【高中数学】幂函数课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、 3.3 幂函数幂函数第三章第三章 函数概念与性质函数概念与性质问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？问题引入：函数的生活实例问问题题1：如如果果张张红红购购买买了了每每千千克克1元元的的蔬蔬菜菜w千千克克，那那么么她她需需要要付付的的钱钱数数p=。问题问题2：如果正方形的边长为：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是，那么正方形的面积是S=，问题问题3：如果正方体的边长为：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是，那么正方体的体积是V=，问题问题4:如果正方形场地的面积为如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长，那么正方形的边长c=，问题问题5：如果某人：如果某人t s内

2、骑车行进了内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，那么他骑车的平均速度v=w这里这里p是是w的函数的函数a 这里这里S是是a的函数的函数b 这里这里V是是b的函数的函数这里这里c是是S的函数的函数这里这里v是是t的函数的函数 t-1 km/s 若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用x x来表示来表示来表示来表示,函数值用函数值用函数值用函数值用y y来表示来表示来表示来表示,则它们的函则它们的函则它们的函则它们的函数关系式将是数关系式将是数关系式将是数关系式将是:y=xy=y=xy=y=xy=xy=x以上问题中的函数有什么共同特征？以上问题中

3、的函数有什么共同特征？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如上述问题中涉及的函数，都是形如y=x的函数。的函数。(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1一一.幂函数定义幂函数定义 一般地，函数一般地，函数y=x叫做叫做幂函数幂函数幂函数幂函数，其中，其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.(1)为常量为常量,.定义说明定义说明(2)中前面的系数为中前面的系数为1.(3)定义域没有固定定义域没有固定,与与 的值有关的

4、值有关.式子式子 名称名称 a x y指数函数指数函数:y=a x 幂函数幂函数:y=x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对比幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数指数指数指数指数函数函数判断下列函数是否为幂函数。判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2 牛刀小试幂函数图象与性质：xy0RRR0,+）RR0,+）0,+）均为增函数均为增函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数非奇非偶函数

5、非奇非偶函数定义域：值 域：奇偶性：在(0,+)上的单调性：xy0 xy0 xy011111111定义域：定义域：y0 xx|x00y|y00奇函数奇函数 减函数减函数值域：值域：在（在（0,+）上的单调性：）上的单调性：奇偶性：奇偶性：1111xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(4)当当x(0,1)时时,指数越大指数越大,幂函数图象越靠近幂函数图象越靠近x轴轴(简记为简记为“指大指大图低图低”);当当x(1,+)时时,指数越大指数越大,幂函数的图象越远离幂函数的图象越远离x轴轴(简记为简记为“指大图高指大图高”).对于函数对于函数y=x(为常数为常数)而言而言,其图象有以下特点其图象有以

6、下特点:(1)恒过点恒过点(1,1),且不过第四象限且不过第四象限.题型分析题型分析题型一、题型一、幂函数的概念幂函数的概念例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故m=3.解题方法解题方法（判断一个函数是否为幂函数）判断一个

7、函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.1.如果幂函数如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点的图象不过原点,求实数求实数m的取值的取值.解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.题型二题型二 幂函数的图象幂函数的图象与性质与性质 例2 已知函数y=xa,y=xb,y=x

8、c的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab答案:A解析:由幂函数的图象特征,知c1,0b1.故cb2b2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是abc.2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点恒过点(1,1),且不过第四象限且不过第四象限.(2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.1.如图所示,曲线

9、C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mnm0D.mn0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.答案:A 题型三题型三 利用幂函数的单调性比较大小利用幂函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组中两个数的大小:解题方法解题方法（比较幂函数大小）1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.小结：小结：知识知识：幂函数的概念、图像和性质。幂函数的概念、图像和性质。方法方法：（1）用待定系数法求幂函数的解析式；用待定系数法求幂函数的解析式；（2）用函数的单调性比较两个幂的大小：用函数的单调性比较两个幂的大小：同指数不同底数的，同指数不同底数的，用幂函数的单调性。用幂函数的单调性。