2021-2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何(解答题)(理)(通用).docx

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1、专题06 立体几何（解答题）（理）目录知识点1：线面角、二面角及其正弦值知识点2：点到平面距离问题知识点3：立体几何综合近三年高考真题知识点1：线面角及其正弦值、二面角1（2023甲卷（理）在三棱柱中，底面，到平面的距离为1（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值【解析】（1）证明：取的中点，连接，底面，底面，底面，底面，平面，平面，平面平面，到平面的距离为1，到的距离为1，；（2）过作交的延长线与，连接，取的中点，连接，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，为直线与距离，由（1）可知平面，为与平面所成角的角，易求得，与平面所成角的正弦值为2（2022浙江）如图，已知和都是

2、直角梯形，二面角的平面角为设，分别为，的中点（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】证明：由于，平面平面，平面，平面，所以为二面角的平面角，则，平面，则又，则是等边三角形，则，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，故；（）由于平面，如图建系：于是，则，设平面的法向量，则，令，则，平面的法向量，设与平面所成角为，则3（2022甲卷（理）在四棱锥中，底面，（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正弦值【解析】（1）证明：底面，面，取中点，连接，又，为直角三角形，且为斜边，又，面，面，面，又面，；（2）由（1）知，两两互相垂直，故建立如图所示的空

3、间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，则可取，设与平面所成的角为，则，与平面所成的角的正弦值为4（2022北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，分别为，的中点（）求证：平面；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】证明：取中点，连接，为的中点，且，四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，是中点，是的点，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；侧面为正方形，平面平面，平面平面，平面，又，若选：；又，平面，又平面，又，两两垂直，若选：平面，平面，平面，又，又，两两垂直，以

4、为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，1，1，2，1，1，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，又，2，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的正弦值为5（2022乙卷（理）如图，四面体中，为的中点（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值【解析】（1）证明：，为的中点，又，又为的中点，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）连接，由（1）知，故最小时，的面积最小，时，的面积最小，又平面，平面，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，过作于点，则平面，故，即为直线与平面所成的角，由，知是2为边长的等边三角形，故，由

5、已知可得，又，所以，在中，由余弦定理得，故与平面所成的角的正弦值为6（2021上海）如图，在长方体中，已知，（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小【解析】（1）如图，在长方体中，；（2）连接，四边形为正方形，则，又，平面，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为7（2021浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为，的中点，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）证明：在平行四边形中，由已知可得，由余弦定理可得，则，即，又，平面，而平面，；（）由（）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，且平面，平面，连接，则，在中，可得，又，在中，求得，取中

6、点，连接，则，可得、两两互相垂直，以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则，2，0，又为的中点，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为8（2023北京）如图，四面体中，平面（）求证：平面；（）求二面角的大小【解析】证明：（）平面，平面，平面，又，又，平面；（）以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，1，0，0，1，0，1，0，设平面的一个法向量为，则，取，得，1，设平面的一个法向量为，则，取，得，1，由图可知二面角为锐角，设二面角的大小为，则，即二面角的大小为9（2023乙卷（理）如图，在三棱锥中，的中点分

7、别为，点在上，（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的正弦值【解析】证明：（1）由题可知，设，则，解得，而，四边形为平行四边形，平面，平面，平面证明：（2），即，平面，平面，平面平面（3）设二面角的平面角为，为和的夹角，二面角的正弦值为10（2022天津）直三棱柱中，为中点，为中点，为中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值【解析】（1）证明：取的中点，连接，连接交于，再连接，且是的中点，则是的中点，又平面，平面，平面，同理可得，平面，又，平面平面，平面，（2）在直三棱柱中，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又，为中点，为中点，为中点故，

8、2，0，0，0，1，则，0，1，设，是平面的法向量，则有：，即，令，则，所以，设直线与平面的夹角为，则，（3），0，则，0，1，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，设平面与平面的夹角为，所以11（2023上海）已知直四棱柱，（1）证明：直线平面；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小【解析】（1）证明：根据题意可知，且，可得平面平面，又直线平面，直线平面；（2）设，则根据题意可得该四棱柱的体积为，底面，在底面内过作，垂足点为，则在底面内的射影为，根据三垂线定理可得，故即为所求，在中，又，二面角的大小为12（2023新高考）如图，三棱锥中，为中点（1）证明；（2）点满足，求二面角的正弦

9、值【解析】证明：（1）连接，为中点，又，与 均为等边三角形，平面，平面，（2）设，又，平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，0，设平面与平面的一个法向量分别为，则，令，解得，令，解得，故，1，1，设二面角的平面角为，则，故，所以二面角的正弦值为13（2022新高考）如图，是三棱锥的高，为的中点（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）证明：连接，依题意，平面，又平面，平面，则，又，则，延长交于点，又，则在中，为中点，连接，在中，分别为，的中点，则，平面，平面，平面；（2）过点作，以，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于，由（1）知，又，则，又，即，12，设平

10、面的一个法向量为，又，则，则可取，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，设锐二面角的平面角为，则，即二面角正弦值为14（2022新高考）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【解析】（1）由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，解得（2）连接交于点，四边形为正方形，又平面平面，平面平面，平面，由直三棱柱知平面，又，平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，又，解得，则，0，2，0，2，1，则，2，1，0，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，0，设平面的一个法向量为，令，则，平面的一

11、个法向量为，1，二面角的正弦值为15（2021天津）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值【解析】（1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，1，2，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又，2，2，所以，则，又平面，故平面；（2）由（1）可知，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）由（1）可知，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为16（2021新高考）在四棱锥中，底面是正方形，若，（）求证：平面平面；（）求二面角的平面角的余弦值【解析】（）证明：中，所以，所以；

12、又，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面（）取的中点，在平面内作，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，1，0，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，设平面的一个法向量为，由，2，得，即，令，得，所以，2，；所以，所以二面角的平面角的余弦值为17（2021乙卷（理）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解析】（1）连结，因为底面，且平面，则，又，平面，所以平面，又平面，则，所以，又，则有，所以，则，所以，解得；（2）因为，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，0，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，

13、则，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为18（2021新高考）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积【解析】（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，1，设，0，则，因为平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，故，因为二面角的

14、大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过作，交于点，过作于点，连结，由题意可知，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以知识点2：点到平面距离问题19（2023天津）在三棱台中，若平面，分别为，中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成角的余弦值；（）求点到平面的距离【解析】（）证明：连接，可得为的中位线，可得，且，而，则，可得四边形为平行四边形，则，而平面，平面，所以平面；（）取的中点，连接，由，可得由平面，平面，可得，可得平面过作，垂足为，连接，由三垂线定理可得，可得为平面与平面所成角

15、由在矩形中，所以；（）设到平面的距离为在中，则由，可得，解得知识点3：立体几何的综合20（2023新高考）如图，在正四棱柱中，点，分别在棱，上，（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：，2，0，2，0，又，四点不共线，；（2）在（1）的坐标系下，可设，2，又由（1）知，0，2，0，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，根据题意可得，又，解得或，为的中点或的中点，21（2021北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点（）求证：为的中点；（）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值【解析】（）证明：连结，在正方体中，平面，平面，则平面，因为平面平面，所以，则，故，又因为，所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，而点为的中点，所以，故，则点为的中点另取的中点，则与平行且相等，进而与平行且相等，四点共面，平面，从而与重合，点为的中点（）以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，设点，0，因为二面角的余弦值为，则，所以，则，2，1，1，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，因为二面角的余弦值为，则，解得，又，所以，故