浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 浙江省浙江省 A9 协作体协作体 2023 学年第一学期期中联考学年第一学期期中联考 高二数学试题高二数学试题 考生须知：考生须知：1本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟；分钟；2答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分选择题部分 一、单项选择题：（本题共一、单项选择题：（本题共 8

2、 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.）1.若椭圆221369xy+=上一点M到椭圆的一个焦点的距离为 5，则点M到另外一个焦点的距离（）A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知向量(3,2,1)a=，(2,4)bx=，且ab，则实数x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.若直线l的一个方向向量()1,3n=，则l的倾斜角为（）A.30 B.60 C.120 D.150 4.已知圆221:1Cxy+=与圆222:3416Cxy+=（）（），则两圆的公切线条数为（）A.

3、1 B.2 C.3 D.4 5.若直线43120 xy+=与两坐标轴交点为,A B，则以AB为直径的圆的方程为（）A.22340 xyxy+=B.22430 xyxy+=C.22340 xyxy+=D.22430 xyxy+=6.正方体1111ABCDABC D中，二面角111AB DA的余弦值为（）A.32 B.63 C.22 D.33 的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知点F为椭圆C:2212516xy+=的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆22:(3)1Mxy+=上的动点，则PFPQ的最小值是（）A.12 B.29 C.23 D.83 8.如图，一束平行光线与地平

4、面的夹角为60，一直径为 24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A.33 B.32 C.22 D.12 二、多项选择题：（本题共二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.）9.直线 l经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 l的方程可能是（）A.320 xy+=B.230 xy+=C.50 xy=D

5、.10 xy+=10.在空间直角坐标系Oxyz中，点(0,0,0)O，(2,1,1)A，(3,4,5)B，下列结论正确的有（）A.3 5AB=B.向量OA 与OB 的夹角的余弦值为36 C.点A关于z轴的对称点坐标为(2,1,1)D.向量OA 在OB 上的投影向量为110OB 11.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，2AB=，SD 底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得GEGF，则线段SD的长度可能值为（）第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.3 B.4 C 5 D.6 12.画法几何的创始人法国数学家蒙日发现：在椭圆C:22221x

6、yab+=(0)ab中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为2222xyab+=+.已知椭圆C的离心率为63，点,A B均在椭圆C上，直线l：40bxay+=，则下列描述正确的为（）A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b B.若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为2213xy+=C.若l上任意一点Q都满足0QA QB ，则1b D.若1b=，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MAMB，则AOB面积的最大值为32 非选择题部分非选择题部分 三、填空题：（

7、本题共三、填空题：（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.已知椭圆2215xyk+=的一个焦点是(2 0)，则k的值为_ 14.已知实数,x y满足240 xy+=，则22xy+的最小值为_.15.已知点,A B分别为圆22:(4)(1)1Mxy+=与圆22:(2)(7)4Nxy+=上动点，点P为x轴上的动点，则PAPB+的最小值为_.16.已知正方体1111ABCDABC D棱长为2，E F，分别为111AAAD，的中点，点P在正方体表面上运动，若直线1D P/平面BEF，则点P的轨迹长度为_.的的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题

8、：（本题共四、解答题：（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线10 xy=和直线220 xy+=交点为P（1）求过点P且与直线210 xy+=平行的直线方程；（2）若点P到直线0lmxym+=：距离为2，求m的值.18.如图，直三棱柱111ABCABC，12ACBCCC=，ACBC，点M是线段AB的中点.（1）证明：平面1MCC 平面11ABB A.（2）求异面直线CA与1B M所成角的余弦值；19.已知圆C：()()22344xy+=.（1）若直线l过定点1,0A且与圆C相切，求直线l的方程；（

9、2）若直线:230l kxyk+=与圆C交于,A B两点，求AB的最小值.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率22e=，且椭圆C经过点21,2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()2,0P且斜率不为零的直线与椭圆C交于,B D两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q.21.已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，60DAB=，/EF AB，AEDE=，2AB=，1EF=，平面ADE 平面ABCD，13BMBF=，12ANAD=.的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：ENBC；（2）若直线AE与平面ABCD所成角为60，求

10、直线AM与平面BCF所成角的正弦值.22.已知椭圆221:4Txy+=，1F、2F为椭圆的左右焦点，C、D为椭圆的左、右顶点，直线1:2l yxm=+与椭圆T交于A、B两点.（1）若12m=，求AB；（2）设直线AD和直线BC的斜率分别为1k、2k，且直线l与线段12FF交于点M，求12kk的取值范围.第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 浙江省浙江省 A9 协作体协作体 2023 学年第一学期期中联考学年第一学期期中联考 高二数学试题高二数学试题 考生须知：考生须知：1本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟；分钟；2答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名

11、；座位号写在指定位置；答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分选择题部分 一、单项选择题：（本题共一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.）1.若椭圆221369xy+=上一点M到椭圆的一个焦点的距离为 5，则点M到另外一个焦点的距离（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】

12、B【解析】【分析】根据椭圆的定义进行求解.【详解】由椭圆方程可知236a=，解得6a=.又椭圆上一点 M 到两焦点的距离和为212a=，所以 M 到另一个焦点的距离为1257=.故选：B 2.已知向量(3,2,1)a=，(2,4)bx=，且ab，则实数x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为ab，(3,2,1)a=，(2,4)bx=，所以6240a bx=+=，解得1x=，故选：A 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 3.若直线l的一个方向向量()1,3n=，则l的倾斜角为（）A.30 B.60 C.120 D.

13、150【答案】C【解析】【分析】利用方向向量可求得其斜率为3k=，即可求得倾斜角120=.【详解】由方向向量为()1,3n=可知，直线斜率为331k=，所以倾斜角满足tan3k=，即可得120=.故选：C 4.已知圆221:1Cxy+=与圆222:3416Cxy+=（）（），则两圆的公切线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程可确定两圆圆心和半径，易得圆心距等于两半径之和，即可得两圆外切，所以可得两圆有 3 条公切线.【详解】易知圆1C的圆心为()10,0C，半径11r=，圆2C的圆心为()23,4C，半径24r=，易知两圆圆心距2212345C C=+

14、=，两半径之和为125rr+=，即满足12125C Crr=+=，此时两圆外切，因此两圆有 3条公切线.故选：C 5.若直线43120 xy+=与两坐标轴的交点为,A B，则以AB为直径的圆的方程为（）A.22340 xyxy+=B.22430 xyxy+=C.22340 xyxy+=D.22430 xyxy+=【答案】A【解析】第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据,A B点坐标写出以AB为直径的圆的方程即可.【详解】直线43120 xy+=与两坐标轴的交点为(3,0),(0,4)AB，则22345AB=+=，则以AB为直径的圆半径为52，圆心即为,A B中点坐标为3,22

15、，所以以AB为直径的圆的方程为()22235222xy+=，化简得：22340 xyxy+=.故选：A 6.正方体1111ABCDABC D中，二面角111AB DA的余弦值为（）A.32 B.63 C.22 D.33【答案】D【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量后可得所求二面角的余弦值.【详解】分别以1,DA DC DD为,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，可得()()()()1110,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,0DBAA，则()()1111,0,1,1,1,0ADB D=，第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 设()

16、,nx y z=是平面11AB D的一个法向量，则11100n ADn B D=，即00 xzxy+=，取1x=，得1,1yz=，故()1,1,1n=，又1AA 平面111AB D，故平面111AB D的一个法向量为()10,0,1AA=，所以11113cos,313AA nAA nAA n=，所以二面角1ABDA的余弦值为33.故选：D.7.已知点F为椭圆C:2212516xy+=的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆22:(3)1Mxy+=上的动点，则PFPQ的最小值是（）A.12 B.29 C.23 D.83【答案】B【解析】【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PFP

17、Q的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆:C2212516xy+=中，5,4,3abc=，则()3,0F，圆22:(3)1Mxy+=的圆心()3,0M，半径1r=，第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 圆心()3,0M 为椭圆C的左焦点，由椭圆定义可得210PFPMa+=，10PFPM=，由椭圆的几何性质可得acPMac+，即28PM，由圆几何性质可得1PQPMQMPM+=+，所以1011112111118 19PFPFPMPQPMPMPM=+，所以PFPQ的最小值是29.故选：C.8.如图，一束平行光线与地平面的夹角为60，一直径为 24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影

18、子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A.33 B.32 C.22 D.12【答案】D【解析】【分析】由图可得，求出椭圆的,a b，再代入离心率公式，即可得到答案；【详解】由图可得，椭圆的2b为球的直径，故22412bb=，椭圆的2a为球在地面投影AB，故242424233sin602aa=，22311142cbeaa=，故选：D.的 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：（本题共二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5

19、分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.）9.直线 l经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 l的方程可能是（）A.320 xy+=B.230 xy+=C.50 xy=D.10 xy+=【答案】ACD【解析】【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解.【详解】当直线过原点时，设直线ykx=，则32k=，得32k=，即32yx=，整理为320 xy+=，当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线1xyaa+=，则231aa+=，得1a=，方程为10 xy+=，当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距

20、相反时，设直线1xyaa+=，则231aa，得5a=，方程为50 xy=.故选：ACD 10.在空间直角坐标系Oxyz中，点(0,0,0)O，(2,1,1)A，(3,4,5)B，下列结论正确的有（）A.3 5AB=B.向量OA 与OB 的夹角的余弦值为36 C.点A关于z轴的对称点坐标为(2,1,1)D.向量OA 在OB 上的投影向量为110OB 【答案】BD【解析】第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据空间两点距离公式可判断 A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断 B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断 D.【详解】记()2,1,1aOA=，()3,4,5bOB

21、=，对于 A，22255466AB=+=，故 A 错误；对于 B，222(2)(1)16a=+=，2223455 2b=+=，2 3 1 4 1 55a b=+=，设a与b的夹角为，则53665 2cosa ba b=，故 B正确；对于 C，点A关于z轴的对称点坐标为(2,1,1)，故 C错误；对于 D，a在b上的投影向量为6cos,316105 2bbabbab=，D正确 故选：BD 11.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，2AB=，SD 底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得GEGF，则线段SD的长度可能值为（）A.3 B.4 C.5 D.

22、6【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算可得202a=，再由基本不等式，即可得到结果.第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【详解】设,0SDa a=，,0DGa=中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为2222xyab+=+.已知椭圆C的离心率为63，点,A B均在椭圆C上，直线l：40bxay+=，则下列描述正确的为（）A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b B.若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C

23、的方程为2213xy+=C 若l上任意一点Q都满足0QA QB ，则1b .第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 D.若1b=，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MAMB，则AOB面积的最大值为32【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆上点到原点距离最大值为a，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减a判断A；根据相切列方程，求出椭圆方程，判断 B；分析得到点Q应在蒙日圆外，从而判断 C；根据题意表示出面积，求面积最大值，判断 D.详解】由离心率63cea=且222abc=+得：223ab=，C的蒙日圆方程为：2224xyb+=，对于选项 A，由于原点O到蒙日圆上任意一点的距离都为2b，O到

24、椭圆上任意一点的距离最大值为3ab，所以C上任意一点A与C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(23)b，选项 A 错误；对于选项 B，由蒙日圆的定义可知：直线l与蒙日圆：2224xyb+=相切，则圆心O到直线l的距离为224422dbbab=+，所以1b=，则C的方程为：2213xy+=，选项 B 正确；对于选项 C，由蒙日圆的定义可知：点Q应在蒙日圆外，所以直线l与蒙日圆：2224xyb+=相离，则圆心O到直线l的距离为224422dbbab=+，所以01b，且2521kk=.故答案为：1 14.已知实数,x y满足240 xy+=，则22xy+的最小值为_.第11页/共20页 学科网（北京）

25、股份有限公司【答案】4 55【解析】【分析】根据22xy+的几何意义求最值.【详解】因实数,x y满足240 xy+=，()()222200 xyxy+=+表示原点(0,0)O与 直线240 xy+=上点(),x y之间距离，因为(0,0)O到直线240 xy+=距离为2444 55512d=+，所以22xy+的最小值为4 55.故答案为：4 55 15.已知点,A B分别为圆22:(4)(1)1Mxy+=与圆22:(2)(7)4Nxy+=上的动点，点P为x轴上的动点，则PAPB+的最小值为_.【答案】7【解析】【分析】作出圆 M关于 x轴的对称圆圆M，根据对称性可知，12()|PAPBM N

26、rr+=.【详解】如图，圆 M 关于 x 轴的对称圆为圆M，点 A关于 x 轴的对称点为点A.圆22:(4)(1)1Mxy+=，圆心(4,1)M，半径11r=，则圆 M关于 x 轴的对称圆圆M，圆心(4,1)M，半径11r=；圆22:(2)(7)4Nxy+=，圆心(2,7)N，半径22r=.当,MA P B N共线时，PAPB+最小，此时2212=|(42)(1 7)127PAPBPAPBA BM Nrr+=+=.故答案为：7 为 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 16.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2，E F，分别为111AAAD，的中点，点P在正方体表面上运动，

27、若直线1D P/平面BEF，则点P的轨迹长度为_.【答案】2 53 2+【解析】【分析】过1D作面BEF的平行平面，该平面与几何体的截面为四边形1D AGM，求出周长即可得结果.【详解】分别取BC，1CC中点G，M，连结11,D A D M MG AG，因为E F，分别为111AAAD，的中点，所以1/D AEF，因为1D A面BEF，EF 面BEF，所以1/D A面BEF，由正方体的性质易得1/D MBE，1D M 面BEF，BE 面BEF，所以1/D M面BEF，又因为111D AD MD=，1D A面1D AM，1D M 面1D AM,所以面1/D AM面BEF，由于1/MGBC，11/

28、BCAD，所以1/MGD A，即1,A D M G四点共面，由于直线1D P/平面BEF，所以点P的轨迹为四边形1D AGM，轨迹长度为：112 25253 22 5ADD MMGAG+=+=+，故答案为：2 53 2+.第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：（本题共四、解答题：（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线10 xy=和直线220 xy+=的交点为P（1）求过点P且与直线210 xy+=平行的直线方程；（2）若点P到直线0lmxym+=：距离为2，求m的值.【答案

29、】（1）220 xy=（2）1m=.【解析】【分析】（1）首先求点P的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程；（2）代入点到直线的距离公式，即可求解.【小问 1 详解】联立方程组10220 xyxy=+=，解得01xy=，所以点()0,1P，又所求直线与直线210 xy+=平行，所以所求直线的斜率为12，则所求的直线方程为：112yx+=，即220 xy=；【小问 2 详解】点P到0lmxym+=：的距离为2|01|21mmdm+=+（-）解方程可得1m=.18.如图，直三棱柱111ABCABC，12ACBCCC=，ACBC，点M是线段AB的中点.第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公

30、司 （1）证明：平面1MCC 平面11ABB A.（2）求异面直线CA与1B M所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析 （2）66【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直得出面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问 1 详解】直三棱柱111ABCABC中，1CC 平面ABC，AB平面ABC，1ABCC，又等腰RtACB中，点M为AB得中点，ABCM，又1CMCCC=，AB平面1MCC，又AB平面11ABB A，平面1MCC 平面11ABB A.【小问 2 详解】以C为坐标原点，分别以CB，CA，1CC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，第15页/共

31、20页 学科网（北京）股份有限公司 则0,0,0C（），(0,2,0)A，12,0,2B（），1,1,0M（），所以(0,2,0)=CA，1(1,1,2)B M=，设异面直线CA与1B M所成角为，则1116cos|cos,|6|CA B MCA B MCAB M=.19.已知圆C：()()22344xy+=.（1）若直线l过定点1,0A且与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线:230l kxyk+=与圆C交于,A B两点，求AB的最小值.【答案】（1）直线l的方程为3430 xy=和1x=.（2）2 2【解析】【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出

32、方程，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，由条件可得当直线 l 与直线CP垂直时，直线 l 被圆截得的弦|AB最小，再由弦长公式，代入计算，即可得到结果.【小问 1 详解】已知圆心(3,4)C，半径2r=，当直线斜率存在时，设直:(1)l yk x=，即kxyk0=，圆心()3,4C到直线l的距离为2|34|21kkdk=+，解方程可得34k=，此时直线方程为33044xy=，整理得3430 xy=.当直线斜率不存在时，直线l的方程为1x=，满足题意.所以直线l的方程为3430 xy=和1x=.【小问 2 详解】直线l的方程可化为点斜式3(2)yk x=，所以 l过定点(2,3)P.又点(

33、2,3)P在圆 C内，当直线 l与直线CP垂直时，直线 l被圆截得的弦|AB最小.第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 因为43132CPk=，所以 l的斜率1k=，所以 l的方程为3(2)yx=，即50 xy+=，因为()()2232432CP=+=，2r=，此时22|2|2 2ABrCP=所以当1k=时，|AB的最小值为2 2.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率22e=，且椭圆C经过点21,2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()2,0P且斜率不为零的直线与椭圆C交于,B D两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q.【答案】（1）2

34、212xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线PB的方程为2xmy=+并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线AD的方程，求出点Q横坐标表达式即可得()1,0Q.【小问 1 详解】由离心率可得22cea=，将点21,2代入椭圆方程可得221121ab+=，又222abc=+；解得2221ab=，所以椭圆 C的方程为2212xy+=【小问 2 详解】第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 设点()11,B x y，()22,D xy，则()11,A xy，直线PB的方程为2xmy=+，直线PB与椭圆22:1

35、2xCy+=联立，消去x，得222420mymy+=（），则可得12242myym+=+，12222y ym=+，易知28160m=，得22m 由题意，直线AD的方程为212221()yyyxxyxx+=+，令0y=，所以点Q的横坐标1221121212221Qx yx ymy yxyyyy+=+=+，所以直线AD与x轴交于定点()1,0Q 21.已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，60DAB=，/EF AB，AEDE=，2AB=，1EF=，平面ADE 平面ABCD，13BMBF=，12ANAD=.（1）求证：ENBC；（2）若直线AE与平面ABCD所成角为60，求直线AM与平面B

36、CF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）6 36 510170170=【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，即可求证；（2）根据垂直关系，以点N为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问 1 详解】证明：平面ADE 平面ABCD，平面ADE 平面ABCDAD=，ENAD，EN 平面ADE，EN平面ABCD，又BC平面ABCD，ENBC.【小问 2 详解】第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 EN 平面ABCD，AE与平面ABCD所成角为60EAN=，又AEDE=，所以ADE正三角形，故2AEDEAD=.=ADAB，60DAB=，ABD为等边三角

37、形，NANB，以N为坐标原点，分别以,NA NB NE 为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A，(0,3,0)B，(2,3,0)C，(0,0,3)E，13(,3)22F，13BMBF=，故可得M点坐标为1 5 33,663M（）所以7 5 33,663AM=（），设平面BCF得法向量为(,)mx y z=，又()2,0,0BC=，13,322BF=，20133022BC mxBF mxyz=+=，令2y=，则1z=，可得(0,2,1)m=，设直线AM与平面BCF所成角为，6 36 510sin|cos,|170|170m AMm AMmAM=22.已知椭圆221:4Txy+

38、=，1F、2F为椭圆的左右焦点，C、D为椭圆的左、右顶点，直线1:2l yxm=+与椭圆T交于A、B两点.（1）若12m=，求AB；（2）设直线AD和直线BC的斜率分别为1k、2k，且直线l与线段12FF交于点M，求12kk的取值范围.为 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）352 （2）74 3,74 3+【解析】【分析】（1）当12m=时，写出直线l的方程，设点()11,A x y、()22,B xy，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得AB的值；（2）将直线l的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据直线l与线段12FF求出实数m的取值范

39、围，再利用斜率公式结合韦达定理可求出12kk的取值范围.【小问 1 详解】解：设()11,A x y、()22,B xy，当12m=时，直线l的方程为1122yx=，联立直线l与椭圆方程22112244yxxy=+=，可得22230 xx=，44 2 3280=+=，由韦达定理可得121xx=+，2132x x=，所以，()22121215335141 42222ABxxx x=+=.【小问 2 详解】解：联立直线l与椭圆方程221214yxmxy=+=，消去y，得222220 xmxm+=，则()222481840mmm=，解得22m，设()11,A x y、()22,B xy，由韦达定理可

40、得122xxm+=，21222x xm=，第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 因为()()()()11212211211222112122121122222211222222yxmxx xmxxmyxkxykyxx xmxxmxmxx+=+()()22222222111111122111221111mmxmmxmxmmxmmmxxmmmmxmmx+=+111 211111mmxmmmmxm+=+，易知，直线l交线段12FF于点()2,0Mm，则323 m，可得3322m，所以，1211 22174 3,74 3111kmmkmmm+=+.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.