第4节　数列求和.pptx

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1、第四节数列求和第四节数列求和第六章第六章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.1.倒序相加法求和2.分组转化法求和3.并项法求和4.裂项相消法求和5.错位相减法求和1.直观想象2.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.特殊数列的求和公式推导方法:倒序相加法 推导方法:乘公比,错位相减法 2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,

2、如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.错位相减时,要注意最后一项的符号(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可

3、以相互抵消,从而求得其和.微点拨常见的裂项公式:常用结论2个常用求和公式增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一分分组转化法求和化法求和典例突破例1.(2021江苏无锡第一次质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=2,等比数列bn的各项均为正数,b1=1,a3=2b2,S5=b2+b4.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求数列cn的前26项和.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则q0,消去d得q3-9q=0,解得q

4、=3,d=2,an=2+2(n-1)=2n,bn=13n-1=3n-1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(2)由(1)得Sn=n(2+2n)=n(n+1),则cn=(-1)nlog3n(n+1)+log33n-1=(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)+n-1,cn的前26项和为(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2)+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四突破技巧1.分组转化法求和数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项

5、,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.2.分组转化法求和的常见类型考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练1(2021山东日照二模)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,an=1-2Sn.(1)求数列an的通项公式;解:(1)由已知an=1-2Sn,所以an+1=1-2Sn+1,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点二考点二并并项法求和法求和典例突破例2.(2021山东聊城二模)数列an满足a1=1,点(n,an+an+1)在函数y=kx+1图像上,其中k为常数,且k0.(1

6、)若a1,a2,a4成等比数列,求k的值;(2)当k=3时,求数列an的前n项和Sn.解:(1)由an+an+1=kn+1可得a1+a2=k+1,a2+a3=2k+1,a3+a4=3k+1,因为a1=1,所以a2=k,a3=k+1,a4=2k,又a1,a2,a4成等比数列,所以 =a1a4,则k2=2k,又k0,故k=2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(2)当k=3时,an+an+1=3n+1,当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(an-1+an)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四解题心得若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则

7、可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练2(2021广东广雅中学高三月考)已知数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1).(2)若bn=ancos n,求数列bn的前100项和S100.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(1)证明:因为nan+1=(n+1)an+n(n+1),则bn=ancos n=(-1)nn2,当n=2k-1,kN+时,b2k-1=-(2k-1)2=-4k2+4k-1,kN+,当n=2k,kN+时,b2k=(2k)2=4k2,kN*,所以b2k-1+b2k=4k-1,

8、考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点三考点三裂裂项相消法求和相消法求和(多考向探究多考向探究)典例突破例3.(2021北京海淀一模)在a1=3,a4=S2,a3=b2,a5=b3-b1,a1=b2-2,a2=S2-3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.设数列an为等差数列,Sn是数列bn的前n项和,且,b3=8,bn=2bn-1(n2,nN+).记cn=,Tn为数列cn的前n项和,是否存在实数,使得对任意的nN+都有Tn?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四解:由bn=2bn-1,可知数列bn是等比数列,且公比为2

9、,若选:a1=3,a4=S2=22+1-2=6,因为数列an为等差数列,设公差为d,则3d=a4-a1=3,即d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四若选:则a3=b2=4,a5=b3-b1=8-2=6,因为数列an为等差数列,设公差为d,则2d=a5-a3=2,即d=1,所以an=4+(n-3)=n+1,易知Tn1,所以1,即的最小值为1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四若选:则a1=b2-2=2,a2=S2-3=3,因为数列an为等差数列,设公差为d,则d=a2-a1=1,所以an=2+(n-1)1=n+1,易知Tn1,所以

10、1,即的最小值为1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四典例突破例4.(2021安徽江南十校一模)已知各项均为正数的等差数列an满足考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四即(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an),又数列an的各项均为正数,即an+1+an0,则an+1-an=2,an的公差为2,而a1=1,故an=2n-1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四突破技巧1.基本步骤 2.裂项原则一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.3.消项规律消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.考点一考点一

11、考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练3(2021四川雅安三诊)已知等比数列an的公比为q(q1),前n项和为Sn,S3=14,且3a2是2a3与4a1的等差中项.(1)求an的通项公式;(1)解:3a2是2a3与4a1的等差中项,则6a2=2a3+4a1,即6a1q=2a1q2+4a1,又a10,可得q2-3q+2=0,而q1,解得q=2.a1=2,因此an=a1qn-1=2n.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点四考点四错位相减法求和位相减法求和典例突破例5.(2021广东韶关一模)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=

12、-n2+kn(kN+),且Sn的最大值为25.(1)求k的值及通项公式an;考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四综上可得k=10,Sn=-n2+10n.当n=1时,a1=S1=9;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-(n-1)2+10(n-1)=-2n+11,当n=1时也成立.所以an=-2n+11.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四突破技巧错位相减法求数列an的前n项和的步骤与注意事项(1)适用条件若an是公差为d(d0)的等差数列,bn是公比为q(q1)的等比数列,求数列anbn的前n项和Sn.(2)

13、基本步骤考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(3)注意事项在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn;作差后,应注意减式中所剩各项的符号要变号.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练4(2021山东济宁一模)Sn=2an-3;Sn=32n-3;=anan+2,a1=3,a4=24.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题.已知数列an的前n项和为Sn,且满足,若bn=anlog2 ,求数列bn的前n项和Tn.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四解:若选:因为Sn=2an-3,所以当n2时,S

14、n-1=2an-1-3,-得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2),所以数列an为等比数列,当n=1时,a1=S1=2a1-3,解得a1=3,所以an=32n-1.所以bn=3n2n-1,所以Tn=b1+b2+b3+bn=3(120+221+322+n2n-1),2Tn=3(121+222+323+n2n),所以Tn=3+3(n-1)2n.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四若选:因为Sn=32n-3,所以当n=1时,a1=S1=32-3=3,当n2时,Sn-1=32n-1-3,-得an=Sn-Sn-1=32n-32n-1=32n-1(n2),因为a1=3符合上式,所以an=32n-1.所以bn=3n2n-1.以下解法同选.若选:由 =anan+2知数列an是等比数列,设数列an的公比为q,则a4=a1q3,即24=3q3,所以q3=8,解得q=2,所以an=32n-1.所以bn=3n2n-1.以下解法同选.