广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、2023-2024 学年上学期期中考试四校联考高二数学试题学年上学期期中考试四校联考高二数学试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分）分）一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AOOBDOOC+=+，则四边形ABCD是（）A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形2.已知向量()4,2,3a=，()1,5,bx=，满足ab，则x的值为（）A.2B.2

2、C.143D.1433.直线340 xy=的倾斜角是（）A.30B.60C.120D.1504.已知椭圆22127xyk+=+的一个焦点坐标为()0,2，则k的值为（）A.1B.3C.9D.815.已知直线1l：2210 xy+=，2l：430 xny+=，3l：:610mxy+=，若12ll且13ll，则mn+的值为（）A.10B.10C.2D.26.已知圆1C：221xy+=和2C：22650 xyx+=，则两圆的位置关系是（）A.内切B.外切C.相交D.外离7.若圆C经过点()2,5A，()4,3B，且圆心在直线l：330 xy=上，则圆C的方程为（）A.()()22234xy+=B.(

3、)()22238xy+=C.()()22362xy+=D.()()223610 xy+=8.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P，Q分别是线段1CC，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ平面11ABC D，PQRQ且P、Q不是正方体的顶点，则PR的最小值是（）广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题A.305B.2 33C.52D.304二、多项选择题：每小题二、多项选择题：每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 5 分，有选错的得分，

4、有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；B.若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=+，则P，B，A，C四点共面；C.已知,a b c 是空间的一组基底，若mac=+，则,a b m也是空间的一组基底；D.若0a b，则,a b 是锐角10.已知直线l过直线1l：1103yx=+和2l：30 xy=的交点，且原点到直线l的距离为 3，则l的方程可以为（）A.3x=B.43150 xy=C.43150 xy+=D.34150 xy+=11.在空间直角坐标系Oxy

5、z中，()2,0,0A，()1,1,2B，()2,3,1C，则（）A.5AB BC=B.2 3AC=C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530D.点O到直线BC的距离是3 421412.已知圆C：224xy+=，直线()()34330m xymm+=R，则下列结论正确的是（）A.圆C与曲线22680 xyxym+=恰有三条公切线，则16m=B.当0m=时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于 1C.直线l恒过第二象限D.当13m=时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点164,99 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

6、，共分，共 20 分。分。13.()1,3,1a=，()1,1,3b=，则ab=_.14.已知圆1C的方程()()22325xy+=，圆2C与圆1C是同心圆且过点()5,0A，则圆2C的标准方程为_.15.已知椭圆C：()222210 xyabab+=的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2 FOAB=，若6BAF=，则椭圆C的离心率是_.16.在如图所示的三棱锥PABC中，PA 平面ABC，90ACB=，8CA=，6PA=，D为AB中点，E为PAC内的动点（含边界），且PCDE.当E在AC上时，AE=_；点E的轨迹的长度为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，

7、第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分。解分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区超出指定区域的答案无效。域的答案无效。17.（本题 10 分）设,Rx y，向量(),1,1ax=，()1,1by=，()2,4,2c=，且ab，bc.（1）求ab+；（2）求向量ab+与2abc+夹角的大小。18.（本题 12 分）已知ABC的顶点()1,3A，()3,1B.（1）求直线AB的方程；（2）

8、若边AB上的中线CM所在直线方程为230 xyp+=，且ABC的面积为 5，求顶点C的坐标.19.（本题 12 分）已知椭圆M：()2210 xyabab+=的焦距为 2，点()0,3D在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（1）求椭圆M的方程及离心率；（2）求证：ABAP.20.（本题 12 分）已知直线l：()1ykxk=+R与圆C：()()22231xy+=相交于A，B不同两点.（1）求k的范围；（2）设M是圆C上的一动点（异于A，B），O为坐标原点，若12OA OB=，

9、求MAB面积的最大值.21.（本题 12 分）如图甲，在矩形ABCD中，22 2ABAD=，E为线段DC的中点，ADE沿直线AE折起，使得如图乙.甲乙（1）求证：BE 平面ADE；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.22.（本题 12 分）已知圆心在原点的圆被直线1yx=+截得的弦长为14.（1）求圆的方程；（2）设动直线()()10yk xk=与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；2023-2024 第一学期高二数

10、学期中四校联考参考答案第一学期高二数学期中四校联考参考答案 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A B A C B A A 二、多项选择题（全部选对的得二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）题号9 10 11 12 答案ABC AC AC ACD 三、三、填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，分，16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分

11、）分）13.6 14.()()223268xy+=15.31 16.4，125.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分。分。17.解：【详解】（1）由题意，ab，bc 可得1011242xyy+=，解得12xy=，则()1,1,1a=，()1,2,1b=，所以()2,1,2ab+=故()2222123ab+=+=（2）因为()24,1abc+=，所以()()20ababc+=故向量ab+与2abc+的夹角为218.解：（1）直线AB的方程为311 33 1yx=，即40 xy

12、+=（2）AB中点M的坐礿为()2,2M，点M在230 xyp+=上，则解得2p=即中线CM所在直线的方程为2320 xy+=，设顶点(),C m n，所以2320mn+=，因为()()223 11 32 2AB=+=，点C到直线AB的距离42mnd+=，因为5ABCS=，所以412 2522ABCmnS+=，整理得45mn+=，所以45mn+=或45mn+=，即90mn+=或10mn+=，由2320,90mnmn+=+=，得54mn=，此时顶点()5,4C由2320,10mnmn+=+=得10mn=，此时顶点()1,0C，所以顶点C的坐标为()5,4或()1,019.解：（1）由题可知：22

13、c=，3b=，又222abc=+所以1c=，2a=故椭圆M的方程为22143xy+=，离心率12cea=（2）设点()11,A x y，()11,Bxy，()00,P xy由点C是线段AH的中点，所以11,2yC x 由2211143xy+=，2200143xy+=则：2201220134yyxx=由B，C，P三点共线，所以BCBPkk=111133224BCyykxx=，0101BPyykxx+=+则()()0101111011014343yyyyyyxxxxxx+=+()()0201011101010143ABAPyyyyyyykkxxxxxxx+=+即220122014431334ABA

14、Pyykkxx=所以ABAP20.解：（1）直线l与圆C交于两点，223 111kk+，解得474733k +，（2）设()11A x y，()22,B xy将1ykx=+代入方程()()22231xy+=，整理得()()2214 170kxk x+=，()122411kxxk+=+，12271x xk=+()()()221212122141118121k kOA OBx xy ykx xk xxk=+=+=+=+，解得1k=，由（1）知47471,33 +，所以直线l的方程为1yx=+，可知圆心()2,3在直线l上，AB是圆C的直径，且2AB=，M是圆C上的一动点（异于A，B），M到直线l的

15、最大距离即为半径为 1，MAB面积的最大值为11 212=21.（1）证明：连接BE，取线段AE的中点O，连接DO，OC，在RtADE中，2DADE=，DOAE，1DO=在OEC中，112OEAE=，2EC=，34OEC=，由余弦定理可得：22122 1252OC=+=，5OC=在DOC中，2226DCDOOC=+，DOOC又AEOCO=，AE，OC 平面ABCE，DO 平面ABCE，又DO 平面ADE，平面ADE 平面ABCE，在ABE中，2AEBE=，2 2AB=，BEAE 平面ADE 平面ABCEAE=，BE 平面ABCE，BE 平面ADE.（2）过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，

16、EB，l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()1,0,1D，()1,1,0C，()2,0,0A，()0,2,0B平面ADE的法向量()10,1,0n=，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为2xy+=，设H的坐标为(),2,0tt，则()1,1,0HCtt=，()2,1,1DC=设平面DHC的法向量为()2,nx y z=，20nHC=，20nDC=所以()()110txty+=，20 xyz+=令1yt=+，则1xt=，3zt=，()21,1,3nttt=+由已知()()()122221221cos421113n ntn nttt+=+，解之得：1t=或 9（舍去），

17、所以点H是线段AB的中点 22 解：（1）圆心()0,0到直线1yx=+的距离12d=，由圆的性质可得2221442rd=+=，所以，圆的方程为224xy+=（2）设(),0N t，()11,A x y，()22,B xy由()2241xyyk x+=得，()22221240kxk xk+=，所以212221kxxk+=+，212241kx xk=+若直线AN与直线BN关于x轴对称，则12120ANBNyyKKxtxt=+=，即()()12121212111100k xk xxxxtxtxtxt+=+=，即()()()()1221110 xxtxxt+=，化简得()()12122120 x xtxxt+=，代入韦达定理()()222224212011kkttkk+=+，即()()()22241104kktt kt+=所以当点N为()4,0时，直线AN与直线BN关于x轴对称；