(完整版)高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结.pdf

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1、第 1 页 共 10 页数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前 n 项和与通项的关系anS1SnSn1n1，n2 ；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an1anf(n)， 累积法，如an1anf(n)；(5)转化法： an1AanB(A0 ，且 A1) 2、求和常用的方法：(1)公式法：dnnnaaanSnn2)1(2)(11) 1(1)1() 1(11qqqaqnaSnn(2)裂项求和： 将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常

2、见的裂项：111(1)1n nnn11 11()()n nkknnk222111111111111();12111(1)(1)1kkkkkkkkkkkkk1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn2122(1)2(1)11nnnnnnnnn(3)错位相减法： 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) . (4)倒序相加法： 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) . (5)分组求和法： 在直接运用公式法求

3、和有困难时，常将“ 和式 ” 中“ 同类项 ” 先合并在一起，再运用公式法求和.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 2 页 共 10 页二、知能运用典型例题考点 1：求数列的通项题型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法 (逐差相加法 )求解。【例 1】已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1( ,3 ,2, 1

4、nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121题型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。【例 2】已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312?nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32题型 3qpaann 1(其中 p，q 均为常数，且0)

5、 1(ppq)。解法 (待定系数法 )：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。【例 3】已知数列na中，11a，321nnaa，求na。解 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann.故 递 推 公 式 为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项， 2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

6、 -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 3 页 共 10 页题型 4 nnnqpaa1(其中 p，q 均为常数，且0)1)(1(qppq)。(或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数 )。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111?引入辅助数列nb(其中nnnqab)，得：qbqpbnn11再待定系数法解决。【例 4】已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211?nnnnaa令nnnab?2，则1321nnbb,解之得：nnb)

7、32(23所以nnnnnba)31(2)21(32题型 5 递推公式为nS与na的关系式。 (或()nnSf a) 解法：这种类型一般利用)2() 1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。【例 5】已知数列na前 n 项和2214nnnaS. (1)求1na与na的关系；(2)求通项公式na. 解： (1)由2214nnnaS得：111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以11121nnnnaaannnaa21211. (2)应用题型 4(nnnqpaa1，其中 p，q 均为

8、常数，且0)1)(1(qppq)的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa. 于 是 数 列nna2是 以2为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 ， 所 以nnann2)1(22212nnna精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 4 页 共 10 页题型 6rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann 1，再利用待定系数法求解。【例 6】

9、已知数列na中，2111, 1nnaaaa)0(a，求数列na的通项公式。解：由211nnaaa两边取对数得aaann1lglg2lg1，令nnablg，则abbnn1lg21，再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa。考点 2：数列求和题型 1 公式法【例 7】已知na是公差为 3 的等差数列，数列nb满足.,31, 11121nnnnnbbbabb(1)求na的通项公式；(2)求nb的前n项和 . 解： (1)依题 a1b2+b2=b1，b1=1，b2=31，解得 a1=2 2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1 6 分(2)由()知 3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所

10、以 bn是公比为31的等比数列9 分所以 bn 的前 n 项和 Sn=111 ( )313122 313nn 12分题型 2 裂项求和【例 8】nS为数列 na的前n项和 .已知na0，3422nnnSaa. (1)求na 的通项公式；(2)设11nnnba a错误 !未找到引用源。,求数列 nb的前n项和 . 解析： (1)na=21n；(2)由(1)知，nb=1111()(21)(23)2 2123nnnn，所以数列 nb前 n 项和为12nbbbL=1111111()()()235572123nnL=11646n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

11、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 5 页 共 10 页题型 3 错位相减求和【例 9】已知数列 na和 nb满足，*1112,1,2(nN ),nnabaa*12311111(nN )23nnbbbbbnL. (1)求na与nb；(2)记数列nna b的前 n 项和为nT，求nT. 解析： (1)由112,2nnaaa，得2nna. 当1n时，121bb，故22b. 当2n时，11nnnbbbn，整理得11nnbnbn，所以nbn. (2)由(1)知，2nnna bn所以2322 23 22nnT

12、nL2341222 23 2(1) 22nnnTnnL所以2311222222(1)22nnnnnnTTTnnL所以1(1)22nnTn.题型 4 分组求和【例 10】已知 an是等差数列，满足a13， a412，数列 bn满足 b14，b420，且 bnan为等比数列(1)求数列 an和bn的通项公式；(2)求数列 bn的前 n 项和解： (1)设等差数列 an的公差为 d，由题意得da4a1312333. 所以 ana1(n1)d3n(n1，2， )设等比数列 bnan的公比为 q，由题意得q3b4a4b1a12012438，解得 q2. 所以 bnan(b1a1)qn12n1. 从而 b

13、n3n2n1(n1，2， )(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2， )数列 3n的前 n 项和为32n(n1)，数列 2n1 的前 n 项和为 112n122n1，所以，数列 bn的前 n 项和为32n(n1)2n1.三、知能运用训练题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 6 页 共 10 页1、(1)已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；(2)已知nS为数列na的前n项和，11a，nnan

14、S2，求数列na的通项公式 . 【解】 (1)2(12,211nnaaann，121naann11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn135)52()32()12(nnn22)112(nnn(2)11a，nnanS2，当2n时，121)1(nnanS11)1(11221nnaaananSSannnnnnn. 1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.)1(21314213211nnnnnnnn2、已知数列na中，32, 111nnaaa，求数列na的通项公式 . 【解】321nnaa，)3(231nnaa3na是以2为公比的等比数列，其首项为431a

15、.3224311nnnnaa3、已知数列na中，nnnaaa32, 111，求数列na的通项公式 . 【解】nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12则nnnbb)23(1，112211)()()(bbbbbbbbnnnnn123)23()23()23()23(2321nnn2)23(2nnnna234、已知nS为数列na的前n项和，)2,(23nNnaSnn，求数列na的通项公式 . 【解析】当1n时，1231111aaSa，当2n时，)23()23(11nnnnnaaSSa.233211nnnnaaaana是以23为公比的等比数列，其首项为11a，.)23(11nn

16、a5、已知数列na中，nnnaaa33, 111，求数列na的通项公式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 7 页 共 10 页【解析】nnnaa331，13311nnnnaa，令nnnba13数列nb是等差数列，nnbn)1(11，13nnna. 6、已知数列na中，)3(3231, 2, 12121naaaaannn，求数列na的通项公式 . 【解】由213231nnnaaa得)3)(32211naaaannnn又011

17、2aa，所以数列nnaa1是以 1 为首项，公比为23的等比数列，11)32(nnnaa11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn11)32()32()32()32(232nn1)32(5358n7、已知数列na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa?的前n项和为21nn. (1)求数列na的通项公式；(2)设12nannba，求数列nb的前n项和nT. 【解析】（1）设数列na的公差为d，令1,n得12113a a，所以123a a. 令2,n得12231125a aa a，所以2315a a. 解得11,2ad， 所以21.nan（2）由（ I）知24224 ,n

18、nnbnn所以121 42 4.4 ,nnTn所以23141 42 4.(1) 44,nnnTnn两式相减，得121344.44nnnTn114(1 4 )1 3444,1433nnnnn所以113144(31) 44.999nnnnnT8、已知数列 an的前 n 项和 Snn2n2，nN*. (1)求数列 an的通项公式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 8 页 共 10 页(2)设 bn2na( 1)nan，求数列 bn

19、的前 2n 项和解： (1)当 n1 时，a1S11；当 n2 时， anSnSn1n2n2（n1）2（ n1）2n. 故数列 an 的通项公式为ann. (2)由(1)知， bn2n(1)nn.记数列 bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n(212222n) (12 342n)记 A212222n，B 12342n，则 A2（122n）1222n12，B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列 bn 的前 2n 项和 T2nAB22n1n2.9、已知数列na的前 n项和 Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb(1)求数列nb的通项公式；(2)令1(1).(2)nnnn

20、nacb求数列nc的前 n 项和 Tn. 解析：（1）由题意知当2n时，561nSSannn，当1n时，1111Sa，所以56nan. 设数列nb的公差为d，由322211bbabba，即dbdb321721111，可解得3,41db，所以13nbn. （ 2）由（）知11(66)3(1) 2(33)nnnnncnn，又nnccccT321，得23413 223242(1)2nnTn，345223 223242(1)2nnTn，两式作差，得23412322222(1)2nnnTn224(21)34(1)22132nnnnn所以223nnnT10、等比数列na的各项均为正数，且212326231

21、,9.aaaa a(1)求数列na的通项公式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 9 页 共 10 页(2)设31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前 n 项和 . 解析：（1）设数列 an的公比为 q，由23269aa a得32349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。由12231aa得12231aa q，所以113a。故数列 an的通项式为an=13n。（2 ）31323nloglog.lognb

22、aaa(12.)(1)2nn n(12.)(1)2nn n故12112()(1)1nbn nnn12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn所以数列1nb的前 n 项和为21nn11、在公差为d 的等差数列 an中，已知 a110，且 a1,2a22,5a3成等比数列(1)求 d，an；(2)若 d0，求 |a1|a2|a3| |an|. 解：(1)由题意得， a1 5a3(2a22)2，由 a1 10，an 为公差为d 的等差数列得，d23d40，解得 d1 或 d4. 所以 ann11(nN*)或 an4n6(n N*)(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn. 因

23、为 d0，由 (1)得 d 1，an n11，所以当 n11 时， |a1|a2|a3|an|Sn12n2212n；当 n12 时， |a1|a2|a3|an| Sn2S1112n2212n110. 综上所述，|a1|a2|a3|an|12n2212n，n11 ，12n2212n110，n12.12、已知na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，nS表示na的前n项和。(1)求na及nS；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 10 页 共 10 页(2) 设数列1nS的前n项和为nT，求证：当Nn都有1nnTn成立。解： （1）na是首项11a，公差2d的等差数列，1(1)21naandn故21()(1 21)1 3.(21)22nnn aannSnn（2）由（ 1）得，22222111111234nTnL111111 2233445(1)nnL111111111122334451nnL1111nnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -