【高中数学】总体离散程度的估计课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、 众数：众数：最高矩形的最高矩形的中点中点由频率分布直方图估计总体的集中趋势由频率分布直方图估计总体的集中趋势 中位数：中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等面积相等 平均数：平均数：每个小矩形底边每个小矩形底边中点的横坐标中点的横坐标与小矩形的与小矩形的面积面积的的乘积之和乘积之和练习练习1 1 某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出8080名学生，其数学成名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1 1）求这次测试数学成绩的众数）求这次测试数

2、学成绩的众数;（2 2）求这次测试数学成绩的中位数）求这次测试数学成绩的中位数.（3 3）求这次测试数学成绩的平均分）求这次测试数学成绩的平均分.（2）中位数中位数中位数落在区间中位数落在区间70,80)内，内，设中位数是设中位数是x，则，则中位数约为中位数约为73.3众数为最高矩形的中点众数为最高矩形的中点中位数左边的直方图面积中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等和右边的直方图面积相等0.050.150.20.3（3）平均数平均数=每个小矩形底边中点的每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积横坐标与小矩形的面积的乘积之和的乘积之和455565758595平均数、中位数、众数各自的含义

3、、特点及优缺点：平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点：平均数平均数中位数中位数众数众数在在频频率分布率分布直方直方图图中的中的含含义义特点特点优优点点缺点缺点每个小矩形面积乘每个小矩形面积乘以小矩形底边中点以小矩形底边中点的横坐标之和的横坐标之和与每一个数据有关，与每一个数据有关，任何一个数的改变都任何一个数的改变都会引起它的改变会引起它的改变把频率分布直方图划分把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分左右两个面积相等的分界线与界线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标只利用了样本数据中间只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，位置的一个或两个值，并未利用其他数据并未利用其他数据最高矩形底边

4、中最高矩形底边中点的横坐标点的横坐标只利用了出现次只利用了出现次数最多的那个值数最多的那个值的信息的信息受极端数据的影响较大受极端数据的影响较大.代表了样本数据更代表了样本数据更多的信息多的信息.只能表达样本数据中的少量信息只能表达样本数据中的少量信息.容易计算，不受少数几个极端值的影响容易计算，不受少数几个极端值的影响.平均数、中位数和众数平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的为我们提供了一组数据的集中趋势集中趋势的信息，这是概的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决

5、策，下面的问题就是一个例子使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.9.2.4 9.2.4 总体离散程度的估计总体离散程度的估计引例引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次次,每次命中的环数如下每次命中的环数如下:甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择性考核，你应当如何作出选择?甲、乙两名运动员射击成绩的甲、乙两名运动员射击成绩的平

6、均数、中位数、众数都是平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，从这个角度看，两名运动员之间没有差别两名运动员之间没有差别.问题问题1 两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？借助借助条形图条形图可以直观看出可以直观看出，甲的成绩比较分散甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中乙的成绩相对集中,即即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的可见，他们的射击成绩是存在差异的射击成绩是存在差异的.10 环数环数频率频率456 78 9（甲甲）10 环数环数频率频率456 789（乙乙）问题

7、问题2 那么，如何度量成绩的这种差异呢那么，如何度量成绩的这种差异呢?一种简单的度量数据一种简单的度量数据离散程度离散程度的方法就是用的方法就是用极差极差.可以发现甲的成绩波动范围比乙的大可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.根据甲、乙运动员的根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到次射击成绩，可以得到 甲命中环数的极差甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差乙命中环数的极差=9-5=4.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以

8、极差所含的信对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少息量很少.若若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩平均成绩不会太远；不会太远；相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均平均成绩成绩会比较远会比较远.因此，可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的因此，可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离平均距离”来度量成绩的波动幅度来度量成绩的波动幅度.问题问题3 你还能想出其他你还能想出其他刻画数据离散程度刻画数据离散程度的办法吗的办法吗?假设一组数据是假设

9、一组数据是x1,x2,xn，用，用 表示这组数据的平均数表示这组数据的平均数.我们用我们用每个数每个数据据与与平均数平均数的的差差的的绝对值绝对值作为作为“距离距离”,即即 作为作为xi到到 的的“距离距离”.可以得到这组数据可以得到这组数据x1,x2,xn到到 的的“平均距离平均距离”为为 .问题问题4 如何定义如何定义“平均距离平均距离”?问题问题5 为什么用为什么用“平均距离平均距离”刻画离散程度，用刻画离散程度，用“总距离总距离”行吗行吗?为了为了避免式中含有绝对避免式中含有绝对值，通常改用值，通常改用平方平方来代替，即来代替，即方差方差 一组数据是一组数据是x1，x2，xn，用，用

10、表示这组数据的平均数表示这组数据的平均数，这组数据这组数据的的方差方差为为_=_，标准差标准差为为_.（1）方差、标准差方差、标准差的定义的定义思考：思考：标准差的取值范围是什么？标准差为标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？的一组数据有什么特点？标准差s0；s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性（2）总体方差、总体标准差总体方差、总体标准差的定义的定义 如果总体中所

11、有个体的变量值分别为如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体平均总体平均数数为为 ，则称，则称 S2=_为为总体方差总体方差，S=_为为总体标准差总体标准差 如果总体的如果总体的N个变量值中，不同的值共有个变量值中，不同的值共有k（kN）个，不妨记为个，不妨记为Y1，Y2，Yk，其中其中Yi出现的频数为出现的频数为fi（i=1，2，k），则），则总体方差总体方差为为（3）样本方差、样本方差、样本样本标准差标准差的定义的定义 （4）特征：）特征：标准差和方差标准差和方差刻画了刻画了数据的数据的_程度或波动幅度程度或波动幅度标准差（或方差）标准差（或方差）越大越大，数据的，数据的离散

12、程度越离散程度越_，越不稳定，越不稳定；标准差（或方差）标准差（或方差）越小越小，数据的，数据的离散程度越离散程度越_，越稳定，越稳定在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问但在解决实际问题中，一般多采用题中，一般多采用_.离散离散大大小小标准差标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，yn，样本平均样本平均数数为为 ，则称则称 s2=_为为样本方差样本方差，s=_为为样本标准差样本标准差 由由s甲甲s乙乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程

13、度小.由此可以估计，由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定乙比甲的射击成绩稳定.s甲甲=2，s乙乙1.095如果要从这两名选手中选择一名参加比赛如果要从这两名选手中选择一名参加比赛,要看一下他们的平均成绩在所有要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手选成绩稳定的乙选手，否则可，否则可以选甲以选甲.引例引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次次,每次命中的环数如下每次命中的环数如下:甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6

14、7 7 例例1 甲甲、乙两机床同时加工直径为、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取的零件，为检验质量，从中抽取6件测量件测量数据为数据为(单位：单位：cm)：甲：甲：9910098100100103乙：乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定用样本的标准差、方差估计总体的用样本的标准差、方差估计总体的方法方法：(1)用用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体

15、的平均数、标准差的近似值实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析准差的近似值实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差平均水平，再计算标准差(方差方差)分析稳定情况分析稳定情况 (2)标准差标准差、方差的取值范围是、方差的取值范围是0，)(3)因为因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差在解决实际问题时，一般多采用标准差 例例2 在

16、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为人，其平均数和方差分别为170.6和和12.59，抽取了女生，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为人，其平均数和方差分别为160.6和和38.62.你你能由这些数据计算能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？分层抽样总样本方差的计算分层抽样总样本方差的计算总结：平均数总结：平均数、方差性质、方差性质练习：练习：