2022年从力做的功到向量的数量积导学案 .pdf

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1、从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1. 知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；向量的夹角。（3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。2. 过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（ “做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义。通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力. 3. 情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和

2、勇于创新的精神. 二. 教学重、难点重点: 向量数量积的概念、物理意义、几何意义及其性质；向量数量积的运算律. 难点: 对向量数量积概念的理解和应用。三. 学法 (1) 自主性学习 +探究式学习法：(2) 反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的内容及其存在的差距. 四. 教学设想创设问题情景，引出新课1、问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、问题 2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？阅读课文第 91页实例分析。回答下列问题：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所做的功

3、： W= （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：W （功）是量， F（力）是量，S（位移）是量，是。0 90时， w0，力做功；=90，w0，力不做功；90 180，w0，力做功。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? （4）如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该如何表述？还应该注意什么问题？探究问题：s F a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 1、向量的夹角：已知两个非零向量 a与 b，作 OA=a，

4、OB =b ，AOB=（0 180）叫作向量 a与b 的夹角。当 =0时， a与b 同向；当=180时， a 与b 反向；当 =90时， a与 b 垂直，记作 a b 。规定：零向量可与任一向量垂直。画出以下几组向量的夹角：练习：在ABC中已知 A=45，B=50，C=85。求下列向量的夹角：（1） ABAC与（2） ABC与B（3） ACC与B的夹角。2、射影的概念cosb叫作向量 b在 a方向上的射影。给出如下六个图形，让学生指出b在 a 方向上的射影，并判断其正负。注意 ：射影也是一个数量，不是向量。当 为锐角时射影为值； 当 为钝角时射影为值； 当 为直角时射影为； 当= 0 时射影为

5、；当 = 180时射影为3、数量积的定义：bO A B abB 1BA O abB 1BA O aB 1()BA O O A B A O B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 已知两个向量 a与 b，它们的夹角为 ，我们把数量 a bcos叫做 a与 b的数量积（或内积），记作： a b，即： a b= a bcos注意： a b不能写成 a b或 ab的形式。两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。

6、其正负如何确定？当为锐角时，cosa ba b0；当为钝角时，cosa ba b0；当90时，cosa ba b=0；当0时，aba b；当180时，aba b。数量积的几何意义：数量积a b等于 a 的长度 a与 b在 a方向上投影cosb的乘积，或 b的长度 b与a在 b方向上投影cosa的乘积。数量积的物理意义：力F 与其作用下物体位移s的数量积 Fs4、向量数量积的性质请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。（1）已知8a，e为单位向量，当它们的夹角为时3，求a在e方向上的投影及aeea、性质为：（2）已知2a，3b，a与b的交角为90，则 a b性质为：（3）若

7、1a，3b，a、 b共线，则 ab性质为：（4）已知3m，4n，且6mn，则 m与n的夹角为性质为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 性质：(1),cos是单位向量eaee aa（2）90abab0 (3)/aba ba b*22aaaaa特别地 :或*4cosaba b， （ ab0）(5) aba b/ b( 当且仅当 a时等号成立 )5、运算定律：已知向量a、b、c和实数 ，则：1.交换律：ab= ba2.数乘结合律：（a）

8、b=（ab)= a （b）3.分配律： （a+ b） c=ac+bc巩固深化，发展思维判断下列各题是否正确。若a= 0 ，则对任一向量 b，有ab = 0.( ) 若a0 ，则对任一非零向量 b，有a b0 .( ) 若a0，a b= 0，则 b = 0.( ) 若ab = 0 ，则a、 b至少有一个为零 .( ) 若a0 ，a b= a c，则 b =c ( ) 对任意向量a，b ， c，有(ab) ca （ b c） ( ) 对任意向量a，有aa= |a|2.( ) 应用与提高精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

9、 - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 1、 （1）已知 a=5,b =4, a与 b的夹角 =120，求 a b 。（2）已知 a=6， b =4, a与 b的夹角为 60，求（ a+2b） （a - 3b） ，|a+2b | ；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？例 2、对任意向量 a ，b 是否有以下结论：（1）( a+b)2=a2+2a b+b2（2）( a+b) ( a- b)= a2 b2 学习小结：（学生总结，其他学生补充）向量的夹角、射影、向量的数量积. 向量数量积的几何意义和物理意义. 向量数量积的五条性质. 向量数量积的运算律

10、 . 体现了数形结合的数学思想。随堂练习： 1、课本第 93 页 1、2. 2、已知2,5,3aba b，则ab=，ab=. 3、已知： a=2, b=3, a与 b的夹角 =120，求 （3a+b） （ a-2b）五、评价设计一、课后作业：1、课本 P95习题 2-5，2、4、6 2、拓展与提高： 已知 a与 b都是非零向量， 且 a +3b 与 7a -5 b垂直， a-4 b与 7 a -2 b 垂直，求 a与 b的夹角。 （本题供学有余力的同学选做）二、课后讨论平面向量数量积，是两个向量之间的一种乘法运算，它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢？能否给出你的结论的证明？六、教学反思：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -