2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高二(上)第一次月考数学试卷(解析版).docx

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1、2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M3，1，0，1，2，N1，0，1，3，则MN（）A1，0，1B1，0，1，2C1，0，1，3D3，1，0，1，22（5分）复数2i的共轭复数是（）A2+iB2iC2+iD2i3（5分）下列说法中正确的是（）A若|a|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC4（5分）对于R，下列等式恒成立

2、的是（）Asin（2）sinBcos（）cosCcos（2+）sinDtan（）tan（2）5（5分）已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（）A极差第50百分位数众数B众数第50百分位数极差C极差众数第50百分位数D极差第50百分位数众数6（5分）已知点A（2，1），B（3，m），若m-33-1，3-1，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A|60150B|060或150180C|6090或90150D|6090或1501807（5分）如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的

3、中点，则FGAB=（）A34B14C12D328（5分）若直线kxy20与曲线1-(y-1)2=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A(43，2B(43，4C-2，-43)(43，2D(43，+)二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）（多选）9（5分）设a，b，c是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A若ab，bc，则acB则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面C对空间任一向量p，总存在有序实数组（x，y，z），使p=xa+yb+zcD则a+b，b+c，a+c一定

4、能构成空间的一个基底（多选）10（5分）下列直线经过点M（2，2）且在两坐标轴上截距相等的是（）Axy0Bx+y2Cx2Dx+y4（多选）11（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A若acosA=bsinB，则A=4B若sin2Asin2B，则此三角形为等腰三角形C若a1，b2，A30，则解此三角形必有两解D若ABC是锐角三角形，则sinA+sinBcosA+cosB（多选）12（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是棱CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A存在点P，使DP面AB1D1B二面角PBB1D的平面角大小为6

5、0CPB+PD1的最小值是5DP到平面AB1D1的距离最大值是33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为 14（5分）已知对xx|1x3，都有mx，则m的取值范围为 15（5分）设A为圆（x1）2+y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为 16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2Bsin2CsinAsinC，则2tan

6、B2+1tanC的最小值为 四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22题12分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知圆C过点M（0，2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+10上，求圆C的标准方程18（12分）已知函数f(x)=x2-(m+1m)x+1（1）若不等式f（x）0解集为x|13x3时，求实数m的值；（2）当m0时，解关于x的不等式f（x）019（12分）中国神舟十三号载人飞船于2022年4月16日圆满完成飞行任务，神舟十三号的成功又一次激发了广大中学生对于航天的极大兴趣某校举行了一次主题为“航天梦，强国梦”的知识竞赛活动，用简单随机抽样的方

7、法，在全校选取100名同学，按年龄大小分为大龄组甲和小龄组乙两组，每组各50人，所有学生竞赛成绩均在60100之间，甲组竞赛成绩的频率分布表和乙组竞赛成绩的频率分布直方图，如图所示 组号组距频数频率第一组60，70）50.1第二组70，80）ab第三组80，90）150.3第四组90，100100.2（1）求a，b，x的值；（2）若以平均分为依据确定小组成绩的优劣，你认为哪个小组成绩更优？请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若成绩不低于90分的同学称为“航天追梦者”，以选取的100名同学作为样本，试估计该校2000名学生中“航天追梦者”的人数20（12分）已知ABC中，

8、角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(b+a+c，3b)，n=(3c，b-a+c)，且mn（1）求A的值；（2）若a3，求ABC周长的取值范围21（12分）在多面体ABCDE中，平面ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABBC，CD1，AEAC2，F为DE的中点，且点E满足EB=4EG（1）证明：GF平面ABC；（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角ABED的余弦值22（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y24相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D（1）当点B坐标为（0，2）时，求直线CD的方程；

9、（2）求四边形ABCD面积S的最大值2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M3，1，0，1，2，N1，0，1，3，则MN（）A1，0，1B1，0，1，2C1，0，1，3D3，1，0，1，2【解答】解：由题意得：M3，1，0，1，2，N1，0，1，3，则MN1，0，1，故选：A2（5分）复数2i的共轭复数是（）A2+iB2iC2+iD2i【解答】解：复数2i的共轭复数是2+i故选：A3（5分）下列说法中正确的是（）A若|

10、a|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC【解答】解：A.|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；B对于b的相反向量a，则a=-b，故|a|=|b|，从而B正确；C空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，因此不正确；D一般的四边形不具有AB+AD=AC，只有平行四边形才能成立，故不正确故只有B正确故选：B4（5分）对于R，下列等式恒成立的是（）Asin（2）sinBcos（）cosCcos（2+）sinDtan（）tan（2）【解答】解：对于A，sin（2）sin

11、，错误；对于B，cos（）cos，错误；对于C，cos（2+）sin，错误；对于D，因为tan（）tan，而tan（2）tan，故D正确故选：D5（5分）已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（）A极差第50百分位数众数B众数第50百分位数极差C极差众数第50百分位数D极差第50百分位数众数【解答】解：极差为903060，众数为50，第50百分位数即中位数为55，所以，极差第50百分位数众数故选：A6（5分）已知点A（2，1），B（3，m），若m-33-1，3-1，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A|60150B|060

12、或150180C|6090或90150D|6090或150180【解答】解：由题意，设直线AB的倾斜角为，点A（2，1），B（3，m），则直线AB的斜率为k=m+13-2=m+1，又m-33-1，3-1，所以k的取值范围为-33，3，即tan-33，3，因为0，所以0，356，)故选：B7（5分）如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则FGAB=（）A34B14C12D32【解答】解：FG=12AC=12(AD+DC)，FGAB=12(AD+DC)AB=12ADAB+12DCAB=121112+12110=14另解：FGAB=12ACAB

13、=1211cos60=14 故选：B8（5分）若直线kxy20与曲线1-(y-1)2=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A(43，2B(43，4C-2，-43)(43，2D(43，+)【解答】解：直线kxy20化成ykx2，可得它必定经过点（0，2）而曲线1-(y-1)2=x-1，可变形整理为（x1）2+（y1）21（x1）该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x1右侧的部分设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k2可得当直线kxy20与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1kk2由点（1，1）到直线kxy20的距离d=|k-1

14、-2|k2+1=1，解得k1=43而k2=-2-00-1=2，由此可得43k2故选：A二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）（多选）9（5分）设a，b，c是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A若ab，bc，则acB则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面C对空间任一向量p，总存在有序实数组（x，y，z），使p=xa+yb+zcD则a+b，b+c，a+c一定能构成空间的一个基底【解答】解：a，b，c是空间一个基底，对于A，若ab，bc，则a，c所成角不一定是2，ac不一定成立，

15、故A错误；对于B，由基底的定义和性质得a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；对于C，根据空间向量基本定理得：对空间任一向量p，总存在有序实数组（x，y，z），使p=xa+yb+zc，故C正确；对于D，假设a+b，b+c，a+c共面，而a，b，c不共面，有b+c与a+c不共线，则存在实数，使得a+b=（b+c）+（a+c），（1）a+（1）b-（+）c=0，a，b，c是空间一个基底，则1-=01-=0+=0，矛盾，假设错误，a+b，b+c，a+c不共面，a+b，b+c，a+c一定能构成空间的一个基底，故D正确故选：BCD（多选）10（5分）下列直线经过点M（2，2）且在两坐标轴上

16、截距相等的是（）Axy0Bx+y2Cx2Dx+y4【解答】解：由于xy0经过点M（2，2），且在两坐标轴上截距相等，都等于0，故A满足条件；由于x+y2不经过点M（2，2），故排除B；由于直线x2经过点M（2，2），但在y轴上的截距不存在，故排除C；由于x+y4经过点M（2，2），且在两坐标轴上截距相等，都等于4，故D满足条件，故选：AD（多选）11（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A若acosA=bsinB，则A=4B若sin2Asin2B，则此三角形为等腰三角形C若a1，b2，A30，则解此三角形必有两解D若ABC是锐角三角形，则sinA+sinBc

17、osA+cosB【解答】解：A中，由acosA=bsinB，由正弦定理可得asinA=bsinB，可得sinAcosA，在三角形中，可得A=4，所以A正确；B中，由sin2Asin2B，可得2A2B或2A+2B，所以AB或A+B=2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；C中，若a1，b2，A30，则bsinA1a，所以只有一个解，所以C不正确；D中，锐角三角形ABC中，可得A+B2，可得2A2-B0，可得sinAsin（2-B）cosB，同理可得sinBcosA，所以sinA+sinBcosA+cosB，所以D正确；故选：AD（多选）12（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D

18、1的棱长为1，点P是棱CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A存在点P，使DP面AB1D1B二面角PBB1D的平面角大小为60CPB+PD1的最小值是5DP到平面AB1D1的距离最大值是33【解答】解：对于A，当P与C1重合时，DPAB1，根据线面平行的判定，可得使DP面AB1D1，故正确；对于B，二面角PBB1D就是二面角CBB1D，其平面角大小为45故错；对于C，如图沿棱CC1展开面B1BCC1为面C1CFE，使点D1，D，C，C1，E，F共面，则PB+PD1的最小值为D1F=D1D2+DF2=5，故正确；对于D，当P与C重合时，A1C垂直平面AB1D1的，此时点C到面AB

19、1D1距离最大值为23A1C=233，故错故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为 10【解答】解：按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为60100100+200+300=10故答案为：1014（5分）已知对xx|1x3，都有mx，则m的取值范围为 3，+）【解答】解：因为对xx|1x3，都有mx，所以m3，则m的取值范围为3，+）故答案为：3，+）15

20、（5分）设A为圆（x1）2+y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为（x1）2+y22【解答】解：圆（x1）2+y21的圆心坐标为C（1，0），半径为1设点P（x，y），故：|PC|2|PA|2+r22，故（x1）2+y22故答案为：（x1）2+y2216（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2Bsin2CsinAsinC，则2tanB2+1tanC的最小值为 22【解答】解：由于在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2Bsin2CsinAsinC，利用正弦定理：b2c2ac，所以：b2c2+ac；由于b2a2+c22acco

21、sB，整理得：ca2ccosB；所以sinCsinA2sinCcosBsin（B+C）2sinCcosB，故CBC或C+BC（舍去），故C=B2，所以2tanB2+1tanC=2tanC+1tanC22tanC1tanC=22，当且仅当C=4时，等号成立；故答案为：22；四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22题12分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知圆C过点M（0，2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+10上，求圆C的标准方程【解答】解：圆心C在直线x+2y+10上，可设圆心C（12y0，y0），圆C过点M（0，2），N（3，1），(-1-2

22、y0-0)2+(y0+2)2=(-1-2y0-3)2+(y0-1)2，解得y02，圆心C（3，2），r2|CM|2（30）2+2（2）29，故圆C的方程为（x3）2+（y+2）2918（12分）已知函数f(x)=x2-(m+1m)x+1（1）若不等式f（x）0解集为x|13x3时，求实数m的值；（2）当m0时，解关于x的不等式f（x）0【解答】解：（1）不等式f（x）0化为x2（m+1m）x+10，由不等式解集为x|13x3，所以13和3是对应方程x2（m+1m）x+10的两根，所以m+1m=3+13，解得m3或m=13；（2）不等式f（x）0化为x2（m+1m）x+10，即（xm）（x-1m

23、）0；当m=1m，即m1时，不等式化为（x1）20恒成立；当m1m，即m1时，解不等式得x1m或xm；当m1m，即0m1时，解不等式得x1m或xm；综上知，当m1时，不等式的解集为R；当m1时，不等式的解集为x|x1m或xm；当0m1时，不等式解集为x|x1m或xm19（12分）中国神舟十三号载人飞船于2022年4月16日圆满完成飞行任务，神舟十三号的成功又一次激发了广大中学生对于航天的极大兴趣某校举行了一次主题为“航天梦，强国梦”的知识竞赛活动，用简单随机抽样的方法，在全校选取100名同学，按年龄大小分为大龄组甲和小龄组乙两组，每组各50人，所有学生竞赛成绩均在60100之间，甲组竞赛成绩的

24、频率分布表和乙组竞赛成绩的频率分布直方图，如图所示 组号组距频数频率第一组60，70）50.1第二组70，80）ab第三组80，90）150.3第四组90，100100.2（1）求a，b，x的值；（2）若以平均分为依据确定小组成绩的优劣，你认为哪个小组成绩更优？请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若成绩不低于90分的同学称为“航天追梦者”，以选取的100名同学作为样本，试估计该校2000名学生中“航天追梦者”的人数【解答】解：（1）由甲组的频数分布表可知a505151020，解得b=2050=0.4，由乙组的频率分布直方表可知：1（0.02+0.04+0.01）100.

25、3，解得x=0.310=0.03，（2）记甲组平均分为x1=650.1+750.4+850.3+950.281，记乙组平均分为x2=650.2+750.3+850.4+950.179，因为x1x2，即甲组成绩更优（3）由频率分布表可知：甲组中“航天追梦者”的人数为：10人，乙组中“航天追梦者”的人数为：500.15人，甲、乙两组中“航天追梦者”的频率10+5100=0.15，所以，甲、乙组中“航天追梦者”的人数为：20000.15300人20（12分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(b+a+c，3b)，n=(3c，b-a+c)，且mn（1）求A的值；（2）若a3，

26、求ABC周长的取值范围【解答】解：（1）因为mn，所以（b+c+a）（b+ca）3bc0，所以（b+c）2a23bc，所以b2+c2a2bc，所以2bccosAbccosA=12，因为0A，所以A=3（2）由正弦定理得bsinB=csinC=332=23，所以b=23sinB，c=23sinc=23sin(23-B)，所以三角形的周长为：3+b+c3+23sinB+23sin（23-B）3+23sinB+23（sin23cosBcos23sinB）3+33sinB+3cosB3+6sin（B+6），因为0B23，可得6B+656，所以12sin(B+6)1，所以63+6sin(B+6)9，所以

27、三角形的周长的取值范围为（6，921（12分）在多面体ABCDE中，平面ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABBC，CD1，AEAC2，F为DE的中点，且点E满足EB=4EG（1）证明：GF平面ABC；（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角ABED的余弦值【解答】（1）证明：分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，在梯形ACDE中，DCEA，且DC=12EA，M，N分别为BA，BE的中点，MNEA，MN=12EA，MNCD，且MNCD，则四边形CDNM为平行四边形，得CMDN，又EB=4EG，N为EB的中点，G为EN的中点，又F为ED的中点，

28、GFDN，可得GFCM，又CM平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC；（2）解：在平面ABC内，过B作BHAC，交AC于H，平面ACDE平面ABC，且平面ACDE平面ABCAC，BH平面ABC，BHAC，BH平面ACDE，则BH为四棱锥BACDE的高，又底面ACDE的面积确定，要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时ABBC=2过点H作HPAE，可知HB，HC，HP两两垂直，以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（1，0，0），E（0，1，2），D（0，1，1），AB=(1，1，0)，BE=(-1，-1，2)，DE=(

29、0，-2，1)，设n1=(x1，y1，z1)是平面ABE的一个法向量，则n1AB=x1+y1=0n1BE=-x1-y1+2z1=0，取y11，得n1=(1，-1，0)；设n2=(x2，y2，z2)为平面DBE的一个法向量，则n2DE=-2y2+z2=0n2BE=-x2-y2+2z2=0，取z22，可得n2=(3，1，2)cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=2214=77由图可知，二面角ABED为钝角，二面角ABED的余弦值为-7722（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y24相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D（1）当点B坐标为（0，2

30、）时，求直线CD的方程；（2）求四边形ABCD面积S的最大值【解答】解：（1）当B（0，2）时，直线AB的斜率为0-(-2)1-0=2，CD与AB垂直，直线CD的斜率为-12，直线CD的方程为y=-12（x2），即x+2y20（2）当直线AB与x轴垂直时，AB23，CD4，四边形ACBD的面积S=12ABCD=43，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为yk（x1），即kxyk0，则直线CD方程为y=-1k(x-2)，即x+ky20，点O到直线AB的距离为|k|k2+1，AB24-(|k|k2+1)2=23k2+4k2+1，CD24-(2k2+1)2=4k2k2+1，则四边形ACBD面积S=12ABCD=1223k2+4k2+14k2k2+1=4(3k2+4)k2(k2+1)2，令k2+1t1（当k0时，四边形ACBD不存在），S=4(3t+1)(t-1)t2=44-(1t+1)2（0，43），四边形ABCD面积S的最大值为43