2023高考数学二轮专题一培优7　函数的公切线问题习题.docx

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1、函数的公切线问题1.(2022湘潭模拟)已知直线l是曲线yex1与yln x1的公共切线，则l的方程为_答案yex1或yx解析设直线l与曲线yex1相切于点P(a，ea1)，与曲线yln x1相切于点Q(b，ln b1)，则ea，整理得(a1)(ea1)0，解得a1或a0，当a1时，l的方程为yex1；当a0时，l的方程为yx.2.(2022河南省百校大联考)已知f(x)ln x与g(x)2xx3c的图象有一条公切线，则c_.答案解析因为f(x)ln x，g(x)2xx3c，所以f(x)x2(当且仅当x1时取等号)，g(x)23x22(当且仅当x0时取等号)，所以公切线的斜率为2，与f(x)的

2、图象相切于点，与g(x)的图象相切于点(0，c)，故2，即c.规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程3.(2022湖北省新高考协作体联考)若存在过点(0，2)的直线与曲线yx3和曲线yx2xa都相切，则实数a的值是()A2 B1C0 D2答案A解析yx3的导函数为y3x2，yx2xa的导函数为y2x1，若直线与yx3和yx2xa的切点分别为(x1，x)，(x2，xx2a)，则过(0，2)的直线为y3xx2，y(2x21)x2，则有解得4.若a，则函数yax2与yln x的公切线有()A0条 B1条C2条 D无数条答案C解析设切线与曲线yln x相

3、切于点(t，ln t)，对函数yln x求导得y，所以曲线yln x在点(t，ln t)处的切线方程为yln t(xt)，即yxln t1，联立可得ax2x1ln t0，由题意可得a0且4a(1ln t)0，可得t2t2ln t，令g(t)t2t2ln t，其中t0，则g(t)2t(2tln tt)t(12ln t)当0t0，函数g(t)单调递增；当t时，g(t)0，函数g(t)单调递减，所以g(t)maxg().且当0t0；当te时，g(t)时，00)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为()A3，) B(3，)C. D.答案A解析因为a0，设切点为(t，4ln t1)，则f(t)，则公切线

4、方程为y4ln t1(xt)，即yx4ln t3，联立可得ax2x4ln t30，所以24a(34ln t)0，整理可得a，由可得34ln t0，解得0t，令h(t)，其中0t0，函数(t)在上单调递增，当0t1时，(t)0，即h(t)0，此时函数h(t)单调递减，当1t0，即h(t)0，此时函数h(t)单调递增，所以h(t)minh(1)3，且当t0时，h(t)，所以函数h(t)的值域为3，)，故a3.6(2022南京模拟)若二次函数f(x)2x23的图象与曲线C：g(x)aex3(a0)存在公切线，则实数a的最大值为()A. B. C. D.答案C解析由f(x)2x23可得f(x)4x，由

5、g(x)aex3可得g(x)aex，设公切线与f(x)2x23的图象相切于点(x1，2x3)，与g(x)aex3的图象相切于点(x2，a3)，所以4x1a，即2x1，可得x10或2x2x12，因为4x1a，a0，则x10,2x2x122，即x21，所以a，x21，令h(x)，x1，可得h(x)，由h(x)0可得1x2；由h(x)2，所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以h(x)maxh(2)，所以实数a的最大值为.7(2022保定模拟)若直线y3xm是曲线yx3(x0)与曲线yx2nx6(x0)的公切线，则mn_.答案 5解析设直线y3xm与曲线yx3(x0)相切于点(

6、a，a3)，与曲线yx2nx6(x0)相切于点(b，3bm)，对于函数yx3(x0)，y3x2，则3a23(a0)，解得a1，所以133m，即m2.对于函数yx2nx6(x0)，y2xn，则2bn3(b0)，又b2nb63b2，所以b2b(32b)63b2，解得b2，n7.所以mn5.8(2022湖北新高考协作体联考)已知f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点的切线相同，则b的最小值为_，曲线yf(x)，yg(x)这样的公共切线有_条答案1解析由f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，x0，则f(x)x2a，g(x)，设两曲线的公切点为(x0，y0)，由题意得，即由x02a得，x2ax03a20，解得x03a或x0a(舍去)，所以曲线yf(x)，yg(x)只有一条这样的公共切线b3a2ln x0x2ax03a2ln 3a6a23a2ln 3a，令F(a)3a2ln 3a，a0，则F(a)6aln 3a6a6a(ln 3a1)，当0a时，F(a)时，F(a)0，所以函数F(a)在上单调递减，在上单调递增，所以当a时，b取得最小值，为F.