2024年高考二级结论速解技巧12讲专题12 焦点三角形的面积公式含答案.pdf

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1、专题专题 1 12 2 焦点三角形的面积公式焦点三角形的面积公式 一、结论一、结论1 1、椭圆中焦点三角形面积公式、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆22221xyab+=(0ab)中,1F,2F分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,12FPF=,12PFF的面积记为1 2PF FS，则：1 2121|2PF FppSFFyc y=1 2121|sin2PF FSPFPF=1 22tan2PF FSb=,其中12FPF=.2 2、双曲线中焦点三角形面积公式、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线22221xyab=(0a,0b)中,1F,2F分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,12FPF=，12PFF

2、的面积记为1 2PF FS，则：1 2121|2PF FppSFFyc y=1 2121|sin2PF FSPFPF=1 22tan2PF FbS=注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定 理，基本不等式等综合应用理，基本不等式等综合应用.二、典型例题二、典型例题例题例题 1 1（20232023 春四川眉山高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆春四川眉山高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆22:1126xyC+=的两焦点的两焦点分别为分

3、别为1F，2F，P为椭圆上一点，且为椭圆上一点，且1260FPF=，则，则12FPF的面积等于（的面积等于（）A A6 6 B B2 3C C4 3D D6 3例题例题 2 2（20212021高二课时练习）已知双曲线高二课时练习）已知双曲线22197xy=的左右焦点分别为的左右焦点分别为12,F F，若双曲线上一点，若双曲线上一点P使得使得1260FPF=，求，求12FPF的面积（的面积（）2024年高考二级结论速解技巧12讲 A A7 33 B B14 33 C C7 3 D D14 3 例题例题 3 3（20232023全国高三专题练习）设双曲线全国高三专题练习）设双曲线C：22221x

4、yab=（a a00，b b00）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为1F，2F离心率为离心率为5P是是C上一点，且上一点，且12FPF P若若12PFF的面积为的面积为 4 4，则，则a=（）A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D8 8 三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 1（2023全国高三专题练习）已知椭圆221259xy+=的焦点为1F、2F，P为椭圆上的一点，若1260FPF=，则12FPF的面积为（）A3 B9 C3 3 D9 3 2（2019 秋吉林四平高二四平市第一高级中学校考期中）设12,F F是椭圆2212516xy+=的两个焦点，点M在椭圆上，若12M

5、FF是直角三角形，则12MFF的面积等于（）A485 B365 C16 D485或 16 3（2022 秋江苏南京高二统考阶段练习）设点 P为椭圆222:12)4xyCaa+=（上一点，1F，2F分别为 C的左、右焦点，且1260FPF=，则12PFF的面积为（）A4 3 B2 3 C4 33 D2 33 4（2022高二课时练习）已知点P在椭圆221164xy+=上，1F与2F分别为左右焦点，若1223FPF=，则12FPF的面积为()A4 3 B6 3 C8 3 D16 5（2021 秋江苏南京高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左焦点为 F，直线y

6、kx=与双曲线 C 交于 A，B两点（其中点 A 位于第一象限），90AFB=，且FAB的面积为232a，则直线AF的斜率为（）A13 B23 C12 D22 6（2020 秋江西上饶高三校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0 xyabab=的一条渐近线方程2yx=，且点P为双曲线右支上一点，且12,F F为双曲线左右焦点，12FF P的面积为3，且1260FPF=，则双曲线的实轴的长为（）A1 B2 C4 D4 3 7（2022 秋湖南怀化高二校考阶段练习）椭圆22110064xy+=的焦点为1F、2F，椭圆上的点P满足1260FPF=，则12F PFS=（）A16 33 B643

7、C64 33 D91 33 8（2020吉林长春高二长春外国语学校校考期中）已知1F，2F为椭圆22110064xy+=的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若123FPF=，则12FPF的面积为（）A643 B64 33 C1283 D128 33 9（2020 秋山西大同高三统考阶段练习）已知1F、2F为双曲线22:13xCy=的左、右焦点，点 P 在 C 上，1260FPF=，则12PFF的面积为（）A3 B33 C32 D2 3 10（2022全国高三专题练习）已知双曲线221916xy=的左、右集点分别为12FF、，若双曲线上点P使1290FPF=，则12FPF的面积是（）A12 B16

8、C24 D32 11（2022全国高三专题练习）设1F，2F为双曲线2214yx=的两个焦点，点P在双曲线上且满足1290FPF=，则12FPF的面积为（）A2 B5 C4 D2 5 专题专题 1 12 2 焦点三角形的面积公式焦点三角形的面积公式 一、结论一、结论 1 1、椭圆中焦点三角形面积公式、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆22221xyab+=(0ab)中,1F,2F分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,12FPF=,12PFF的面积记为1 2PF FS，则：1 2121|2PF FppSFFyc y=1 2121|sin2PF FSPFPF=1 22tan2PF FSb=,其中12FP

9、F=.2 2、双曲线中焦点三角形面积公式、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线22221xyab=(0a,0b)中,1F,2F分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,12FPF=，12PFF的面积记为1 2PF FS，则：1 2121|2PF FppSFFyc y=1 2121|sin2PF FSPFPF=1 22tan2PF FbS=注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定 理，基本不等式等综合应用理，基本不等式等综合应用.二、典型例题二、典型例题 例题

10、例题 1 1（20232023 春四川眉山高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆春四川眉山高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆22:1126xyC+=的两焦点的两焦点分别为分别为1F，2F，P为椭圆上一点，且为椭圆上一点，且1260FPF=，则，则12FPF的面积等于（的面积等于（）A A6 6 B B2 3 C C4 3 D D6 3 【答案】B【详解】由与P是椭圆上一点，1224 3PFPFa+=，两边平方可得221212248PFPFPF PF+=，即221212482PFPFPF PF+=，由于1260FPF=，1222 6FFc=，根据余弦定理可得22121224122

11、PFPFPF PF+=，综上可解得128PFPF=，12FPF的面积等于121sin602 32PF PF=，故选：B 另解：根据焦点三角形面积公式，求另解：根据焦点三角形面积公式，求1 22tan2PF FSb=,其中其中12FPF=，由题意知，由题意知26b=，3=，代，代入入1 22tan6 tan2 326PF FSb=【反思反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，另

12、外作为二级结论，1 22tan2PF FSb=要特别注意记忆要特别注意记忆12FPF=表示的是哪个角表示的是哪个角.另外利用结论另外利用结论1 22tan2PF FSb=求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用用.例题例题 2 2（20212021高二课时练习）已知双曲线高二课时练习）已知双曲线22197xy=的左右焦点分别为的左右焦点分别为12,F F，若双曲线上一点，若双曲线上一点P使得使得1260FPF=，求，求12FPF的面积（的面积（）A A7 33 B B14 33 C C7 3 D D14 3 【答案】C【详解】22197

13、xy=，所以3a=，7b=，4c=，P在双曲线上，设1PFm=，2PFn=，26mna=由1260FPF=，在12FPF根据余弦定理可得:2221212122cos60FFPFPFPF PF=+故2264mnmn=+由可得28mn=，直角12FPF的面积121212s11insin607 322F PFSmPFPFFPFn=故选：C.另解：根据焦点三角形面积公式，求另解：根据焦点三角形面积公式，求1 22tan2PF FbS=,其中其中12FPF=，由题意知，由题意知27b=，3=，代入，代入 1 22777 33tantan233PF FbS=【反思反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆

14、锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，另外作为二级结论，1 22tan2PF FbS=要特别注意记忆要特别注意记忆12FPF=表表示的是哪个角示的是哪个角.另外利用结论另外利用结论1 22tan2PF FbS=求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.例题例题 3 3（20232023全国高三专题练习）设双曲线全国高三专题练习）设双曲线C：22221xya

15、b=（a a00，b b00）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为1F，2F离心率为离心率为5P是是C上一点，且上一点，且12FPF P若若12PFF的面积为的面积为 4 4，则，则a=（）A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D8 8 【答案】A【详解】5ca=，5ca=，根据双曲线的定义可得122PFPFa=，1 2121|42PF FPFFSP=，即12|8PFPF=，12FPF P，()22212|2PFPFc+=，()22121224PFPFPFPFc+=，即22540aa+=，解得1a=，故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求另解：根据焦点三角形面积公式，求1 22t

16、an2PF FSb=,其中其中12FPF=，由题意知，由题意知1 24PF FS=，2=，代入代入1 2222tan4tan424PF FSbbb=，又离心率，又离心率5ca=，结合，结合222cab=+，可求出，可求出1a=.【反思反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，另外作为二级结论，1 22tan2PF FSb=要特别注意记忆要特别注意记忆12FPF=表示的是哪个角表

17、示的是哪个角.另外利用结论另外利用结论1 22tan2PF FSb=求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用用.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 1（2023全国高三专题练习）已知椭圆221259xy+=的焦点为1F、2F，P为椭圆上的一点，若1260FPF=，则12FPF的面积为（）A3 B9 C3 3 D9 3【答案】C【详解】根据椭圆的定义有1210,2594PFPFc+=，根据余弦定理得221212642cos60PFPFPF PF=+，结合解得1212PF PF=，所以12FPF的面积12113sin60123 32

18、22SPF PF=故选:C 2（2019 秋吉林四平高二四平市第一高级中学校考期中）设12,F F是椭圆2212516xy+=的两个焦点，点M在椭圆上，若12MFF是直角三角形，则12MFF的面积等于（）A485 B365 C16 D485或 16【答案】D【详解】依题意，5,4,3abc=，不妨设()()13,0,3,0FF，对于直角三角形12MFF，若122FMF=，由1222212210436PFPFaPFPFc+=+=，整理得1232PFPF=,所以1 2121162MF FSPFPF=.若12MFF或21MF F为直角，由()22312516My+=得225616,255MMyy=，

19、所以1 21211164862255MF FMSFFy=.所以，12MFF的面积等于485或 16.故选：D 3（2022 秋江苏南京高二统考阶段练习）设点 P为椭圆222:12)4xyCaa+=（上一点，1F，2F分别为 C的左、右焦点，且1260FPF=，则12PFF的面积为（）A4 3 B2 3 C4 33 D2 33【答案】C 【详解】设12,PFs PFt=，根据椭圆的定义以及余弦定理得()()22222224442cos60staccastst+=+，整理得163st=，即12163PFPF=，所以12PFF的面积为1164 3sin60233=.故选：C 4（2022高二课时练习

20、）已知点P在椭圆221164xy+=上，1F与2F分别为左右焦点，若1223FPF=，则12FPF的面积为()A4 3 B6 3 C8 3 D16【答案】A【详解】由椭圆的定义，设1PFx=，则28PFx=，124 3FF=，又1223FPF=，所以22212(8)(4 3)1cos2(8)2xxFPFxx+=，解得4x=，所以14PF=，24PF=，121212113sin4 44 3222F PFSPFPFFPF=.故选：A.5（2021 秋江苏南京高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左焦点为 F，直线ykx=与双曲线 C 交于 A，B两点（其中点

21、A 位于第一象限），90AFB=，且FAB的面积为232a，则直线AF的斜率为（）A13 B23 C12 D22【答案】A【详解】设双曲线右焦点为2F，连接22,AF BF，由图形的对称性知2AFBF为矩形，则有2|2AFAFa=，22|3AFAFa=，2|3,AFa AFa=，在2Rt AFF中，21tan3AFkAFF=，故选:A 6（2020 秋江西上饶高三校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0 xyabab=的一条渐近线方程2yx=，且点P为双曲线右支上一点，且12,F F为双曲线左右焦点，12FF P的面积为3，且1260FPF=，则双曲线的实轴的长为（）A1 B2 C4 D

22、4 3【答案】A【详解】双曲线 22221xyab=的渐近线方程为byxa=由一条渐近线方程为2,yx=可得2ba=,由双曲线定义有122PFPFa=,两边平方得 222121224PFPFPFPFa+=由余弦定理，有 222121212FFPFPFPF=+2cos60PF 即为 22212124PFPFPFPFc+=联立可得22212444PFPFcab=12FF P的面积为3,可得212113sin604222PFPFb=233b=解得 11,2ba=，所以双曲线的实轴的长21a=.故选：A 7（2022 秋湖南怀化高二校考阶段练习）椭圆22110064xy+=的焦点为1F、2F，椭圆上的

23、点P满足1260FPF=，则12F PFS=（）A16 33 B643 C64 33 D91 33【答案】C【详解】解：解：椭圆22110064xy+=的焦点为1F、2F，椭圆上的点P满足1260FPF=，由椭圆定义得：12|20PFPF+=，221212|2|400PFPFPFPF+=，由余弦定理得：22121212|2|cos436PFPFPFPFFPF+=，联立，得：12256|3PFPF=，1212164 3sin6023F PFSPFPF=，故选：C.8（2020吉林长春高二长春外国语学校校考期中）已知1F，2F为椭圆22110064xy+=的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若123F

24、PF=，则12FPF的面积为（）本号*资料全部来源于微信公众*号：数学第六感 A643 B64 33 C1283 D128 33【答案】B【详解】由题意知：1F，2F为椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，所以12FPF是焦点三角形，且264b=，3=，所以122364 3tan64233F PFSb=，故选：B 9（2020 秋山西大同高三统考阶段练习）已知1F、2F为双曲线22:13xCy=的左、右焦点，点 P 在 C 上，1260FPF=，则12PFF的面积为（）A3 B33 C32 D2 3【答案】A【详解】双曲线22:13xCy=，则223,1ab=，所以2224cab=+=，则122

25、2 3PFPFa=，平方得221212122PFPFPFPF+=+，且1224FFc=，由余弦定理2221221212cos2PFPFFFFPFPFPF+=，即1212122161cos6022PFPFPFPF+=，解得124PFPF=，则1 212113sin6043222PF FSPFPF=.故选：A.10（2022全国高三专题练习）已知双曲线221916xy=的左、右集点分别为12FF、，若双曲线上点P使1290FPF=，则12FPF的面积是（）A12 B16 C24 D32【答案】B【详解】由双曲线方程可知，3,4ab=，所以225cab=+=，设双曲线的左右焦点分别为12,F F,1

26、2|,|PFm PFn=，由双曲线定义可得|26mna=，1290FPF=，2222210()262mnmnmnmn=+=+=+，32mn=，1211321622F PFSmn=.故选：B 11（2022全国高三专题练习）设1F，2F为双曲线2214yx=的两个焦点，点P在双曲线上且满足1290FPF=，则12FPF的面积为（）A2 B5 C4 D2 5【答案】C【详解】由题意，双曲线2214yx=，可得1,2ab=，则225cab=+=，因为点P在双曲线上，不妨设点P在第一象限，由双曲线的定义可得122PFPF=，又因为1290FPF=，可得2221212PFPFFF+=，即22212(2 5)20PFPF+=，又由222121212()2PFPFPFPFPF PF+=+，可得2122220PF PF+=，解得128PF PF=，所以12FPF的面积为12142SPF PF=.故选：C.