2023高考数学二轮专题六培优9　探索性问题习题.docx

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1、专题强化练1(2022衡水中学模拟)已知F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过点F的动直线交抛物线C于A，B两点当直线与x轴垂直时，|AB|4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标解(1)因为F，在抛物线方程y22px中，令x，可得yp.当直线与x轴垂直时，|AB|2p4，解得p2.所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意知直线AB的方程为yx1，因为抛物线y24x的准线方程为x1，所以M(1，2)联立消去x得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0

2、)，则y1y24，y1y24.若点P满足条件，则2kPMkPAkPB，即2，因为点P，A，B均在抛物线上，所以x0，x1，x2.代入化简可得，将y1y24，y1y24代入，解得y02.将y02代入抛物线方程，可得x01.则点P(1，2)为满足题意的点2(2022聊城质检)已知P为圆M：x2y22x150上一动点，点N(1,0)，线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得|GH|为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由解(

3、1)由题意可知圆M：x2y22x150的圆心为(1,0)，半径为4，因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，所以|QP|QN|，所以|QN|QM|QP|QM|4，又因为|MN|2b0)，则a2，c1，b，所以点Q的轨迹方程为1.(2)若两条直线斜率均存在，设过点N的弦所在直线l1的方程为xty1(t0)，代入椭圆方程联立得(3t24)y26ty90，设l1与椭圆两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以y1y2，所以yE，则xEt1，同理xF，yF，由对称性可知EF所过定点必在x轴上，设为T(x0，0)，显然，所以，化简得4(1t2)7x0(1t2)，即x0；若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴，综上直线EF必过定点T，取点N与点T的中点为G，则G，因为NHEF，所以0，所以点H在以G为圆心，|GT|GH|为半径的圆上运动，所以存在定点G，使得|GH|为定值