江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第一学期学年第一学期 11 月六校联合调研试题高三数学月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合22log2,20AxxBx xx，则AB（）A.0,2B.()1,2-C.,4D.1,42.若,a b 是夹角为60的两个单位向量，ab与32ab垂直，则（）A.18B.14C.78D.743.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥

2、，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面积为3 5，则原圆锥的母线长为（）A.2B.5C.4D.2 54.已知,x y取表中的数值，若,x y具有线性相关关系，线性回归方程为0.952.6yx$，则a（）x0134ya4.34.86.7A.2.2B.2.4C.2.5D.2.65.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t，若5cos5，则tan()4（）A.3B.13C.13D.36.已知数列na通项公式为2322,7494,7nntnnann，若对任意*nN，都有1nnaa，则实数t的取值范围是（）A.3,)tB.23 9,)14 2tC.23

3、 9(,)14 2tD.23,)14t7.已知圆2221:0Cxybb与双曲线22222:10,0 xyCabab，若在双曲线2C上存在一点P，江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司使得过点P所作的圆1C的两条切线，切点为A、B，且3APB，则双曲线2C的离心率的取值范围是（）A.51,2B.5,2C.1,3D.3,8.定义在R上的函数 f x满足 0fxf x，2fxf x；且当0,1x时，32f xxxx则方程 420f xx所有的根之和为（）A.6B.12C.14D.10二、多项选择题：本大题共二、多项选择

4、题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.已知复数2iz，1izxy(,Rx y)(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为iB.z对应的点在第一象限C.1zzD.若11zz-，则在复平面内1z对应的点形成的图形的面积为210.已知0,0ab，21ab，则（）A.21a

5、b的最小值为 4B.ab的最大值为18C.22ab最小值为15D.24ab的最小值为2 211.函数()sin(0)f xx在区间,2 2上为单调函数，图象关于直线23x 对称，则（）A 34B.将函数()f x的图象向右平移23个单位长度，所得图象关于y轴对称C.若函数()f x在区间14(,)9a上没有最小值，则实数a的取值范围是2 14(,)99D.若函数()f x在区间14(,)9a上有且仅有 2 个零点，则实数a的取值范围是4,0)3的.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司12.已知椭圆C：222104xybb的左右焦点分别为1F、2F，点2,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上

6、，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（）A.离心率e的取值范围为20,2B.当24e 时，1QFQP的最大值为642C.存在点Q，使得210QFQF D.1211QFQF的最小值为 1三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走，去永州 扬鞭催马运粮忙 数幸福 乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同排列种数为_（用数字作答）14.设6656510(21)xa xa xa xa，则135aaa_（用数字作答）15.现有一张

7、正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过 8 次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为_16.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ACAB，2AC，14AA，6AB，点 E，F 分别是AA1，AB 上的动点，那么11C EEFFB的长度最小值是_，此时三棱锥11BC EF外接球的表面积为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程

8、或演算步骤17.已知正项数列na的前n项和为nS，222nnnaaS，数列 nb满足3nannba（1）求数列na的通项公式；的第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 nb的前n项和nT18.在ABC中，,A B C所对的边分别为,a b c，已知2()bc ac.（1）若4B，求ca值；（2）若ABC是锐角三角形，求23sin2cosBC的取值范围19.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动竞赛共有A 和B两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道A 类试题得 10 分；每答对 1 道B类试题得 20 分，答错都不得分

9、每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）已知某同学A类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23（1）若该同学只抽取 3 道A 类试题作答，设X表示该同学答这 3 道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率20.已 知 在 四 棱 锥CABED中，/DE平 面ABC，ACBC，24,2BCACABDE，DADC，点 F 为线段 BC 的中点，平面DAC 平面ABC （1）证明：EF平面ABC；（2）若直线 BE 与平面ABC所成的角为60，求二面角BADC的余弦值21

10、.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab经过点4,6P，且离心率2.（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线:1l x 于点M，交y轴于点N.设点,A B为双曲线C上的两个动点，直线,PA PB的斜率分别为12,k k，若122kk，求MABNABSS.22.已知函数23()e232xaxf xxax（1）当0a，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程（2）若()f x在0,)上单调递增，求 a 的取值范围；的为第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司（3）若()f x的最小值为 1，求 a第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司20232024

11、学年第一学期学年第一学期 11 月六校联合调研试题月六校联合调研试题高三数学高三数学一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合22log2,20AxxBx xx，则AB（）A.0,2B.()1,2-C.,4D.1,4【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合,A B，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为2log20,4Axx，2201,2Bx xx，所以1,4AB ，故选：D.2.若,a b 是夹角为60的两个单位

12、向量，ab与32ab垂直，则（）A.18B.14C.78D.74【答案】B【解析】【分 析】由 题 意 先 分 别 算 出22,a ba b 的 值，然 后 将“ab与32ab垂 直”等 价 转 换 为 032abab，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos601 122aabba bab ，又因为ab与32ab垂直，所以 221323232320322aabaa bbb ，整理得1202，解得14.故选：B.3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面积为3 5，则原圆锥的母线长为（）第 2 页/共 25 页学科网（北京

13、）股份有限公司A.2B.5C.4D.2 5【答案】D【解析】【分析】设圆台的母线长为l，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3 5，则由圆台侧面积公式可得(12)33 5ll，所以5l，设截去的圆锥的母线长为l，由三角形相似可得12lll，则25ll，解得5l，所以原圆锥的母线长552 5ll，故选：D.4.已知,x y取表中的数值，若,x y具有线性相关关系，线性回归方程为0.952.6yx$，则a（）x0134ya4.34.86 7A.2.2B.2.4C.2.5D.2.6【答案】A【解析】【分析】根据线性

14、回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：0 1 3424x ，4.34.86.715.844aay，所以样本中心,x y为15.82,4a，代入回归方程有：15.80.95 22.64a，解得2.2a.故选：A.5.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t，若5cos5，则.第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司tan()4（）A.3B.13C.13D.3【答案】C【解析】【分析】先根据任意角的三角函数求出t，再求出tan的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知25cos51tt，解得12t，所

15、以tan2yx，所以tantan2 114tan412131tantan4 ，故选：C6.已知数列na通项公式为2322,7494,7nntnnann，若对任意*nN，都有1nnaa，则实数t的取值范围是（）A.3,)tB.23 9,)14 2tC.23 9(,)14 2tD.23,)14t【答案】C【解析】【分析】根据数列的单调性，即可根据263tn对1,2,3,4,5,6n恒成立，以及87aa求解.【详解】当1,2,3,4,5,6n时，221312123226320nnaant nntnnt 恒成立，所以263tn对1,2,3,4,5,6n恒成立，故9292tt，又当7,Nnn时，494n

16、an为单调递增的数列，故要使对任意*nN，都有1nnaa，则87aa，即24 8943 7142t ，解得2314t，综上可得23 9(,)14 2t，故选:C第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司7.已知圆2221:0Cxybb与双曲线22222:10,0 xyCabab，若在双曲线2C上存在一点P，使得过点P所作的圆1C的两条切线，切点为A、B，且3APB，则双曲线2C的离心率的取值范围是（）A.51,2B.5,2C.1,3D.3,【答案】B【解析】【分析】连接OA、OB、OP，则OAAP，OBBP，设点,P x y，则22222b xyba，分析可得2OPba，可得出ba的取

17、值范围，由21bea可求得e的取值范围.【详解】连接OA、OB、OP，则OAAP，OBBP，由切线长定理可知，PAPB，又因为OAOB，OPOP，所以，AOPBOP，所以，126APOBPOAPB，则22OPOAb，第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司设点,P x y，则22222b xyba，且xa，所以，2222222222222222b xc xcOPbxyxbbabaaaa，所以，12ba，故222151142ccbeaaa，故选：B.8.定义在R上的函数 f x满足 0fxf x，2fxf x；且当0,1x时，32f xxxx则方程 420f xx所有的根之和为（）A.

18、6B.12C.14D.10【答案】D【解析】【分析】根据题意可得 f x为奇函数，其图象关于直线1x 对称且一个周期为 4，再根据当0,1x时，32f xxxx，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】0fxf x，f x为奇函数，又2fxf x，f x的图象关于直线1x 对称当0,1x时，23210fxxx，f x单调递增由 2fxf xf x，即有42f xf x，所以 4f xf x，即函数 f x的一个周期为 4，由 0fxf x可得，40fxf x，所以 f x的图象关于2,0中心对称函数 f x的简图如下：其中32x，第 6 页/共 25 页学科网（北京

19、）股份有限公司由1()(2)4f xx，所有实根之和为 1524344210 xxxxx.故选：D【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分

20、选对的得分，部分选对的得 2 分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.已知复数2iz，1izxy(,Rx y)(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为iB.z对应的点在第一象限C.1zzD.若11zz-，则在复平面内1z对应的点形成的图形的面积为2【答案】BC【解析】【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于 A：2iz，所以z的虚部为1，A 错误；对于 B：z对应的点为2,1，位于第一象限，所以 B 正确；对于 C：22215z ，22215z，所以1zz，C 正确；对于 D

21、：在复平面内11zz-表示到点2,1距离小于等于 1 的所有的点，所以形成的图形为以2,1为圆心 1 为半径的圆，所以面积为S，D 错误，故选：BC10.已知0,0ab，21ab，则（）A.21ab的最小值为 4B.ab的最大值为18C.22ab的最小值为15D.24ab的最小值为2 2第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式即可求解 BD，由乘“1”法即可求解 A,代换后利用二次函数的性质即可求解 C.【详解】对于 A，0,0ab，21214424428bab aababababab，当且仅当4baab，即11,24ab取等号，故 A 错

22、误，1212 28ababab，当且仅当2ab，即11,24ab取等号，故 B 正确，222222211 2541555abbbbbb，故当25b 时，取到最小值15，此时15a，满足题意，故 C 正确，2242 2 42 22 2ababab，当且仅当24ab，即11,24ab时等号成立，所以 D 正确故选：BCD11.函数()sin(0)f xx在区间,2 2上为单调函数，图象关于直线23x 对称，则（）A.34B.将函数()f x的图象向右平移23个单位长度，所得图象关于y轴对称C.若函数()f x在区间14(,)9a上没有最小值，则实数a的取值范围是2 14(,)99D.若函数()f

23、x在区间14(,)9a上有且仅有 2 个零点，则实数a的取值范围是4,0)3【答案】ABD【解析】【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项 A，由函数的平移变换可以判断选项 B，根据函数图象的零点和最值即可判断 C，D.【详解】选项 A：根据题意函数()sin(0)f xx在区间,2 2上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则22，22，解得01又因为图象关于直线23x，则223k，Zk，解得3342k，Zk第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当0k 时，34符合条件.则 A 正确；选项 B：由 A 可知3()sin4f xx向右平移23个单位长度后，解析式变成33(

24、)sincos424g xxx，则图象关于y轴对称.B 正确；选项 C：函数()f x在区间14(,)9a没有最小值，则令34tx，14(,)9xa，则37(,)46ta，当37246a，即21439a时，没有最小值 C 错误；选项 D：函数()f x在区间14(,)9a上有且仅有 2 个零点，因为t 时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.所以304a，即403a，D 正确.故选：ABD.12.已知椭圆C：222104xybb的左右焦点分别为1F、2F，点2,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（）A.离心率e的取值范围为20,2B.当24

25、e 时，1QFQP的最大值为642C.存在点Q，使得210QFQF D.1211QFQF的最小值为 1【答案】ABD【解析】【分析】A 项中需先解出b的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QFQP的最大值，从而进而判断；C 项中先求出点Q的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D 项中根据椭圆定义得1224QFQFa，并结合基本不等式判断.第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A 项：因为点2,1P在椭圆内部，所以22114b，得224b，所以得：222222110,42ccbbeaaa，故 A 项正确；对于 B 项

26、：由椭圆定义知124QFQPQFQP，当Q在x轴下方时，且P，Q，2F三点共线时，1QFQP有最大值24PF，由242ce，得22c，22,02F，所以得22262122PF，所以1QFQP最大值642，故 B 项正确；对于 C 项：设,Q x y，若210QFQF，即：,0cxycxy，则得222xyc，即点Q在以原点为圆心，半径为c的圆上，又由 A 项知：20,2cea，得0,2cea，又因为224b，得2,2b，所以得：cb，所以该圆与椭圆无交点，故 C 项错误；对于 D 项：由椭圆定义得1224QFQFa，所以121212111114QFQFQFQFQFQF21211212112221

27、44QFQFQFQFQFQFQFQF，当且仅当122QFQF时取等号，故 D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走，去永州 扬鞭催马运粮忙 数幸福 乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同的排列种数为_（用数字作答）【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由于数幸福与乡村振兴唱起来相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为232

28、3A A12种.故答案为：1214.设6656510(21)xa xa xa xa，则135aaa_（用数字作答）【答案】364【解析】【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为6656510(21)xa xa xa xa，令=1x，则01561aaaa，令1x ，则01456729aaaaa，得1352+=728aaa，所以135364aaa，故答案为：36415.现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过 8 次剪纸后，得到的所

29、有多边形纸片的边数总和为_【答案】28【解析】【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为 3 的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果【详解】设没剪之前正方形的边数为1a，即14a，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加 3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为 3 的等差数列，故经过 8 次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a 故答案为：2816.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ACAB，2AC，14AA，6AB，点 E，F 分别是AA1，AB 上的动点，那么11C EEFFB

30、的长度最小值是_，此时三棱锥11BC EF外接球的表面第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司积为_.【答案】.8 2 .44【解析】【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EFB F，由于1AE11AB，故11,A E F B四点共圆，三棱锥11BC EF外接球即为四棱锥111CAB FE的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面11ACC A与侧面11ABB A沿着1A A展开到同一平面内，如下：则11C EEFFB长度最小值转化为11C FFB的最小值，作点1C关于直线

31、BC的对称点H，连接1HB，交BC于点F，则1HB即为11C FFB的最小值，也即11C EEFFB的最小值，第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司其中1128CC HC，11628BCABAC，所以2121118 2BBHCHC，此时可求出4,2BFAF，且145B FB，45AFE，故12,2AEAFAE，由勾股定理得22111112 2,4 2,4362 10EFB FB EAEAB，所以22211EFB FB E，由勾股定理逆定理可知，1EFB F，由于1AE11AB，故11,A E F B四点共圆，三棱锥11BC EF外接球即为四棱锥111CAB FE的外接球，连接1A

32、Q，由于四边形11AB FE的外接圆圆心为1B E的中点Q，半径为11102B E，110AQ，故OQ平面11AB FE，所以OQ平行于11C A，取11AC的中点W，连接1,OW OC，则1OWAQ，且1OC即为外接球半径，且22111 1011OCCWOW，外接球的表面积为241144.故答案为：8 2，44【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的第 13 页

33、/共 25 页学科网（北京）股份有限公司半径四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知正项数列na的前n项和为nS，222nnnaaS，数列 nb满足3nannba（1）求数列na的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）1nan （2）2219344nnnT【解析】【分析】（1）利用nS与na的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解数列的前n项和.【小问 1 详解】当1n 时，211122aaS，即21120aa，12a 或11a （舍）当2n 时，21

34、1122nnnaaS，又因为222nnnaaS，两式相减得22110nnnnaaaa，整理得1110nnnnaaaa na为正项数列，11nnaa 数列an为等差数列，公差为 1.1111naann【小问 2 详解】131 3nannnban，12342 33 34 313nnTn 234532 33 34 313nnTn 两式相减得12234522 3333313nnnTn第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司291322nn2219344nnnT.18.在ABC中，,A B C所对的边分别为,a b c，已知2()bc ac.（1）若4B，求ca的值；（2）若ABC是锐角三角

35、形，求23sin2cosBC的取值范围【答案】（1）21 （2）(31,3)【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2BC，即可由三角函数的性质求解.【小问 1 详解】在ABC中，4B，据 余 弦 定 理 可 得222222cos2bacacB acac=+-又2()bc ac，故22aaac，由于0a，故21ac，得21ca.【小问 2 详解】在ABC中，据余弦定理可得2222cosbacacB，又2()bc ac，故22cosaacBac，又0a，故2 cosacBc据正弦定理sinsinacAC，可得sin2

36、sin cossinACBC，sin2 is n cos)si(nBCCBC，sin coscos sin2sin cossinBCBCCBC，sinsi(n)BCC,因为,(0,)A B C，所以),(BC，第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则BCC或BCC，即2BC或B（舍）所以23sin2cos3sin2cos212sin(2)16BCCCC,)3(ABCC,因为ABC是锐角三角形，所以03202202CCC，得C64，22C263,故3sin(2),162C,2sin(2)131,36C 故23sin2cos31,3BC,19.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校

37、团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动竞赛共有A 和B两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道A 类试题得 10 分；每答对 1 道B类试题得 20 分，答错都不得分每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）已知某同学A类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23（1）若该同学只抽取 3 道A 类试题作答，设X表示该同学答这 3 道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率【答案】（1）分布列见解析，()21E X （2）1990【解析】【分析】（1）根据超

38、几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【小问 1 详解】010 20 30X，33310C1(0)C120P X，1273310C C217(10)C12040P X，第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司2173310C C6321(10)C12040P X，37310C357(30)C12024P X 所以 X 的分布为X0102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X【小问 2 详解】记“该同学仅答对 1 道题”为事件 M.2127131 219()C1

39、03103 390P M 这次竞赛中该同学仅答对 1 道题得概率为1990.20.已 知 在 四 棱 锥CABED中，/DE平 面ABC，ACBC，24,2BCACABDE，DADC，点 F 为线段 BC 的中点，平面DAC 平面ABC （1）证明：EF平面ABC；（2）若直线 BE 与平面ABC所成的角为60，求二面角BADC的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）34【解析】【分析】（1）通过证明,EFAB EFAC来证得EF平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角BADC的余弦值.【小问 1 详解】取AC的中点O，连接OF、OD，第 17 页/共 25 页学科网（北京

40、）股份有限公司/DE平面ABC，DE平面ABED，平面ABED平面ABCAB，/DE AB，又O，F分别为AC，BC的中点，1/,2OF AB OFAB2ABDE/,OF DE OFDE，四边形DEFO为平行四边形，/EF DO，在DAC中DADC且O为AC中点，DOAC.由平面DAC 平面ABC，且交线为AC，DO 平面DAC，得DO 平面ABC.,AB AC 平面ABC，DOAB，DOAC，/EF DO，EFAB，EFAC，ABACA，,AB AC 平面ABC，EF平面ABC.【小问 2 详解】DO 平面ABC，,AC BC 平面ABC，所以,DOAC DOBC，又因为ABAC，所以,DO

41、 AC BC三者两两互相垂直，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.则1,0,0A，1,0,0C，1,4,0B.EF平面ABC，直线 BE 与平面ABC所成的角为60EBF.tan602 3DOEFBFo，0,0,2 3D.平面ADC的一个法向量为0,1,0m，设平面ADB的法向量,nx y z，2,4,0AB ，1,0,2 3AD uuu r，则2402 30 xyxz，取1z，则2 3x，3y，2 3,3,1n，3cos,4m nm nm n ，由图可知二面角BADC为锐角，的第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司

42、二面角BADC的余弦值为34.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab经过点4,6P，且离心率为 2.（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线:1l x 于点M，交y轴于点N.设点,A B为双曲线C上的两个动点，直线,PA PB的斜率分别为12,k k，若122kk，求MABNABSS.【答案】（1）221412xy （2）32【解析】【分析】（1）根据题意求出22,a b即可得解；（2）设1122,A x yB xy，方法一：分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB方程为ykxm，联立方程，利用韦达定理求得1212,xx x x，再根据122kk求出,k m的

43、关系，从而可得直线AB过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB方程为461m xn y，由221412xy可得2244661412xy，再根据122kk求出m，从而可得直线AB过定点，进而可得出答案.【小问 1 详解】第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由题意得22222163612abcaabc，解得22412ab，所以C的方程为221412xy；【小问 2 详解】由题意，点M坐标为1,6，点N坐标为0,6，设1122,A x yB xy，方法一：若直线AB斜率存在，设直线AB方程为ykxm，221412xyykxm，消去y可得22232120kxkmxm，230k且22

44、124120mk，且2121222212,33kmmxxx xkk，12211212121264646624444kxmxkxmxyykkxxxx，整理可得 121242228160mkxxkx xm，2222124222816033kmmmkkmkk，化简得22128122360mmkkkm，即26460mkmk，因为直线AB不过点4,6P，所以460mk，所以260mk，即26mk，所以直线AB的方程为26yk x，恒过定点2,6Q，若直线AB斜率不存在，则1212,0 xxyy，第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司121212121166121224444yyyykkxx

45、xx，解得122xx，所以直线AB的方程为2x ，过定点2,6Q，综上，直线AB恒过定点2,6Q，设点M到直线AB的距离为1d，点N到直线AB的距离为2d，1122132122MABNABAB dSdMQSdNQAB d.方法二：因为直线AB不过点4,6P，所以可设直线AB方程为461m xn y，由221412xy可得2244661412xy，即22(6)3(4)1262440yxyx，22(6)3(4)126244460yxyxm xn y，得 22121(6)122446243(4)0nymnxymx，等式左右两边同时除以2(4)x，得2661211224243044yynmnmxx，2

46、(1224)4 121 2430mnnm，121212661224244121yymnkkxxn，解得16m ，所以直线AB方程为14616xn y，即2660 xn y，恒过定点2,6Q，下同法一.第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点0

47、0,xy，常利用直线的点斜式方程00yyk xx或截距式ykxb来证明.22.已知函数23()e232xaxf xxax（1）当0a，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程（2）若()f x在0,)上单调递增，求 a 的取值范围；（3）若()f x的最小值为 1，求 a【答案】（1）2(e1)210 xy （2）12a （3）12a【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；（2）参变分离，构造2e()2xxg xx，求导，得到其最小值，求出 a 的取值范围；（3）注意到(0)1f，多次求导得到()e2xl xa，从而分12a，12a，0a 与102a，结合函数单调

48、性，极值和最值情况，求出答案【小问 1 详解】21()e,(1)e22xxf xf，第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司()e,(1)e1xfxx f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处切线方程1e(e1)(1)2yx，即2(e1)210 xy【小问 2 详解】因为2()e20 xfxaxxa在区间0,)上恒成立，所以2mine2xxax，令2e()2xxg xx，则 222e12e2()2xxxxxg xx，令 2()e12e2xxh xxxx，则2()e2xh xxx，当0 x 时，()0,()h xh x单调递增，()(0)0h xh，所以()0g x，所以()g

49、x在0,)上单调递增，故min1()(0)2g xg，所以12a【小问 3 详解】23()e2,(0)132xaxf xxax f，2()e2,(0)1 2,xfxaxxa fa 令 2()e2xk xfxaxxa，则()e21xk xax，令()e21xl xk xax，则()e2xl xa，当12a 时，2231()e,()e1622xxxxf xxx fxx，则()e1xk xx，()e1xl x，当0 x 时，()0,()l xk x在(,0)上单调递减，的第 23 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当0 x 时，()0,()l xk x在0,)上单调递增，()(0)0,()k

50、 xkk x在(,)上单调递增，且(0)0k，所以，当0 x 时，()0,()0,()k xfxf x在(,0)上单调递减，当0 x 时，()0,()0,()k xfxf x在(0,)上单调递增，所以min()(0)1f xf所以12a 适合，当12a 时，当0ln2xa时，()0l x，l x在(0,ln2)a上单调递减，()(0)0l xl，2()e2xk xfxaxxa在(0,ln2)a上单调递减，因为()(0)120fxfa，所以()f x在(0,ln2)a上单调递减，此时()(0)1f xf，舍去当0a 时，当0 x 时，()e210 xk xax，()fx在(,0)上单调递减，()