第6节 向量法求空间角.pptx

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1、索引第七章 立体几何与空间向量第6节向量法求空间角1.掌握空掌握空间向量的向量的应用用.2.会用空会用空间向量求空向量求空间角角.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角设异面直异面直线l1，l2所成的角所成的角为，其方向向量分，其方向向量分别为u，v，则cos|cosu，v|.知识梳理索引2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角直直线AB与与平平面面相相交交于于B，设直直线AB与与平平面面所所成成的的角角为，直直线AB的方向向量的方向向量为u，平

2、面，平面的法向量的法向量为n，则sin|cosu，n|.索引3.平面与平面的夹角平面与平面的夹角(1)两两平平面面的的夹角角：平平面面与与平平面面相相交交，形形成成四四个个二二面面角角，我我们把把这四四个个二二面面角中不大于角中不大于90的二面角称的二面角称为平面平面与平面与平面 的的夹角角.(2)两平面两平面夹角的角的计算：算：设平面平面，的法向量分的法向量分别是是n1，n2，平面，平面与平面与平面的的夹角角为，则cos|cosn1，n2|.索引常用结论索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)诊断自测解解析析(1)两两直直线的的方方向向向向量量所所成成的的角角是是

3、两两条条直直线所所成成的的角角或或其其补角角；(2)直直线的的方方向向向向量量u，平平面面的的法法向向量量n，直直线与与平平面面所所成成的的角角为，则sin|cosu，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是两个平面的法向量所成的角是这两个平面的两个平面的夹角或其角或其补角角.索引A解析解析建系如建系如图，设BCCACC12，则B(0，2，0)，D1(1，1，2)，A(2，0，0)，F1(1，0，2)，索引3.(选修一修一P43T10改改编)设M，N分分别是正方体是正方体ABCDABCD的棱的棱BB和和BC的的中点，中点，则直直线MN与平面与平面ABCD所成角的正弦所成角的正弦值为_.解解析析建

4、建系系如如图，设AB2，则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A(2，0，2)，C(0，2，0)，令令z1，则y1，x0，所以，所以n(0，1，1)，索引4.在在空空间中中，已已知知平平面面过点点(3，0，0)和和(0，4，0)及及z轴上上一一点点(0，0，a)(a0)，如果平面，如果平面与平面与平面Oxy的的夹角角为45，则a_.解析解析平面平面Oxy的一个法向量的一个法向量为n(0，0，1)，设平面平面的一个法向量的一个法向量为u(x，y，z)，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一异面直线

5、所成的角A索引 设正方体的棱正方体的棱长为2，则F(1，0，2)，B(2，2，0)，E(2，0，1)，索引解析解析以以D为原点，以原点，以DA，DC，DD1所在直所在直线分分别为x，y，z轴，建立空，建立空间直角坐直角坐标系系(图略略).正方体的棱正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).索引索引感悟提升索引解析解析因因为AOD2BOD，且且AODBOD，连接接CO，则CO平平面面ABD，以以点点O为坐坐标原原点点，OB，OC所在直所在直线分分别为y轴、z轴建立如建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系，系，索引设异面直异面直线AD与与B

6、C所成的角所成的角为，索引考点二直线与平面所成的角证证明明在在四四边形形ABCD中中，作作DEAB于于点点E，CFAB于点于点F，如，如图.因因为CDAB，ADCDCB1，AB2，所以四所以四边形形ABCD为等腰梯形，等腰梯形，索引所以所以AD2BD2AB2，所以所以ADBD.因因为PD平面平面ABCD，BD 平面平面ABCD，所以所以PDBD，又又PDADD，PD，AD 平面平面PAD，所以所以BD平面平面PAD.又因又因为PA 平面平面PAD，所以所以BDPA.索引(2)求求PD与平面与平面PAB所成的角的正弦所成的角的正弦值.解解由由(1)知，知，DA，DB，DP两两垂直，两两垂直，如如

7、图，以点，以点D为原点建立空原点建立空间直角坐直角坐标系，系，设平面平面PAB的一个法向量的一个法向量为n(x，y，z)，索引向量法求直向量法求直线与平面所成角的主要方法是：与平面所成角的主要方法是：(1)分分别求求出出斜斜线和和它它在在平平面面内内的的射射影影直直线的的方方向向向向量量，将将题目目转化化为求求两两个个方向向量的方向向量的夹角角(或其或其补角角)；(2)通通过平平面面的的法法向向量量来来求求，即即求求出出斜斜线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量所所夹的的锐角或角或钝角的角的补角，取其余角就是斜角，取其余角就是斜线和平面所成的角和平面所成的角.感悟提升索引训训练练2

8、(2022北北京京卷卷)如如图，在在三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，侧面面BCC1B1为正正方方形形，平平面面BCC1B1平平面面ABB1A1，ABBC2，M，N分分别为A1B1，AC的中点的中点.(1)求求证：MN平面平面BCC1B1；证明证明取取AB的中点的中点为K，连接接MK，NK.由三棱柱由三棱柱ABCA1B1C1可得四可得四边形形ABB1A1为平行四平行四边形，形，又又B1MMA1，BKKA，则MKBB1.又又MK 平面平面CBB1C1，BB1 平面平面CBB1C1，故故MK平面平面CBB1C1.由由CNNA，BKKA，可得，可得NKBC，同理可得同理可得NK平面平面CBB1C1

9、.因因为NKMKK，NK，MK 平面平面MKN，故平面故平面MKN平面平面CBB1C1，又又MN 平面平面MKN，故故MN平面平面CBB1C1.索引(2)再再从从条条件件、条条件件这两两个个条条件件中中选择一一个个作作为已已知知，求求直直线AB与与平平面面BMN所成角的正弦所成角的正弦值.条件条件：ABMN；条件条件：BMMN.注：如果注：如果选择条件条件和条件和条件分分别解答，按第一个解答解答，按第一个解答计分分.解解因因为侧面面CBB1C1为正方形，故正方形，故CBBB1.因因为CB 平平面面CBB1C1，平平面面CBB1C1平平面面ABB1A1，平平面面CBB1C1平平面面ABB1A1B

10、B1，故故CB平面平面ABB1A1.因因为NKBC，故故NK平面平面ABB1A1.因因为AB 平面平面ABB1A1，故故NKAB.索引若若选，则ABMN，又又NKAB，NKMNN，故故AB平面平面MNK.又又MK 平面平面MNK，故故ABMK，所以所以ABBB1，又又CBBB1，CBABB，故故BB1平面平面ABC，故可建立如故可建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系，系，索引 则B(0，0，0)，A(0，2，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，设平面平面BNM的一个法向量的一个法向量为n(x，y，z)，则n(2，2，1).设直直线AB与平面与平面BNM所成的角所成的角为，索引 若若

11、选，因，因为NKBC，故故NK平面平面ABB1A1.又又KM 平面平面MKN，故故NKKM.又又B1MBK1，NK1，故故B1MNK.又又B1BMK2，MBMN，故故BB1MMKN，所以所以BB1MMKN90，故故A1B1BB1.索引 又又CBBB1，CBABB，故故BB1平面平面ABC，故可建立如故可建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系，系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，索引考点三平面与平面的夹角例例3(12分分)(2022新高考新高考卷改卷改编)如如图，PO是是三棱三棱锥PABC的高，的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点的中点.(1)证

12、明：明：OE平面平面PAC；(2)若若ABOCBO30，PO3，PA5，求，求平面平面CAE与平面与平面BAE夹角的正弦角的正弦值.思思路路分分析析(1)作作出出过直直线OE的的一一个个平平面面，证明明这个个平平面面与与平平面面PAC平平行行，从从而而证明明OE平面平面PAC.(2)建系建系设点写坐点写坐标求平面的法向量求平面的法向量利用公式求平面与平面利用公式求平面与平面夹角的正弦角的正弦值.索引 规范解答规范解答(1)证明证明如如图，取，取AB的中点的中点D，连接接DP，DO，DE.因因为APPB，所以，所以PDAB.因因为PO为三棱三棱锥PABC的高，的高，所以所以PO平面平面ABC.因

13、因为AB 平面平面ABC，所以，所以POAB.又又PO，PD 平面平面POD，且，且POPDP，所以所以AB平面平面POD.(1分分)因因为OD 平面平面POD，所以，所以ABOD，又又ABAC，AB，OD，AC 平面平面ABC，所以所以ODAC.索引 因因为OD 平面平面PAC，AC 平面平面PAC，所以所以OD平面平面PAC.(2分分)因因为D，E分分别为BA，BP的中点的中点，所以，所以DEPA.因因为DE 平面平面PAC，PA 平面平面PAC，所以所以DE平面平面PAC.(3分分)又又OD，DE 平面平面ODE，ODDED，所以平面所以平面ODE平面平面PAC.又又OE 平面平面ODE

14、，所以所以OE平面平面PAC.(4分分)索引(2)解解连接接OA，因，因为PO平面平面ABC，OA，OB 平面平面ABC，所以所以POOA，POOB，易得在易得在AOB中，中，OABABO30，索引 索引 索引满分规则满分规则得步得步骤分：分：处通通过证明明线线线面面面面面面线面面，注注意意应用用相相关关定定理理的的条条件件应完整，否完整，否则易失步易失步骤分分.得关得关键分：分：处求求出出两两个个平平面面的的法法向向量量是是解解题的的关关键，此此处运运算算错误会会导致致第第(2)小小题得零分得零分.得得计算分：算分：处为根据根据题目条件目条件计算几何体的棱算几何体的棱长，以便写出各，以便写出

15、各顶点的坐点的坐标.索引 解解设点点A到平面到平面A1BC的距离的距离为h，因因为直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的体的体积为4，索引(2)设D为A1C的的中中点点，AA1AB，平平面面A1BC平平面面ABB1A1，求求平平面面ABD与平面与平面CBD夹角的正弦角的正弦值.解解取取A1B的中点的中点E，连接接AE，则AEA1B.因因为平平面面A1BC平平面面ABB1A1，平平面面A1BC平平面面ABB1A1A1B，AE 平平面面ABB1A1，所以所以AE平面平面A1BC，又又BC 平面平面A1BC，所以，所以AEBC.又又AA1平面平面ABC，BC 平面平面ABC，所以，所以AA1BC.因因

16、为AA1AEA，AA1，AE 平面平面ABB1A1，所以，所以BC平面平面ABB1A1，又又AB 平面平面ABB1A1，所以，所以BCAB.索引索引 令令x1，得，得n(1，0，1).FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引123456【A级 基础巩固】(1)求异面直求异面直线A1B与与AC1夹角的余弦角的余弦值；解解在平面在平面ABCD内，内，过点点A作作AEAD，交，交BC于点于点E.因因为AA1平面平面ABCD，所以所以AA1AE，AA1AD.索引索引123456索引索引123456(2)求平面求平面A1BD与平面与平面A1AD夹角的正弦

17、角的正弦值.索引索引123456设平面平面A1BD与平面与平面A1AD的的夹角角为，索引索引1234562.(2023济南南质检)如如图，四四棱棱锥PABCD的的底底面面是是平平行行四四边形形，PD平面平面ABCD，ADBD，M是是PA的中点的中点.(1)证明：明：PC平面平面BDM；证明证明如如图，连接接AC，设AC与与BD的交点的交点为O，连接接OM，因因为四四边形形ABCD是平行四是平行四边形，形，所以所以O为AC的中点，的中点，则OM是是APC的中位的中位线，所以所以PCOM.又又OM 平面平面BDM，PC 平面平面BDM，所以所以PC平面平面BDM.索引索引123456(2)若若PD

18、ADBD，求直，求直线AB与平面与平面BDM所成角的大小所成角的大小.解解由由PD平面平面ABCD，ADBD，可得，可得DA，DB，DP两两垂直，两两垂直，以以D为坐坐标原原点点，DA，DB，DP所所在在直直线分分别为x轴，y轴，z轴建建立立空空间直直角角坐坐标系系Dxyz，不妨，不妨设PDADBD2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，M(1，0，1)，取取x1，得，得z1，所以，所以n(1，0，1)为平面平面BDM的一个法向量的一个法向量.索引索引1234563.(2022浙浙江江卷卷)如如图，已已知知ABCD和和CDEF都都是是直直角角梯梯形形，AB

19、DC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二二面面角角FDCB的的平平面面角角为60.设M，N分分别为AE，BC的中点的中点.(1)证明：明：FNAD；证明证明因因为ABCD是直角梯形，是直角梯形，BAD60，所以所以ABC90，即，即ABBC.因因为CDEF是直角梯形，是直角梯形，CDE60，所以所以DCF90，即即DCFC.索引索引123456如如图，在，在AB边上取点上取点H，使，使AH2，连接接DH，易得易得DHAB.在在RtDAH中，中，因因为DAH60，在在DC边上取点上取点G，使，使DG2，连接接EG，易得，易得GEDC.在在RtEGD中中，因因为EDG60，索引

20、索引123456易知二面角易知二面角FDCB的平面角的平面角为FCB60，又又N为BC的中点，所以的中点，所以FNBC.因因为DCFC，DCBC，FCBCC，FC，BC 平面平面BCF，所以所以DC平面平面BCF.又又FN 平面平面BCF，所以，所以DCFN.因因为BCFN，BCDCC，BC，DC 平面平面ABCD，故故FN平面平面ABCD，又又AD 平面平面ABCD，故，故FNAD.索引索引123456(2)求直求直线BM与平面与平面ADE所成角的正弦所成角的正弦值.解解如如图，取取AD的的中中点点K，连接接NK，以以N为坐坐标原原点点，则NK，NB，NF两两两两垂垂直，故以直，故以NK，N

21、B，NF所在直所在直线分分别为x，y，z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系，系，索引索引123456设直直线BM与平面与平面ADE所成角所成角为，索引索引123456证明证明取取A1C1的中点的中点G，连接接FG，B1G.三棱柱三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，直三棱柱，CC1平面平面A1B1C1.B1G 平面平面A1B1C1，B1GCC1.A1B1B1C1，G为A1C1的中点，的中点，B1GA1C1，索引索引123456A1C1CC1C1，B1G平面平面AA1C1C.G为A1C1的中点，的中点，F为A1C的中点，的中点，FGB1E且且FGB1E，四四边形形B1EFG为平行四平行四边形，形，E

22、FB1G，EF平面平面AA1C1C.索引索引123456AB2BC2AC2，ABC为直角，直角，即即ABBC，则A1B1B1C1.以以B1A1所所在在直直线为x轴，B1C1所所在在直直线为y轴，BB1所所在在直直线为z轴，建立如建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系系.索引索引123456易知平面易知平面AA1E的一个法向量的一个法向量为m(0，1，0).设平面平面A1EC的法向量的法向量为n(r，s，t)，取取t2，得，得rx，sx，则n(x，x，2).索引索引1234565.(2022全全国国乙乙卷卷)如如图，四四面面体体ABCD中中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点的

23、中点.(1)证明：平面明：平面BED平面平面ACD；【B级 能力提升】证明证明因因为ADCD，E为AC的中点，的中点，所以所以ACDE.在在ADB和和CDB中，中，因因为ADCD，ADBCDB，DBDB，所以所以ADBCDB，所以所以ABBC.索引索引123456因因为E为AC的中点的中点，所以所以ACBE.又又BEDEE，BE，DE 平面平面BED，所以所以AC平面平面BED，又又AC 平面平面ACD，所以平面所以平面BED平面平面ACD.索引索引123456(2)设ABBD2，ACB60，点点F在在BD上上，当当AFC的的面面积最最小小时，求求CF与与平面平面ABD所成的角的正弦所成的角的

24、正弦值.解解由由(1)可知可知ABBC，又又ACB60，AB2，所以所以ABC为边长为2的正三角形，的正三角形，因因为ADCD，ADCD，所以所以ADC为等腰直角三角形，等腰直角三角形，所以所以DE1.所以所以DE2BE2BD2，则DEBE.索引索引123456由由(1)可知，可知，AC平面平面BED.连接接EF，因，因为EF 平面平面BED，所以所以ACEF，当当AFC的面的面积最小最小时，点，点F到直到直线AC的距离最小，的距离最小，即即EF的的长度最小度最小.在在RtBED中，当中，当EF的的长度最小度最小时，索引索引123456 法一法一由由(1)可知，可知，DEAC，BEAC，所以所

25、以EA，EB，ED两两垂直，两两垂直，索引索引123456设平面平面ABD的一个法向量的一个法向量为n(x1，y1，z1)，索引索引123456法二法二因因为E为AC的中点的中点，所以所以点点C到平面到平面ABD的距离等于点的距离等于点E到平面到平面ABD的距离的的距离的2倍倍.因因为DEAC，DEBE，ACBEE，AC，BE 平面平面ABC，所以所以DE平面平面ABC.因因为VDAEBVEADB，其中其中d为点点C到平面到平面ABD的距离的距离.索引索引123456因因为AC平面平面BED，EF 平面平面BED，所以所以ACEF，索引索引123456法法三三如如图，过点点E作作EMAB交交A

26、B于于点点M，连接接DM，过点点E作作EGDM交交DM于点于点G.因因为DEAC，DEBE，ACBEE，AC，BE 平面平面ABC，所以所以DE平面平面ABC，又，又AB 平面平面ABC，所以所以DEAB，又又EMDEE，EM，DE 平面平面DEM，所以所以AB平面平面DEM，又又EG 平面平面DEM，所以，所以ABEG，又又ABDMM，AB，DM 平面平面ABD，所以所以EG平面平面ABD，则EG的的长度等于点度等于点E到平面到平面ABD的距离的距离.索引索引123456索引索引123456解解如如图，连接接AC交交BD于点于点O，由由ADAB，CDCB，得，得DACBAC，所以所以BODO，AOBD，因因为PA平面平面BDE，PA 平面平面PAC，平面，平面PAC平面平面BDEEO，索引索引123456解解因因为PBPD，BODO，所以所以POBD，又平面又平面PDB平面平面ABCD，平面，平面PDB平面平面ABCDBD，PO 平面平面PBD，所以所以PO平面平面ABCD.索引索引123456设平面平面PBC的法向量的法向量为n(x，y，z)，易知平面易知平面BCD的一个法向量的一个法向量为m(0，0，1)，