【高中数学】用空间向量研究位置关系课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面的点、直线和平面.1.4.1 1.4.1 用空间向量研究位置关系用空间向量研究位置关系1 1思考思考1.1.如何用向量表示空间中的一个点？如何用向量表示空间中的一个点？在空间中，我们取一定点在空间中，我们取一定点O 作为作为基点基点，那么空间，那么空间中任意一点中任意一点P 的位置就可以用向量的位置就可以用向量 来表示来表示.我们我们把向量把向量 称为点称为点P 的

2、的位置向量位置向量.思考思考2.2.我们知道，空间中给定一个点我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线，如何用向量表示直线 l？如图，如图，是直线是直线l 的方向向量，在的方向向量，在l 上上取取 ，设，设P 是直线是直线l 上的任意一点，上的任意一点，由向量共线的条件可知，点由向量共线的条件可知，点P 在直线在直线l 上上的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数t，使得，使得 即即 进一步地，进一步地，取定空间中的任意一点取定空间中的任意一点O，可以得到点，可以得到点P在直线在直线l 上的充要上的充要条件是存在实数条件是

3、存在实数t，使，使和和都称为空间直线的向量表示式，空都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定唯一确定.将将 代入代入式得式得空间中直线的向量表示：空间中直线的向量表示：已知直线上两点，如何求直线的方向向量？已知直线上两点，如何求直线的方向向量？一般地，若已一般地，若已知直线上两点知直线上两点 ，则直线的，则直线的一个方向向量为一个方向向量为练习：练习：已知直线已知直线l 上两点上两点A(1，4，3)，B(2，2，5)，请写出直线，请写出直线l 的一个方的一个方向向量向向量_练习思考思考3.3.一个定点和两个定方向能否确定一个

4、平面？一个定点和两个定方向能否确定一个平面？空间中平面的向量表示：空间中平面的向量表示：这样，点这样，点O与向量与向量 ，不仅可以确定平面不仅可以确定平面，还可以具体表示出，还可以具体表示出 内内的任意一点的任意一点.我们知道，平面我们知道，平面 可以由可以由 内两条相交直内两条相交直线确定线确定.如图，设两条直线相交于点如图，设两条直线相交于点O，它们，它们的方向向量分别为的方向向量分别为 和和 ，P为平面为平面 内任意一内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对序数对(x，y)，使得，使得 .进一步地，如图，取定空间任意一点进一步地，如图

5、，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点可以得到，空间一点P位于平面位于平面ABC内的充要条内的充要条件是存在实数件是存在实数x，y使使 ，也即也即 我们把我们把式称为空间平面式称为空间平面ABC的向量表示式的向量表示式.由此可知，由此可知，空间中任意空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.我们知道，给定空间一点我们知道，给定空间一点A和一条直线和一条直线l，则过点则过点A且垂直于且垂直于l 的平面是唯一确定的的平面是唯一确定的.由此，由此，我们可以利用点我们可以利用点A和直线和直线l 的方向向量来确定平的方向向量来确定平面面.如图，直线如图，直

6、线l，取直线，取直线 l 的方向向量的方向向量 ，则向量则向量 叫做叫做平面的法向量平面的法向量.给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ，那么过点，那么过点A，以向量，以向量 为法向量的平面是完为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合全确定的，可以表示为集合 .注意：注意：1.1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量2.2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行思考思考4.4.进一步地，一个定点和一个定方向，能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向，能否确定一个平面？如何求平面的法向量？如何求平面的法向量？(1)(1)设出平面的法向量为设出平面的法向量为

7、(2)(2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标找出平面内的两个不共线的向量的坐标 (3)(3)根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组的方程组(4)(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量解方程组，取其中一个解，即得法向量.例例1.1.如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是是AB的中点的中点.(1)(1)求平面求平面BCC1B1的一个法向量；的一个法向量；(2)(2)求平面求平面MCA1的一个法向量的一个法向量.练练习习巩巩固固练练习习巩巩固固 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平我们

8、知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？直线与直线的平行直线与直线的平行 如图，设如图，设 ，分别是直线分别是直线 l1，l2 的方向向量的方向向量.由方向向量的定义可由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以所以直线与平面的平行直线与平面的平行

9、如图，设如图，设 是直线是直线l 的方向向量，的方向向量，是平面是平面 的法向量，的法向量，若，若l 与与 平行，则平行，则ABCDD1A1B1C1xyzP建系建系设点设点取向量取向量列方程组列方程组取解取解得法向量得法向量ABCDD1A1B1C1xyzP练练习习巩巩固固解:存在点E使CE平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),练练习习巩巩固固平面与平面的平行平面与平面的平行 如图，设如图，设 ，分别分别是平面是平面，的法向量，若的法向量，若 与与 平行，平行，则则练习1：已知

10、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE平面B1C1F.练练习习巩巩固固证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),练练习习巩巩固固练练习习巩巩固固 类似空间中直线、平面平行的向量表示类似空间中直线、平面平行的向量表示 在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？平面的法向量之间有什么关系？直

11、线与直线的垂直：直线与直线的垂直：如图，设如图，设 ，分别是直线分别是直线 l1，l2 的方向向量的方向向量.若若 l1与与 l2 垂直，等垂直，等价于它们的方向向量垂直，即价于它们的方向向量垂直，即直线与平面的垂直：直线与平面的垂直：如图，设如图，设 是直线是直线l 的方向向量，的方向向量，是平面是平面 的法向量，若的法向量，若l 与与 垂直，垂直，则则 练习：正方体练习：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1，CD中点，求证：中点，求证：D1F平面平面ADE.解析：解析：要证明线面垂直：要证明线面垂直：根据判定定理转化为线线垂直根据判定定理转化为线线垂直证明直线的方向向量与平面的法证明直线的方向向量与平面的法向量平行向量平行例例4.4.如图在平行六面体如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=AD=AA1=1，A1AB=A1AD=BAD=60，求证：求证：A1C平面平面BDD1B1.平面与平面的垂直：平面与平面的垂直：如图，设如图，设 ，分别分别是平面是平面，的法向量，若的法向量，若 与与 垂直，则垂直，则