第2节　空间几何体的表面积与体积.pptx

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1、第二节空间几何体的表面积与体积第二节空间几何体的表面积与体积第八章第八章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1.空间几何体的表面积与侧面积2.空间几何体的体积3.与球有关的切、接问题1.直观想象2.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式所有侧面的面积之和 2rl rl(r1+r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 Sh 4R2 微点

2、拨当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:微拓展球的截面的性质(1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为微思考如何求不规则几何体的体积?提示:求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.常用结论1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.3.正四面体

3、的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一空空间几何体的表面几何体的表面积与与侧面面积典例突破例1.(1)(2021四川成都三诊)某几何体的三视图如图所示,已知网格纸上的小正方形边长为1,则该几何体的表面积为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)(2021河南安阳高三三模)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 8,则正六棱锥与正六棱

4、柱的高的比值为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)D解析:(1)根据给定的几何体的三视图,可得该几何体的上部分为圆锥,下部分为圆柱,如图所示,其中圆柱和圆锥的底面圆的半径为2,圆柱的母线长为4,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)设正六棱柱底面边长为a,由题意可知正六棱柱的高为2a,则可知正六棱柱的侧面积为6a2a=12a2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求

5、表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(1)(2020全国,理10)已知ABC是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()(2)(2021陕西西安检测)下图网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)D解析:(1)设等边三角

6、形ABC的边长为a,球O的半径为R,ABC的外接圆的半径为r,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二空空间几何体的体几何体的体积(多考向探究多考向探究)考向考向1.简单几何体的体几何体的体积典例突破例2.(1)(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:等级24 h降雨量(精确到0.1)小雨0.19.9中雨10.024.9大雨25.049.9暴雨50.099.9考点一考点一考点二考点二考点三考点三在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为3

7、00 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)C(2)如图所示,该四棱锥的一条侧棱垂直于底面且底面为正方形,其高PA长为2,底面正方形ABCD对角线的长度为2.直观图如图所示,PA=2,AC=2,正方形ABCD的面积为2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.不不规则几何

8、体的体几何体的体积典例突破例3.(1)(2021河南开封模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为()A.5 000立方尺B.5 500立方尺C.6 000立方尺D.6 500立方尺考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()考点一

9、考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A(2)C 考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求空间几何体的体积的常用方法 公式法对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积考点一考点一考点二考点二考点三考

10、点三对点训练2(1)(2021山东莱州高三检测)如图所示,半径为R的半圆内(其中BAC=30)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)(2021福建龙岩高三模拟)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图的多面体石凳是由图的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是 cm3,则正方体石块的棱长为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三与球有关的切、接与球有关的切、接问题(多考向探究多考向探究)考向考向1.几何体的外接球几何体的外接球问题典例突破例4.

11、(1)(2021广西玉林模拟)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为()A.32B.16C.49D.64考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)(2021甘肃兰州月考)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,AB=2,侧棱PA底面ABCD,且直线PB与CD所成角的余弦值为 ,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:

12、(1)A(2)6解析:(1)依题意得到几何体的直观图如下所示,AC与BD相交于点O,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧解决与球“外接”问题的方法(1)构造正(长)方体等特殊几何体,转化为特殊几何体的外接球问题.(2)空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心、接点等).(3)利用球心与截面圆心的连线垂直于截面圆,确定球心所在的直线.(4)若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定球心或直径解决外接球问题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(1)(202

13、1四川成都二诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为()A.4B.8C.12D.16(2)(2021河北邯郸三模)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=BB1=CC1=DD1=,AB=2,A1B1=1,则该四棱台的表面积为;该四棱台外接球的体积为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.几何体的内切球几何体的内切球问题典例突破例5.(1)(2021四川成都石室中学高三)九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥

14、称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=BC=4,AB=3,ABBC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为()(2)(2021山东潍坊三模改编)圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的表面积与该圆锥的表面积之比的最大值为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解析:(1)如图,因为PA平面ABC,则PABC,而ABBC,PAAB=A,所以BC平面PAB,则PBBC,又PAAB,PAAC,且PA=BC=4,AB=3,则有考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥内切球半径为R,作出圆锥的轴截面如图所示:点D,E为切点,则O

15、DAB,OEBC.设OBC=,ODAB,OEBC,DBE+DOE=.又AOD+DOE=,AOD=DBE=2,AD=Rtan 2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧几何体内切球问题的求解策略(1)体积分割法求内切球半径.(2)作出合适的截面(过球心、切点等),转化为平面图形求解.(3)多球相切的问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练4(1)(2021广西桂林、崇左二模)有一底面半径与高的比值为 的圆柱,则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为()A.43B.32C.21D.83考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)B解析:(1)设内切球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,故圆柱的表面积S1=2R2+2R2R=6R2,内切球的表面积S2=4R2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)如图,正四棱锥内有一个体积为V的球,当球内切于正四棱锥时体积最大,取BC,AD的中点M,N,连接PM,PN,MN,由正四棱锥的对称性知该四棱锥的内切球半径即为PMN的内切圆半径,