第二章　4.1　函数的奇偶性-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册课件(共37张PPT).pptx

《第二章　4.1　函数的奇偶性-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册课件(共37张PPT).pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章　4.1　函数的奇偶性-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册课件(共37张PPT).pptx（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、4.1函数的奇偶性激趣诱思知识点拨中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些对称方式?激趣诱思知识点拨一

2、、奇、偶函数的定义 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.激趣诱思知识点拨名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意xA,-xA,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,xR是偶函数,但f(x)=x2,x-1,2既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;f(-x)=f(x)f(x)既是奇函数又

3、是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,xD,且D关于原点对称.激趣诱思知识点拨2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:注意:上述表格中不考虑f(x)g(x)=0;fg(x)中,需xG,g(x)F.激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.()(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.()(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(xR)是偶函数.()(4)若f(x)(xR)是偶函数,则f(-2)=f(2

4、).()(5)若f(2)f(-2),则f(x)(xR)不是偶函数.()(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR).()激趣诱思知识点拨答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;对任意xR,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;f(x)=0,定义域为-1,1,该函数既是奇函

5、数又是偶函数,故(6)错误.激趣诱思知识点拨微思考已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0D,f(0)是否为定值?提示:f(x)为奇函数,对任意xD,f(-x)=-f(x),f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.激趣诱思知识点拨二、函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.激趣诱思知识点拨名师点析1.奇偶

6、性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.激趣诱思知识点拨微练习若奇函数f(x)在-6,-2上是减函

7、数,且最小值是1,则它在2,6上是()A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1答案:C解析:奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,函数f(x)在2,6上是减函数且最大值是-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f

8、(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),f(x)是奇函数.函数的定义域为-1,1,关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x0时,-x0,f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x).当x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=

9、-f(x).f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测图象关于原点对称,f(x)是奇函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,又f(

10、-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的奇偶性求解析式利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)因为函数f(x)为奇

11、函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.(2)当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.这类问题常见的情形是:已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-(-x);若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=(-

12、x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解:当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数奇偶性与单调性的综合应用函数奇偶性与单调性的综合应用1.比较函数值的大小例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间0,+)上单调递增,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系

13、是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)答案:A解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上单调递增,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.解函数不等

14、式例4已知定义在区间-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递增,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上单调递减,所以f(x)在-2,2上单调递减.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全

15、部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:因为函数为-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上单调递减,所以函数在0,2上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)0时,f(x)0,则()A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)

16、=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)0,故f(x2)f(x1),所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例2已知函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证:函数f(x)为偶函数.证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).由得f(x)+f(-x)=f(x)

17、+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.反思感悟1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意,R,总有f(+)-f()+f()=2 019,则下列说法正确的是()A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2 019是奇函数D.f(x)+2

18、019是奇函数答案:D解析:令=0,则f(0)-f(0)+f(0)=2 019,即f(0)=-2 019.令=-,则f(0)-f()+f(-)=2 019,即f()+f(-)=-4 038,则f(-)+2 019=-2 019-f()=-2 019+f(),即f(x)+2 019是奇函数,故选D.探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案:D解析:由题意知函数的定义域是(-,-4)(-4,+),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时

19、,f(x)=2x2-x,则f(1)=()A.-1B.-3C.1D.3答案:B解析:当x0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D 3.函数f(x)的定义域为R,且对任意xR,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上单调递增,则()探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a).f(x)为奇函数,-f(4-2a)=f(2a-4).f(3a-10)2a-4.a6.故a的取值范围为(6,+).