第1课时　绝对值不等式.pptx

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1、第第1 1课时绝对值不等式课时绝对值不等式选修选修4545内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:|a+b|a|+|b|,|a-b|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c,|ax+b|c,|x-a|+|x-b|c.3.了解下列柯西不等式的两种形式,理解它们的几何意义,并会证明:(1)柯西不等式的向量形式:|;(2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证

2、法、放缩法、几何法.1.绝对值不等式的解法2.与绝对值不等式有关的参数范围3.求函数或代数式的最值4.比较法证明不等式5.综合法证明不等式6.分析法证明不等式7.绝对值三角不等式的运用8.利用柯西不等式证明不等式9.利用放缩法证明不等式1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.绝对值三角不等式(1)定理:如果a,b是实数,则|a+b|;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|.微点拨由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|,|a|-|b|a+b|a|+

3、|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|+|b|2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c;|ax+b|c.(3)形如|ax+b|cx+d|的不等式,可以利用两边平方转化为二次不等式求解.-cax+bc ax+bc或ax+b-c(4)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“分段讨论法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想

4、.微点拨1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题,能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.2.绝对值不等式|ab|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是一个缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.3.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b2(此式当且仅当a=b时取“=”号).定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c33abc(此式当且仅当a=b=c时取“=”号).

5、2ab 4.柯西不等式(1)定理1:对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式,设,是两个向量,则|,等号成立的条件为:向量(a,b)与向量(c,d)共线.5.不等式证明的方法(1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,可分为求差比较法和求商比较法两种.证明步骤:作差(或作商)变形判断符号(或判断与0或1的大小关系)下结论.(2)综合法:从出发,利用 (或已知证明过的不等式),推出了所要证明的结论,即“由因求果”的方法.(3)分析法:证明命题时,从入手向已知条件反推直至达到已知条件为止

6、,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.已知条件 不等式的性质所要证的结论(4)反证法:证明命题时先假设要证的命题,以此为出发点,结合,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论,以说明假设不正确,从而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法.(5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 或,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.(6)几何法:通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法.不成立 已知条件 矛盾 放大 缩小 微点拨1.求差比较法适用的主要题型是多项式、分式、

7、对数式、三角式,求商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构.2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或出现否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法.3.放缩是一种能力,如何把握放缩的“度”,使得放缩“恰到好处”,这正是放缩法的精髓和关键所在!增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一绝对值不等式的解法不等式的解法典例突破例1.(2020全国,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.考点一考点一考点二考点二考点三考点

8、三y=f(x)的图像如图所示.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧形如|x-a|+|x-b|c或c(c0)的不等式的解法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(2021内蒙古包头一模)已知函数f(x)=|x-1|+3|x+1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x-1)的解集.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二与与绝对值不等式有关的参数范不等式有关的参数范围(多考向探究多考向探究)考向考向

9、1.利用利用函数函数图像像平移平移法求参数范法求参数范围典例突破例2.(2021全国甲,23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三即过点P,Q的直线斜率是1.由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图像的对称轴是直线x=2-a.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求与绝对值不等式有关的参数范围,可以通过构造函数或者利用已

10、有的函数,画出函数的图像,通过观察图像的位置关系找出使不等式恒成立的范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(2021河南焦作三模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-5|-7.(1)在如图所示的网格中画出函数y=f(x)的图像;(2)若当xf(x+a)恒成立,求a的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)当x-1时,f(x)=-x-1-2x+5-7=-3x-3,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)当a0时,y=f(x)的图像向右平移-a个单位长度得到y=f(x+a)的图像,此时对任意x0时,y=f(x+a)的图像最多平移到与y=f(x)的图像交于点(1,-

11、2)的位置,此时a=2,故a的取值范围是(0,2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.利用分离参数法求参数范利用分离参数法求参数范围典例突破例3.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参

12、数,通过求对应函数最值的方法获得.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(2021黑龙江齐齐哈尔一模)已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m.(1)已知常数a0;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由f(x)+a-20,可得|x-3|2-a(a2-a或x-35-a或xg(x)恒成立,所以m|x-3|+|x+4|恒成立.因为|x-3|+|x+4|x-3-x-4|=7,所以m-a,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,由f(x)6可得|x-1|+|x+3|6.当x-3时,不等式可化为1-x-x-36,解得x-4;当-3x-a,则f(x)min-a

13、.因为f(x)=|x-a|+|x+3|(x-a)-(x+3)|=|a+3|,所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|-a,即a+3-a,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求与绝对值不等式有关的参数范围,可利用绝对值三角不等式消去变量x,从而得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)1时,求a的取值范围;(2)若a0,对任意x,y(-,a,都有不等式f(x)+|y-a|恒成立,求a的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考

14、点二考点三考点三突破技巧1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式,得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练5(2021安徽安庆模拟)已知函数f(x)=|2x-a|-|x+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)0,不等式f(x)+20恒成立,求实数a的取值范围.当x1时,f(x)1即x-31

15、,从而有1x4;当-1x1时,f(x)1即1-3x1,从而有0 x1;当x-1时,f(x)1即3-x1,此时解集为.综上所述,不等式的解集为(0,4).考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三求函数或代数式的求函数或代数式的最最值(多考向探究多考向探究)考向考向1.利用利用平均平均值不等式求最不等式求最值典例突破例6.(2021河南焦作一模)已知f(x)=|x|+|x-10|,g(x)=|x|-|x-10|.(1)若g(x)mf(x)恒成立,求m的值;考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)因为f(x)=|x|+|x-10|x-(x-10)|=

16、10.g(x)=|x|-|x-10|x-(x-10)|=10,所以m=10.(2)设c=1+a,d=2+b,则4c+3d=10+4a+3b=20,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用平均值不等式从而得出其最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练6(2021吉林省吉林三模)已知函数f(x)=|x-4|+|1-x|,xR.(1)解不等式f(x)5;4x5或1x4或0 x1,0 x5,不等式的解集为x|0 x5.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.利用利用绝对值三角不等式求三角不等式求最最值典例突破(1)若m=1,求不等式f(x)0).(1)求m的值;考点一考点一考点二考点二考点三考点三因为m0,所以m=3.(2)由(1)知a2+b2+c2=3,根据柯西不等式可知,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧利用柯西不等式求最值时,一定要满足柯西不等式的形式,有时可能需要对不等式变形才能用柯西不等式.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练9(2021河南郑州三模)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-4|.(1)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像;(2)若对任意xR,f(x)t恒成立,t的最小值为m,且正实数a,b,c满足考点一考点一考点二考点二考点三考点三