2024版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第1节随机抽样.docx

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1、第一节随机抽样考试要求：了解简单随机抽样和分层随机抽样的必要性，掌握分层随机抽样的样本平均数，知道获取数据的基本途径一、教材概念结论性质重现1简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1nN)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数法(3)应用范围

2、：总体个体数较少2分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样(1)每一个子总体称为层在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配(2)如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，则2层的样本平均数分别为x，y，2层的总体平均数分别为X，Y，总体平均数为W，样本平均数为w.则wmm+nxnm+ny，WMM+NXNM+NY(3)在比例分配的分层随机抽样

3、中，可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.两种抽样方法的特点、联系及适用范围类别简单随机抽样分层随机抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取联系各层抽样时，采用简单随机抽样适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大()(3)在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关()2现有以下两项调查：从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；某社区有600户家庭，其中

4、高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是()A都采用简单随机抽样B都采用分层随机抽样C采用简单随机抽样，采用分层随机抽样D采用分层随机抽样，采用简单随机抽样C解析：对于，“从10台冰箱中抽取3台进行质量检查”，总体容量比较少，应采用简单随机抽样法；对于，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采用分层随机抽样法3在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A总体 B个体

5、C样本量 D从总体中抽取的一个样本A解析：由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本量是200.4某学校高二年级选择“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60.若采用分层随机抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为()A7B6 C3D2C解析：由题意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，故“史政生”所占的比例为90210+90+6014.由于分层随机抽

6、样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为12143.5下列情况适合用全面调查的是()A了解一批玉米种子的发芽率B了解某城市居民的食品消费结构C调查一个县各村的粮食播种面积D调查一条河的水质C解析：A了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意；D调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意故选C6某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出

7、的第4个同学的编号为()0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 (注：表中的数据为随机数表的第1行和第2行)A24B36 C46D47C解析：由题知从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46.故选出的第4个同学的编号为46.7要完成下列三项调查：某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况适合采用的抽样方法依次为_抽签法；分层随机抽样解析：对于，所收集的数据没有明显差

8、异，且数量较少，应用抽签法；对于，所收集的数据差异明显，应用分层随机抽样考点1统计中的基本概念、数据获取基础性1为了了解某省高考数学考试的情况，抽取2 000名考生的数学试卷进行分析，2 000叫作()A个体B样本 C样本量D总体C解析：2 000是个数字，没有单位，由样本量的定义可知2 000是样本量故选C2某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的考试成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是()A1 000名学生是总体B每个学生是个体C1 000名学生的考试成绩是一个个体D样本量是100D解析：根据题意得，本题的总体、个体与

9、样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，选项A，B表达的对象都是学生，不是成绩，A，B都错误；C中1 000名学生的成绩是总体，不是个体，所以C错误；D中样本量是100，所以D正确概念不清致误(1)区分总体、总体容量：总体由全部研究对象组成，由研究对象决定；总体容量是总体样本的个数(2)区分个体、样本、样本量：个体是指考查对象，样本是抽取的个体，样本量是指抽取的样本个数考点2简单随机抽样及其应用综合性(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛

10、A0B1 C2D3A解析：不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样故选A简单随机抽样适合总体中个数较少注意随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素(2)总体由编号为01，02，03，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：931247795737891845503994557361116098496573509847303098372310447691460679266220620522若从表中

11、第6行的第6列数字开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是()A09B03 C35D37B解析：利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09，84(舍弃)，96(舍弃)，57(舍弃)，35，09(重复，舍弃)，84(舍弃)，73(舍弃)，03，所以抽取的第3个个体的编号是03.在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍弃某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600，从中抽取60个样本，现提供随机数

12、表的第4行到第6行：第4行：32211834297864540732524206443812234356773578905642第5行：84421253313457860736253007328623457889072368960804第6行：32567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号为()A522B324 C535D578B解析：第6行第6列的数开始的数为808(舍弃)，436，789(舍弃)，535，577，348，994(舍弃)，837(舍弃)，522，535(重

13、复舍弃)，578，324.所以抽取的7个编号为436，535，577，348，522，578，324.即第7个样本编号为324.考点3分层随机抽样综合性考向1求总体或样本量(1)近年来，很多学生因为不科学使用电子产品的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为567，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n()A250B300 C800D900D解析：这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为56

14、7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n6k5k+6k+7k5k5k+6k+7k50，解得n900.故选D(2)(2022宝鸡模拟)我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有7 488人，南面有6 912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有()A8 000人B8 100人 C8 200人D8 300人B解析：设北面人数为x，根据题意知，xx+7

15、 488+6 912108300，解得x8 100，所以北面共有8 100人故选B考向2分层随机抽样的均值某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为235.现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况(1)试写出抽样过程；(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8，4.8，4.6，试估计该市高中学生的平均视力解：(1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是235，所以抽取的学生人数分别是20022+3+540，20032+3+560，20052

16、+3+5100.在各层分别按简单随机抽样法抽取样本综合每层抽样，组成容量为200的样本(2)样本中高中学生的平均视力为402004.8602004.81002004.64.7.所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7.分层随机抽样均值的计算如果总体的层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M，N，抽取的样本量分别为m，n，若2层的样本平均数分别为x，y，2层的总体平均数分别为X，Y，总体平均数为W，样本平均数为w，则wmm+nx+nm+ny，WMM+NX+NM+NY.某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人.在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在

17、该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为_分108解析：样本中40名学生的平均分为20401102040106108(分)，所以估计该组合学生的平均分为108分课时质量评价(五十三)A组全考点巩固练1已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层随机抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是()A2B4 C6D8B解析：抽取的女职工人数为2405602812，抽取的男职工人数为281216，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差为16124.故选B2某市教体局对全市高三年级的学生身高进

18、行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是()A12B24 C32D36D解析：样本中，女生人数为924159360，男生人数为1006040，故样本中B层人数为244030%36.3在某种疫苗试验初期，某居民区有5 000人自愿接种了此种疫苗，其中6070岁的老年人有1 400人，1619岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层随机抽样的方法从该居民区5 000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查已知老年人中抽取了14人，则从其余符合接种条件的其

19、他年龄段的居民中抽取的人数为()A14B18 C32D50C解析：设从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为x，由分层随机抽样的性质得：141 400x5 0001 400400，解得x32.所以从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为32.故选C4(多选题)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为253，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则()A此样本量n为20B此样本量n为80C样本中B型号产品有40件D样本中B型号产品有24件BC解析：工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为253，现用分层随

20、机抽样法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件设样本量为n，则n162k2k+5k+3k80，故A错误，B正确；样本中B型号产品有805k2k+5k+3k40件，故C正确，D错误故选BC5某校3个兴趣小组的学生人数分布如表(每名学生只参加一个小组)(单位：人)：篮球组书画组乐器组高一4530x高二151020已知用分层随机抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则x的值为_30解析：根据分层随机抽样的定义和方法可得，1245+1530120+x，解得x30.6从某单位45名职工中随机抽取6名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这6名职工选取方法

21、是先将45名职工编号，分别为01，02，03，45，然后从下面的随机数表第一行的第5列的数字7开始由左到右依次选取两个数字，从而确定6个个体的编号，则选出的第6个职工的编号为_16 22 77 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2535解析：选出的6个个体的编号分别为：39，43，17，37，23，35，则选出的第6个职工的编号为35.B组新高考培优练7(多选题)分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独

22、立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法在九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税问：三人各应付多少税？下列说法正确的是()A甲应付5141109钱B乙应付3224109钱C丙应付1656109钱D三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少ACD解析：依题意，由分层随机抽样可知，100(560350180)10109，则甲应付101095605141109(钱)；乙应付10

23、1093503212109(钱)；丙应付101091801656109(钱)结合选项知A，C，D正确，B错误8交通管理部门为了了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A101B808 C1 212D2 012B解析：甲社区每个个体被抽到的概率为129618，样本量为12212543101，所以四个社区中驾驶员的总人数N10118808.9用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中

24、抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A110，110B310，15C15，310D310，310A解析：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的因为总体容量为10，所以个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.故选A10(2023烟台模拟)高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛的平均成绩分别为80分和90分，则(1)高一、高二年级抽取的样本量分别为_；(2)高一、高二年级数学竞赛的平均分约为_分(1)9

25、0，70(2)84.375解析：(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为450450+35016090，高二年级抽取的样本量为350450+35016070.(2)高一、高二年级数学竞赛的平均分约为9090+70807090+709084.375(分)11某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，则该校高一年级学生的平均身高的估计值为_cm.166.4解析：由题意可知，x170.2，y162.0，且M320

26、，N280.所以样本平均数wMM+Nx+NM+Ny320320+280170.2280320+280162.0166.4(cm)，故该校高一年级学生的平均身高的估计值为166.4 cm.12某地有第一、第二、第三共三支射击队，人数分别为30，30，40.为了检测队员的射击水平，用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个射击队参加射击比赛的平均环数分别为8.8环、8.5环、8.1环试估计该地射击队员的平均射击环数解：队员总数为303040100(人)，按比例分配，知第一队参加考核的人数为30100309；第二队参加考核的人数为30100309；第三队参加考核的人数为401003012.所以参加考核的30人的平均射击环数为9308.89308.512308.18.43.所以估计该地射击队员的平均射击水平为8.43环