2024届高考数学专项圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）含答案.pdf

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1、1圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展)圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展)考情探究考情探究命题规律及备考策略命题规律及备考策略【命题规律】【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分【备考策略】【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点梳理考点梳理知识讲解知识讲解1.椭圆中的阿基米德三角形椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的弦为 AB,

2、过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕着定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.2.双曲线中的阿基米德三角形双曲线中的阿基米德三角形设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a,b0的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于 Q点，称ABQ 为阿基米德2024届高考数学专项圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）含答案2三角形,则有:

3、性质 1:弦 AB 绕者定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.3.抛物线中的阿基米德三角形抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴（2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C,则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线（3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l

4、上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线 l 方程为:ax+by+c=0,则定点的坐标为 Cca,-bpa.（4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为a38p.（5）若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点 Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为 p2（6）在阿基米德三角形中,QFA=QFB（7）AF BF=QF2.（8）抛物线上任取一点 I(不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI,则 ABI 的面积是 QST 面积的 2 倍考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1(2022全国高三专题练习

5、)过抛物线y2=2px p0的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，PAB又常被称作阿基米德三角形PAB的面积S的最小值为()A.p23B.p22C.p2D.2p22(2023甘肃高三校考阶段练习)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PFAB若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线3AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-

6、2=03(2023全国高三专题练习)阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)，出生于古希腊西西里岛叙拉古(今意大利西西里岛上)，伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家有一类三角形叫做阿基米德三角形(过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形)，他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23(即右图中阴影部分面积等于PAB面积的23)若抛物线方程为y2=2px(p0)，且直线x=p2与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p=()A.1B.2C.32D.34(2023新疆克拉玛依克拉玛依市高级中学校考模拟预测)

7、我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下性质：P点必在抛物线的准线上；PAPB；PFAB已知直线l:y=k x-1与抛物线y2=4x交于A，B点，若 AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”PAB的面积为()A.8 2B.4 2C.2 2D.25(2022秋广东茂名高三统考)阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理在该定理中，抛

8、物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)PAPB；(3)PFAB若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为PAB，且点P在直线x-y+6=0上，则直线AB的方程为()A.x-y-2=0B.x-2y-2=0C.x+y-2=0D.x+2y-2=06(2022全国高三专题练习)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三4角形PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”，

9、抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下性质：P点必在抛物线的准线上；PAPB；PFAB.已知直线l：y=k(x-1)与抛物线C：y2=4x交于A，B点，若 AB=8，记此时抛物线 C的“阿基米德三角形”为PAB，则P点为()A.-1,2B.-1,2C.-1,-2D.-1,17(2022全国高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A

10、，B两点的直线的方程为3x-3y+6=0，关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论不正确的是()A.AB=323B.PAPBC.PFABD.点P的坐标为3,-28(2023全国高三专题练习)阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p0)上有两个不同的点A x1,y1,B x2,y2，以A，B为切点的抛物线的切线PA,PB相交于P.给出如下结论，其中正确的为()(1)若弦

11、AB过焦点，则ABP为直角三角形且APB=90；(2)点P的坐标是x1+x22,x1x22；(3)PAB的边AB所在的直线方程为 x1+x2x-2py-x1x2=0；(4)PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合).A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)考点二、阿基米德三角形之定点问题考点二、阿基米德三角形之定点问题9(2023秋江西上饶高三统考期末)(多选)若M 1,0，N 4,0，点Q满足 QN=2 QM，记点Q的轨迹为曲线C，直线l:x+y-4=0，P为l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是()A.P

12、Q的最小值为2 2-2B.直线AB恒过定点 1,1C.PA PB 的最小值为05D.当 PO AB最小时，直线AB的方程为x+y-1=010(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-3上的动点，过点M作抛物线C:x2=2y的两条切线MA,MB，切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明MNx轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.11(2021北京高三专题练习)抛物线C:x2=2py(p0)，Q为直线y=-p2上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N.(1)证明：直线MN过定点；(2)若以G 0,5p2为圆心的圆

13、与直线MN相切，且切点为线段MN的中点，求该圆的面积.12(2023湖南岳阳高三校考)已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程13(2023秋山东临沂高三校考期末)已知M-2,0,N-1,0，动点Q满足QMQN=2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点P是直线y=12x-2上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC,PD，切点为C,D，则直线CD是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.14(202

14、3辽宁大连高三校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知两个定点A(0,4),B(0,1)，动点P满足|PA|=2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l:y=kx-4与曲线E交于不同的两点C,D，且OCD=30(O为坐标原点)，求直线l的斜率；(3)若点Q是直线l:x-y-4=0上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN，切点为M,N，探究：直线MN是否过定点.15(2023秋山西太原高三校考期末)已知点A 0,-1，B 0,1，动点P满足 PB AB=PA BA 记点P的轨迹为曲线C(1)求C的方程；(2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是

15、E，F证明：直线EF过定点16(2023全国高三专题练习)设点P为直线y=x-3上的动点，过点P作抛物线x2=2y的两条切线，切点为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求点P的坐标和圆的方程.6考点三、阿基米德三角形之定值问题考点三、阿基米德三角形之定值问题17(2023河南郑州高三校考期末)如图，已知抛物线C：y2=2px(p0)上的点到焦点的距离的最小值为1，过点P-4,0作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，D为线段PA上的动点，过点D作抛物线的切线，切点为E(异于点A，B)，且直线DE交线段PB于点H(1)求抛物线C的方程；(2)证明：AD+

16、BH为定值18(2023全国高三专题练习)已知中心在原点的椭圆1和抛物线2有相同的焦点(1,0)，椭圆1的离心率为12，抛物线2的顶点为原点.(1)求椭圆1和抛物线2的方程；(2)设点P为抛物线2准线上的任意一点，过点P作抛物线2的两条切线PA，PB，其中A,B为切点.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.考点四、阿基米德三角形之面积问题考点四、阿基米德三角形之面积问题19(2023全国高三专题练习)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点到原点的距离等于直线l:x-4y-4=0的斜率.7(1)求抛物线C的方程及准线方程；(2)点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两

17、条切线，切点分别为A，B，求PAB面积的最小值.20(2023全国高三专题练习)已知点A(0，2)，动点M到点A的距离比动点M到直线y=-1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求QDE的面积S的最小值21(2023全国高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，点M是AB的中点.(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求PAB面积的最小值.考点五、阿基米德三角形之切线垂直考点五、阿基米德三角形

18、之切线垂直22(2023全国高三专题练习)抛物级x2=2py(p0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A x1,y1，B x2,y2两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PFAB.23(2023全国高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.(1)若点P坐标为 0,-1，求切线PA,PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.8考点六、阿基米德三角形之角度问题考点六、阿基米德三角形之角度问题24(2023全国高三专题练习)

19、已知F，F分别是椭圆C1:17x2+16y2=17的上、下焦点，直线l1过点F且垂直于椭圆长轴，动直线l2垂直l1于点G，线段GF的垂直平分线交l2于点H，点H的轨迹为C2.(1)求轨迹C2的方程；(2)若动点P在直线l:x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C2的两条切线PA、PB，切点为A、B，试猜想PFA与PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性.25(江西高考真题)设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB考点七、阿基米德三角形之点坐

20、标问题考点七、阿基米德三角形之点坐标问题26(2023全国高三专题练习)已知动点P到直线y=-8的距离比到点 0,1的距离大7(1)求动点P的轨迹方程；(2)记动点P的轨迹为曲线C，点M在直线l1:y=-1上运动，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，点N是平面内一定点，线段MA，NA，NB，MB的中点依次为E，F，G，H，若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标27(2023春广东茂名高三校考阶段练习)已知平面内动点P x,y，P到定点F6,0的距离与P到定直线l:x=4 63的距离之比为32，(1)记动点P的轨迹为曲线C，求C的标准方程(2)已知点M是圆x2+y2=10

21、上任意一点，过点M作做曲线C的两条切线，切点分别是A,B，求MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标.注：椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0上任意一点P x0,y0处的切线方程是：x0 xa2+y0yb2=1.28(2023秋湖北武汉高三华中师大一附中校考期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴，点Q m,2抛物线上，且Q到抛物线的准线的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)动点P在抛物线的准线上，过点P作拋物线C的两条切线分别交y轴于A,B两点，当PAB面积为92 时，求点P的坐标.好题冲关好题冲关【能力提升】【能力提升】1(2022陕西校联考模拟预测)抛物线上任意两点

22、AB处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”.当线段AB经过抛物线焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PAB为直角三角形，且PAPB；PFAB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=02(2023全国高三专题练习)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质已知抛物线y2=4x，过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点

23、M，则下列说法正确的是()A.M点必在直线x=-2上，且以AB为直径的圆过M点B.M点必在直线x=-1上，但以AB为直径的圆不过M点C.M点必在直线x=-2上，但以AB为直径的圆不过M点D.M点必在直线x=-1上，且以AB为直径的圆过M点3(2022全国高三专题练习)圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：点P必在抛物线的准线上；PAB为直角三角形，且APB为直角；PFAB，已知P为抛物线y2=x的准线上一点，则阿基米德三角形

24、PAB面积的最小值为()A.12B.14C.2D.14(2023青海西宁统考二模)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值设抛物线y2=2px(p0)，弦AB过焦点，ABQ为阿基米德三角形，则ABQ的面积的最小值为()A.p22B.p2C.2p2D.4p25(2023宁夏银川六盘山高级中学校考三模)已知动点P到直线y=-54的距离比到定点 0,14的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)若M为直线y=x-2上一动点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点为A，B，

25、N为AB的中点.求证：MNx轴；直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.6(2022全国高三专题练习)在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px p0，点M32,y是抛10物线C上的一点，点M到焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)点P x0,y0为圆E：x+22+y2=1上的任意一点，过点作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求点到直线AB距离的最大值.7(2023全国高三专题练习)如图已知P-2,t是直线x=-2上的动点，过点P作抛物线y2=4x的两条切线，切点分别为A,B，与y轴分别交于C,D.(1)求证：直线AB过定点，并求出该定

26、点；(2)设直线AB与x轴相交于点Q，记A,B两点到直线PQ的距离分别为d1,d2；求当ABd1+d2取最大值时PCD的面积.8(2023全国高三专题练习)已知点A(-4，4)、B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求QDE的面积S的最小值9(2023全国高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=2py p0，点A x,32是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2(1)求抛物线的方程；(2)点Q为直线y=-12上的动点，过点Q作抛物线

27、C的两条切线，切点分别为D，E，求QDE面积的最小值10(2022春安徽滁州高二校考开学考试)已知抛物线C:y2=2px p0上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大12.11(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点P m,n作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线l:y=32x上，求三角形ABP面积的最大值.【真题感知】【真题感知】11(全国统考高考真题)已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点：(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的

28、面积.12(辽宁高考真题)如图，抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py p0.点M x0,y0在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A,B M为原点O时，A,B重合于O.当x0=1-2 时，切线MA的斜率为-12.(I)求p的值；(II)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）。1圆锥曲线中的阿基米德三角形圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展高阶拓展)考情探究考情探究命题规律及备考策略命题规律及备考策略【命题规律】【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分【备考策略】【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德

29、三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点梳理考点梳理知识讲解知识讲解1.椭圆中的阿基米德三角形椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的弦为 AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕着定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ

30、=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.2.双曲线中的阿基米德三角形双曲线中的阿基米德三角形设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a,b0的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于 Q点，称ABQ 为阿基米德2三角形,则有:性质 1:弦 AB 绕者定点 P m,0转动时,则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m上.其中,当 P 点为左(右)焦点时,Q 点位于左(右)准线上.性质 2:直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列,即 kPQ=kAQ+kBQ.性质 3:当 P 点为焦点时,PQAB.3.抛物线中的阿基米德三角形抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为 AB,过A，B两点做

31、抛物线切线，交于Q点，称ABQ 为阿基米德三角形,则有:（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴（2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C,则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线（3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线 l 方程为:ax+by+c=0,则定点的坐标为 Cca,-bpa.（4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为a38p.（5）若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点 Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为 p2（6）在阿基米德三角形中,QFA=QFB（7）AF BF=QF2.（8）抛物线上任取一

32、点 I(不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI,则 ABI 的面积是 QST 面积的 2 倍考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1(2022全国高三专题练习)过抛物线y2=2px p0的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，PAB又常被称作阿基米德三角形PAB的面积S的最小值为()A.p23B.p22C.p2D.2p2【答案】C【解析】设出直线AB的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可得SPAB=p21

33、+m232p2.【详解】设A x1,y1，B x2,y2，由题意可得直线AB的斜率不为0,3因为直线AB过焦点p2,0，所以设直线AB的方程x=my+p2；联立y2=4xx=my+p2 得y2-2mpy-p2=0，所以y1+y2=2mp,y1y2=-p2，AB=1+m2y1+y22-4y1y2=2p 1+m2由抛物线的性质可得过点A x1,y1，B x2,y2的抛物线的切线方程为：yy1=p x+x1,yy2=p x+x2，联立yy1=p x+x1yy2=p x+x2 得x=y1y22p=-p2，y=y1+y22=mp，即P-p2,mp.点P到直线的距离d=p 1+m21+m2，SPAB=12

34、ABd=p21+m232p2当且仅当m=0时取到最小值.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.2(2023甘肃高三校考阶段练习)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PFAB若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2

35、=0【答案】A【分析】由PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点，得到点P(-1,4)，进而得到直线PF的斜率，再由PFAB，得到直线AB的斜率即可.【详解】设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x=-1，因为PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(-1,4)，直线PF的斜率为4-0-1-1=-2又因为PFAB，所以直线AB的斜率为12，所以直线AB的方程为y-0=12(x-1)，即x-2y-1=0，故选：A3(2023全国高三专题练习)阿基米德(Archime

36、des，公元前287年-公元前212年)，出生于古希腊西西里岛叙拉古(今意大利西西里岛上)，伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家有一类三角形叫做阿基米德三角形(过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形)，他利用4“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23(即右图中阴影部分面积等于PAB面积的23)若抛物线方程为y2=2px(p0)，且直线x=p2与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p=()A.1B.2C.32D.3【答案】D【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过

37、焦点的弦垂直于x轴时，即x=p2时，23SPAB=2312p2p=23p2=6，即p=3，故选：D4(2023新疆克拉玛依克拉玛依市高级中学校考模拟预测)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下性质：P点必在抛物线的准线上；PAPB；PFAB已知直线l:y=k x-1与抛物线y2=4x交于A，B点，若 AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”PAB的面积为()A.8 2B.4 2C.2 2D.2【答案】A【分析】根据给定条件求出直线PF方程

38、，进而求出点P坐标及PF长即可求出PAB的面积.【详解】抛物线的焦点为F 1,0，准线方程为x=-1，直线l:y=k x-1经过抛物线的焦点，依题意，k0，设A x1,y1，B x2,y2，由y2=4xy=k x-1 消去y并整理得k2x2-2k2+4x+k2=0，则x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，AB=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，解得k2=1，即k=1，当k=1时，因PAB为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率kPF=-1，直线PF方程为：y=-x+1，点P必在抛物线的准线x=-1上，点P-1,2，PF=2 2，又PFAB，于是得SPAB=12AB PF=1282 2=8

39、 2，由对称性可知，当k=-1时，同理有SPAB=8 2，所以PAB的面积是8 2.5故选：A5(2022秋广东茂名高三统考)阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)PAPB；(3)PFAB若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德

40、三角形”为PAB，且点P在直线x-y+6=0上，则直线AB的方程为()A.x-y-2=0B.x-2y-2=0C.x+y-2=0D.x+2y-2=0【答案】A【分析】首先根据题意可得到P点在抛物线的准线x=-2上，又在直线x-y+6=0上，从而可求出点P的坐标；根据PFAB，即可求出直线AB的斜率，从而可求出直线AB的方程.【详解】根据题意，可知P点在抛物线的准线x=-2上，又点P在直线x-y+6=0上，所以P-2,4，又F 2,0，所以kPF=0-42+2=-1，因为PFAB，所以kAB=1，所以直线AB的方程为y-0=x-2，即x-y-2=0.故选：A.6(2022全国高三专题练习)我们把圆

41、锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下性质：P点必在抛物线的准线上；PAPB；PFAB.已知直线l：y=k(x-1)与抛物线C：y2=4x交于A，B点，若 AB=8，记此时抛物线 C的“阿基米德三角形”为PAB，则P点为()A.-1,2B.-1,2C.-1,-2D.-1,1【答案】A【分析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出过A,B点的切线方程，两方程联立方程组解得P点坐标，直线AB的方程y=k(x-1)代入抛物线方程，应用韦达定理得

42、x1+x2,x1x2，由焦点弦长公式求得k，从而可得P点坐标【详解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，过A点的切线方程为y-y1=m(x-x1)，由y-y1=m(x-x1)y2=4x 得y2-4my+4y1m-4x1=0，=16m2-44y1m-4x1=0，1m2-y1m+y214=0，m=2y1，切线方程为y-y1=2y1(x-x1)，化简得yy1=2x+2x1，同理过B点的切线方程是yy2=2x+2x2，由yy1=2x+2x1yy2=2x+2x2，得x=y1y24y=2(x1-x2)y1-y2，由y=k(x-1)y2=4x，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，6x1+x2=2k2+

43、4k2，x1x2=1，直线AB过焦点F(1,0)，所以 AB=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，k=1，y21y22=16x1x2=16，y1,y2异号，所以y1y2=-4，y1y24=-1，2(x1-x2)y1-y2=2k=2，所以P(-1,2)故选：A7(2022全国高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x-3y+6=0，关于“阿基米德三

44、角形”PAB，下列结论不正确的是()A.AB=323B.PAPBC.PFABD.点P的坐标为3,-2【答案】D【分析】联立方程可解得A-4 33,23,B 4 3,6，则 AB=323，根据导数可得kA=-33,kB=3，可判断PAPB，利用点斜式可求得两条切线方程3x+3y+2=0和3x-y-6=0，联立求P4 33,-2，再求kPF=-3，可判断PFAB【详解】联立方程3x-3y+6=0 x2=8y，消去x得：3y2-20y+12=0，解得y1=23或y2=6即A-4 33,23,B 4 3,6，则 AB=323，A正确；x2=8y，即y=x28,y=x4对于A-4 33,23,B 4 3

45、,6，切线斜率分别为kA=-33,kB=3kAkB=-1，即PAPB，B正确；在点A的切线方程为y-23=-33x+4 33，即3x+3y+2=0同理可得在点B的切线方程为3x-y-6=0联立方程3x+3y+2=03x-y-6=0，解得x=4 33y=-2，即P4 33,-2，D不正确；F 0,2，则kPF=-2-24 33-0=-3，kAB=33kPFkAB=-1，即PFAB，C正确；故选：D8(2023全国高三专题练习)阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端

46、点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p0)上有两个不同的点A x1,y1,B x2,y2，以A，B为切点的抛物线的切线PA,PB相交于7P.给出如下结论，其中正确的为()(1)若弦AB过焦点，则ABP为直角三角形且APB=90；(2)点P的坐标是x1+x22,x1x22；(3)PAB的边AB所在的直线方程为 x1+x2x-2py-x1x2=0；(4)PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合).A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)【答案】D【分析】设A x1,x212p，B x2,x222

47、p，x1x2，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得kPAkPB=-p2p2=-1，正确；写出切线方程，联立求出P点坐标，得(2)错误；用A,B两点坐标表示出kAB，写出直线AB方程，并化简可得(3)正确；设N为抛物线弦AB的中点，立即得(4)正确；【详解】由题意设A x1,x212p，B x2,x222p，x10)，Q为直线y=-p2上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N.(1)证明：直线MN过定点；(2)若以G 0,5p2为圆心的圆与直线MN相切，且切点为线段MN的中点，求该圆的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)4p2或2p2.10【解析】(1)设点Q t,-P2

48、，M x1,y1，N x2,y2，利用导数求出切线MQ的斜率，再利用斜率公式求出切线MQ的斜率，进而求出直线MN的方程，从而可证明直线MN过定点；(2)将直线MN的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出H点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得t=0或t=p，进而求得圆的面积.【详解】(1)设Q t,-P2，M x1,y1，则x21=2py1，由x2=2pyy=x22p，所以y=xp，所以切线MQ的斜率为kMQ=x1p，故y1+p2x1-t=x1p，整理得2tx1-2py1+p2=0，设N x2,y2，同理可得2tx2-2py2+p2=0，所以直线MN的方程为2tx-2py+p2=0，所以直线

49、MN恒过定点 0,p2.(2)由(1)得直线MN的方程为y=txp+p2，由y=txp+p2y=x22p，得x2-2tx-p2=0，x1+x2=2t，y1+y2=tpx1+x2+p=2t2p+p，设H为线段MN的中点，则H t,t2p+p2，由于GH MN，而GH=t,t2p-2p，MN 与向量n=1,tp平行，所以t+tpt2p-2p=0，解得t=0或t=p，当t=0时，圆G半径R=|GH|=2p，所以圆G的面积为4p2，当t=p时，圆G半径R=|GH|=2p，所以圆G的面积为2p2.所以，该圆的面积为4p2或2p2.【点睛】本题考查了直线过定点问题及直线与抛物线的位置关系，其中涉及到利用导

50、数求切线的斜率、斜率公式及向量垂直的坐标运算，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.12(2023湖南岳阳高三校考)已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程【答案】(1)证明见解析；(2)x2+y-522=4或x2+y-522=2【解析】(1)设D t,-12,A x1,y1，则x21=2y1，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx1-2y1+1=0.设B x2,y2，同理可得2tx2-2y2+1=0，从而得到直线AB的方程为2tx-