第2节　古典概型与几何概型.pptx

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1、第二节古典概型与几何概型第二节古典概型与几何概型第十二章第十二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体实例,理解古典概型,掌握古典概型的基本特征,能计算古典概型中简单随机事件的概率.2.结合具体实例,了解几何概型及几何概型的基本特征,能计算几何概型中简单随机事件的概率.3.根据实际问题构建概率模型,并能解决简单的实际问题.1.古典概型的概率2.几何概型的概率3.随机模拟方法1.直观想象2.数据分析3.数学建模4.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略单个结果的事件1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的

2、基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.互斥 基本事件 3.古典概型(1)定义:具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.试验的所有可能结果 ;每一个试验结果出现的可能性.(2)如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的可能结果(基本事件)数为m,那么事件A的概率规定为P(A)=.微点拨1.判断一个试验是否为古典概型,要看这个试验是否具有有限性和等可能性;2.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本

3、事件概率的和;3.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.只有有限个 相等 4.几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即P(点M落在G1)=,则称这种模型为几何概型.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比.微点拨几种常见的几何概型1.与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.2.与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上

4、的一个区域,即可借助平面区域解决问题.3.与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一古典概型的概率古典概型的概率(多考向探究多考向探究)考向考向1.以生活以生活实际为题境的古典概型境的古典概型典例突破例1.(2021陕西西安中学二模)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使

5、得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D解析:不超过30的素数有:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的有4对,即(3,5),(5,7),(11,13),(17,19).考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟1.求古典概型的概率的步骤 2.对与顺序相关的问题处理方法:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别

6、.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(1)(2021黑龙江哈尔滨三中一模)将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通,每个路口两人,则甲和乙不在同一路口的概率为()(2)(2021江苏南通四校3月联考)学校举行羽毛球混合双打比赛,每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A1,A2,A3和4名女生B1,B2,B3,B4中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)C 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.古典概型与代数、几何知古典概型与代数、几

7、何知识的的结合合典例突破例2.(1)(2021安徽黄山一模)从集合1,2,4中随机抽取一个数a,从集合2,4,5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为()(2)设a1,3,5,b2,4,6,则函数f(x)=是减函数的概率为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解析:(1)由题意,基本事件总数有33=9个,向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直,mn=2a-b=0,即b=2a,向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直包含的基本事件有(1,2),(2,4),共2个.向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为P=.考点一考点一考点二考点二考点三

8、考点三(2)a1,3,5,b2,4,6,基本事件(a,b)的总数为n=33=9.考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟解决古典概型与代数、几何知识相结合问题的思路将题目中代数、几何知识对概率的相关要求转化为求事件个数,列举基本事件,求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数,然后利用古典概型的概率公式进行计算.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(1)若m是从集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,则椭圆(2)(2021安徽六安一中期末)设a=(m,n),b=(-2,-1),若从集合2,3,4,5,6中随机抽取两个数,分别记为m,n,则满足ab的概率为.考点一考点

9、一考点二考点二考点三考点三解析:(1)因为m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,所以基本事件总数为6.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3.古典概型与古典概型与统计的的结合合典例突破例3.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为60,70),70,80),80,90),90,100)考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法

10、抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)由题可得,男生优秀人数为100(0.01+0.02)10=30,女生优秀人数为100(0.015+0.03)10=45.考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟求古典概型与统计相结合的问题的一般步骤1.根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;2.将所有基本事件列举出来(可用树状图);3.计算基本事件数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=;4.回到所求问题,规范作答.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(2021山东济宁一模)为了解某贫困地区实施

11、精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区部分人员,调查了2020年其人均纯收入状况.经统计,这批人员的年人均纯收入数据(单位:百元)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到如图所示的频率分布直方图.现采取分层抽样的方法,从55,60),60,65),65,70这三个区间中随机抽取6人,再从6人中随机抽取3人,则这3人中恰有2人年人均纯收入位于60,65)的概率是()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D解析:因为(0.01+0.07+0.06+a+0.02)5=1,所以a=0.04.采用分层抽样,从55,60),60,65),65,70这三个区间中,随机抽取6人,则从55,60)中抽取

12、3人,从60,65)中抽取2人,从65,70中抽取1人,再从6人中抽取3人,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二几何概型几何概型(多考向探究多考向探究)考向考向1.与与长度、角度有关的几何概型度、角度有关的几何概型典例突破(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟1.与长度或角度有关的几何概型的解法:如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度(或角度)表示,则其概率的计算公式为2.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比

13、计算;当考察对象为线时,一般用角度之比计算.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练4(1)(2021山西太原一模)在区间-1,1内任取一个实数k,则使得直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点的概率是()(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解析:(1)圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1.要使直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.与面与面积、体、体积有关的几何概型有关的几何概型典例突破例5.(1)

14、(2021陕西宝鸡一模)一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为.(2)(2021河南郑州三模)如图,OAB为等腰直角三角形,AOBO,以O为圆心、以OA为半径作大圆O,以AB为直径作小圆.在整个图形中随机取一点,此点取自阴影部分的概率为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三解析:(1)三角形ABC的面积为24,该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离小于等于2的区域为如图所示的三角形的阴影部分,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟求与面积、体积有关的几何概型的基本思路用图形准确

15、表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A对应的区域,在图形中画出事件A对应的区域,然后用公式考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于 的概率为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3.与与线性性规划有关的几何概型划有关的几何概型典例突破例6.若不等式组 表示的区域为,不等式x2+y2-2x-2y+10表示的区

16、域为T,则在区域内任取一点,则此点落在区域T中的概率为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D 考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟几何概型与线性规划的交汇问题的解法:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练6(2021全国乙,理8)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于 的概率为()答案:B 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向4.与与实际生活相关的几何概型生活相关的几何概型典例突破例7.甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面,并约定甲若早到则等乙半小时,而乙早到无需等

17、待即可离去,则甲、乙两人能见面的概率为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:A 考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟生活中的几何概型度量区域的构造方法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练7(2021陕西榆林二模)甲、乙约定晚上七点在某校门口见面,甲晚上七点准时到了门口,此时,乙打电话告知甲路上出现堵车状况,至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时,超过半个小时乙还未到就离开,若乙在晚上七点五十之前一定能到,则两人能见面的概率为.解析:由题意可知,甲在校门口等乙到7点30分,乙最早到校门口的时间为7点20分,最晚到校门口的时间为7点50分,有30分钟,故两人能见面的时

18、间段为7点20分到7点30分,有10分钟时间,所以两人能见面的概率为考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三随机模随机模拟方法方法典例突破例8.从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:C解析:如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含圆弧边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,考点一考点一考点二考点二考点三考点三反思感悟将看作未知数表

19、示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比约等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练8“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在九章算术注中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 3考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:A解析:设圆的半径为r,则圆的面积为r2,