6.以圆锥曲线为背景的文化应用问题训练-2023届高三数学微专题复习.docx

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1、1：古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（ ）A元B元C元D元 2：青铜器是指以青铜为基本原料加工面成的器皿、用器等,青铜是红铜与其它化学元素(锡、铂、铅、磷等) 的合金其铜锈呈青绿色，故名青铜青铜器以其独特的器形,精美的纹饰,典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平图中所示为觚,饮酒器,长身,侈口,口底均成喇叭状,外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面已知，该

2、曲面高15寸,上口直径为10寸，下口直径为75寸最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD 3：在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）A B C D 4：如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模

3、型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_5：双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线

4、像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（）A曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C曲线关于直线对称的曲线方程为D若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 解析版1：古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为米且离心率为的椭圆，则小张

5、要买的镜子的价格约为（ ）A元B元C元D元解析：根据题意可得，利用离心率可得，所以镜子的价格为；故选2：青铜器是指以青铜为基本原料加工面成的器皿、用器等,青铜是红铜与其它化学元素(锡、铂、铅、磷等) 的合金其铜锈呈青绿色，故名青铜青铜器以其独特的器形,精美的纹饰,典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平图中所示为觚,饮酒器,长身,侈口,口底均成喇叭状,外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面已知，该曲面高15寸,上口直径为10寸，下口直径为75寸最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD解析：由题知，设方程为，则，得，则，故选B3：在唐诗“白日登山望烽火，

6、黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）A B C D解析：（点关于直线对称）军营所在区域的圆心为，设其关于直线对称的点为，将军出发的点记为点，则所求直线即为直线过作直线的垂线，垂线的方程为，解方程组得垂足的坐标为，故点的坐标为，所以直线的方程为，本题选B4：如图是数学家Germina

7、l Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_解析：如图，圆锥面与其内切球，分别相切与，连接,则，过作垂直于，连接， 交于点C设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为.在中， ， 解得 即 则椭圆的离心率5：双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形

8、线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（）A曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C曲线关于直线对称的曲线方程为D若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为解析：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（2，0），（0，0），故A错；对于B，根据曲线C：（x2+y2）24（x2y2），可知22x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线yx对称的曲线方程为（x2+y2）24（y2x2），故C正确；对于D，据据曲线C：（x2+y2）24（x2y2），可知x2y2，可得若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（，11，+），故D正确；故选：BCD