与x轴垂直，直线l的倾斜角是.2.(2023福州模拟)已知A(1，3)，B，C(9，)，且A，B，C三点共线，则()A.1 B.0 C.1 D.2答案C解析A，B，C三点共线，kABkAC，即，

4、解得1.3.若AB0且BC0，则直线AxByC0不经过第几象限()A.一 B.二 C.三 D.四答案C解析AB0且BC0，0，0，直线yx的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.4.已知点M是直线l：2xy40与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45，得到的直线方程是()A.xy30 B.x3y20C.3xy60 D.3xy60答案D解析设直线l的倾斜角为，则tan k2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45，所得直线的斜率ktan3，又点M(2，0)，所以y3(x2)，即3xy60.5.(2023临沂调研)过点A(1，1)的直线l的倾斜角是直线l1

5、：xy10的倾斜角的2倍，则直线l的方程是()A.xy10B.xy10C.x3y30D.x3y30答案B解析因为k1tan ，60，所以ktan 120，所以直线l的方程是y1(x1)，即xy10.6.过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是()A.2xy120B.2xy120或2x5y0C.x2y10D.x2y10或2x5y0答案B解析当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为，故直线的方程为yx，即2x5y0；当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b，则在y轴上的截距是2b，直线的方程为1，把点(5，2)代入可得1，解得b6.故直线的方程为1，即2xy

6、120.7.(多选)(2023长沙调研)已知直线l：xmy1，则()A.直线l恒过定点(1，0)B.直线l的斜率必定存在C.m时，直线l的倾斜角为60D.m2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为答案AD解析A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确；B中，当m0时，直线斜率不存在，错误；C中，m时，直线l：y(x1)，则直线l的斜率为，倾斜角为30，错误；D中，m2时，直线l：x2y1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，正确.8.(多选)已知直线l的方程为axby20，下列判断正确的是()A.若ab0，则l的斜率小于0B.若b0，a

7、0，则l的倾斜角为90C.l可能经过坐标原点D.若a0，b0，则l的倾斜角为0答案ABD解析若ab0，则l的斜率0，故A正确；若b0，a0，则l的方程为x，其倾斜角为90，故B正确；若l经过坐标原点，则20，显然不成立，故C错误；若a0，b0，则l的方程为y，其倾斜角为0，故D正确.9.已知点A(1，3)，B(2，1).若直线l：yk(x2)1与线段AB恒相交，则k的取值范围是_.答案解析直线l：yk(x2)1经过定点P(2，1)，kPA2，kPB，又直线l：yk(x2)1与线段AB恒相交，2k.10.如果直线x4yb0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b_.答案8解析由题意

8、，知直线的方程为yx(b0)，它与两坐标轴的交点为和(b，0)，它与两坐标轴围成的三角形的面积为b8，解得b8.11.已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_.答案x13y50解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在的直线方程为，即x13y50.12.(2023杭州模拟)已知直线xky2k0恒过定点A，则A点的坐标为_；若点A在直线mxyn0(m，n0)上，则的最小值为_.答案(2，1)32解析将直线方程变形得x2k(y1)0，由解得定点A的坐标为(2，1).由于点A在直线mxyn0上，则有2m1n0，所以2mn1.所以(2mn)33232，

9、当且仅当，即当nm时等号成立.【B级能力提升】13.直线(1a2)xy10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析直线的斜率k(1a2)a21，a20，ka211.倾斜角和斜率的关系如图所示，该直线倾斜角的取值范围是.14.(多选)已知直线xsin ycos 10(R)，则下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是B.无论如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析根据直线倾斜角的范围为0，)，而R，A不正确；当xy0时，xsin ycos 110，所以直线必不过原点，B正确；当时，直线斜率不存在，C不正确

10、；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S1，D正确.15.设mR，若过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.答案5解析易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB为直径的圆上)，所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5，当且仅当|PA|PB|时等号成立.16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，则直线AB的方程是_.答案(3)x2y30解析由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C.由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，).又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.