2024届高考数学专项圆锥曲线中的向量问题大题分类精练含答案.pdf

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1、1圆锥曲线中的向量问题大题分类精练目录目录类型1向量的数量积问题类型2向量的单共线问题类型3向量的双共线问题类型4利用向量解决三点共线问题类型5向量长度关系转化为向量关系类型1向量的数量积问题类型2向量的单共线问题类型3向量的双共线问题类型4利用向量解决三点共线问题类型5向量长度关系转化为向量关系高考题型归纳高考题型归纳【类型1 向量的数量积问题】【类型1 向量的数量积问题】1(2023四川成都成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl，垂足为M，且 PA=PM+OA(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点B 1,0的动直线l交轨

2、迹C于S,T，设Q-3,0，证明：QS QT 为定值2024届高考数学专项圆锥曲线中的向量问题大题分类精练含答案22(2023全国高三专题练习)已知圆心为H的圆x2+y2+2x-15=0和定点A 1,0，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C(1)求C的方程(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求PE QF 的取值范围3(2022上湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2(1)求双曲线C的方程；(2)设过点 0,

3、2的直线l与曲线C交于M,N两点，问在y轴上是否存在定点P，使得PM PN 为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由34(2023江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由【类型【类型2 2 向量的单共线问题】向量的单共线问题】1(2023吉林长春东北师大附中校考一模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，过椭圆焦

4、点并且垂直于长轴的弦长度为1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M(0,m)点，若存在实数m，使得OA+3OB=4OM，求m的取值范围42(2023陕西商洛镇安中学校考模拟预测)已知圆O1：x+12+y2=14，圆O2：x-12+y2=494，圆M与圆O1外切，且与圆O2内切(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点，OQ=OA+OB，则当AOB的面积最大时，求2+2的值3(2023江苏高三校联考阶段练习)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0的两条渐近线分别为l1:y=x2，l2:y=

5、-x2.(1)求双曲线E的离心率；(2)O为坐标原点，过双曲线上一点P 2 2,1作直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且PB=2AP，求AOB的面积.54(2023辽宁葫芦岛高三统考期末)已知圆C:x-2 32+y2=12，定点M-2 3,0，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P(1)证明：PC-PM为定值，并求出点P的轨迹C的方程；(2)若曲线C上一点Q，点A，B分别为l1:y=3x在第一象限上的点与l2:y=-3x在第四象限上的点，若AQ=QB，13,2，求AOB面积的取值范围【类型【类型3 3 向量的双共线问题】向量的双共线问题】1(2

6、023全国高三专题练习)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点Q 1,-22，且离心率e=22，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2OC=OM+OD,2OD=ON+OC？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由62(2023上云南昆明高三统考期中)已知动点P到定点F 0,4的距离和它到直线y=1距离之比为2；(1)求点P的轨迹C的方程；(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段A

7、B交于点N，PM=PN，MQ=QN 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.3(2023贵州贵阳高三校联考阶段练习)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1 ab0的离心率为13，上焦点F到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，与定直线l1：y=9交于点D，设DP=PF，DQ=QF，证明：+为定值.74(2023河北模拟预测)已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，圆D:x-12+y-22=4恰与C的准线相切.(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；(2)O为坐标原点，过点M 0,1的直线l与C相交于A，B两点，直线AD，BD分

8、别与y轴相交于点P，Q，MP=mMO，MQ=nMO，求证：mnm+n为定值.【类型【类型4 4 利用向量解决三点共线问题】利用向量解决三点共线问题】1(2023江苏盐城盐城中学校考模拟预测)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的面积为2 3，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点 1,0的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直

9、线PA与直线x=4交于点F，试证明B，Q，F三点共线.82(2023陕西西安统考一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为63，右焦点F2c,0与抛物线y2=8x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左焦点为F1，过点D-3,0的直线l与椭圆C交于A,B两点，A关于x轴对称的点为M，证明：M,F1,B三点共线.3(2023下江苏南京高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为6,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交

10、于M,N两点点M关于x轴的对称点为M,若M,F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点94(2022全国高三课时练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，F1F2=2，AB=4.(1)求椭圆C的方程.(2)过F2的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线MB与直线x=4交于G点，证明：A，N，G三点共线.【类型【类型5 5 向量长度关系转化为向量关系】向量长度关系转化为向量关系】1(2023上云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知动圆过点F12,0，且与直线x+12=0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C；过点F的直线与曲

11、线C交于A，B两点，曲线C在A，B两点处的切线交于点E.(1)证明：EFAB；(2)设 AF=FB，当13,12时，求ABE的面积S的最小值.102(2023四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)设椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0过点M2,1，且左焦点为F1-2,0(1)求椭圆E的方程；(2)ABC内接于椭圆E，过点P 4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足 AP QD=AQ PD，证明：PBC面积为定值，并求出该定值3(2023江西校联考二模)已知过曲线C:x2a2+y2b2=1 a,b0上一点 x0,y0作椭圆C的切线l，则切线l的方程为x0 xa

12、2+y0yb2=1.若P为椭圆C1:x22+y2=1上的动点，过P作C1的切线l0交圆C2:x2+y2=4于M,N，过M,N分别作C2的切线l1,l2，直线l1,l2交于点Q.(1)求动点Q的轨迹E的方程；公众号：慧博高中数学最新试题(2)已知R为定直线x=4上一动点，过R的动直线m与轨迹E交于两个不同点A,B，在线段AB上取一点T，满足 ARTB=ATRB，试证明动点T的轨迹过定点.114(2023浙江绍兴统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为2，且经过点E 1,32(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点T 1,1，满足MTTQ=NTT

13、P=3，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由1圆锥曲线中的向量问题大题分类精练目录目录类型类型1 1 向量的数量积问题 向量的数量积问题类型类型2 2 向量的单共线问题 向量的单共线问题类型类型3 3 向量的双共线问题 向量的双共线问题类型类型4 4 利用向量解决三点共线问题 利用向量解决三点共线问题类型类型5 5 向量长度关系转化为向量关系 向量长度关系转化为向量关系高考题型归纳高考题型归纳【类型【类型1 1 向量的数量积问题】向量的数量积问题】1(2023四川成都成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2与x轴交于点A，过l右侧

14、的点P作PMl，垂足为M，且 PA=PM+OA(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点B 1,0的动直线l交轨迹C于S,T，设Q-3,0，证明：QS QT 为定值【答案】(1)y2=4x+12；(2)证明见解析【解析】(1)由题意，直线l:x=-2与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl，可得O(0,0),A(-2,0)，设P(x,y)，则M(-2,y)因为 PA=PM+OA，可得(x+2)2+y2=x-(-2)+2，即(x+2)2+y2=x+4，整理得y2=4x+12.(2)当直线l的斜率存在，可设直线l:y=k(x-1)，联立方程组y=k(x-1)y2=4x+12，整理得k2x2-(2k2+4

15、)x+k2-12=0，设S(x1,y1),T(x2,y2)，因为直线l与曲线C交于两点，则=(2k2+4)2-4k2(k2-12)0，且x1+x2=2k2+4k2,x1x2=k2-12k2，因为Q-3,0，可得QS=(x1+3,y1),QT=(x2+3,y2)，所以QS QT=(x1+3)(x2+3)+y1y2=(x1+3)(x2+3)+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2+(3-k2)(x1+x2)+9+k2=(1+k2)k2-12k2+(3-k2)2k2+4k2+9+k2=k2-12k2+(k2-12)+6k2+12k2-(2k2+4)+9+k22=1-12k2+k2-12+

16、6+12k2-2k2-4+9+k2=0；当直线l的斜率不存在，此时直线l:x=1，联立方程组x=1y2=4x+12，解得x=4，不妨设S(1,4),T(1,-4)，此时QS=(4,4),QT=(4,-4)，可得QS QT=0，综上可得，QS QT 为定值0.2(2023全国高三专题练习)已知圆心为H的圆x2+y2+2x-15=0和定点A 1,0，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C(1)求C的方程(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求PE QF 的取值范围【答案】(1)x24+y23=1；(2

17、)-214,-367【解析】(1)由x2+y2+2x-15=0，得 x+12+y2=16，所以圆心为H-1,0，半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得 MA=MB，所以 MA+MH=MB+MH=BH=4，又 AH=21，于是上式化简整理可得，PE QF=-9t14t-1+13t+1=-63t212t2+t-1=-63494-1t-122，由t1，得01t1，所以-2140,b0)的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2(1)求双曲线C的方程；(2)设过点 0,2的直线l与曲线C交于M,N两点，问在y轴上是否存在定点P，使得PM PN 为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存

18、在，说明理由【答案】(1)x2-y24=1；(2)答案见解析.【解析】(1)由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=bax，双曲线焦点F1-c,0，F2c,0.则F2c,0到渐近线y=bax，即bx-ay=0的距离为bca2+b2=b，所以b=2，又渐近线的斜率为2，即ba=2，所以a=1，所以双曲线C的方程为x2-y24=1.(2)由已知可得，直线l的斜率存在，设斜率为k，则l:y=kx+2.联立直线l的方程与双曲线的方程x2-y24=1y=kx+2 可得，k2-4x2+4kx+8=0，设M x1,y1，N x2,y2，P 0,m.当k2-4=0，即k=2时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，不满

19、足题意，所以k2-40，k2.=4k2-4 k2-48=-16 k2-80，解得-2 2 kb0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)7-3 54,0；(2)存在定点D(4,0)【解析】(1)a2=b2+c2,2b2a=a+c=3a=2,b=3,c=1椭圆C的标准方程为x24+y23=1，不妨取P 1,32,Q 1,-32,A(-2,0)，则AP=3 52,PF=32；因为APQ中，AP=AQ，所以

20、APQ的内心在x轴，设直线PT平分APQ，交x轴于T，则T为APQ的内心，且ATTF=APPF=5=AT3-AT，所以AT=3 55+1，则T7-3 54,0；(2)椭圆和弦PQ均关于x轴上下对称若存在定点D，则点D必在x轴上设D(t,0)当直线l斜率存在时，设方程为y=k(x-t),M x1,y1,N x2,y2，直线方程与椭圆方程联立y=k(x-t)x24+y23=1，消去y得 4k2+3x2-8k2tx+4 k2t2-3=0，则=48 k2+3-k2t20,x1+x2=8k2t4k2+3,x1x2=4 k2t2-34k2+3点R的横坐标为1，M、R、N、D均在直线l上，MR ND=MD

21、RN 1+k21-x1t-x2=1+k2t-x1x2-152t-(1+t)x1+x2+2x1x2=02t-(1+t)8k2t4k2+3+24 k2t2-34k2+3=0，整理得t=4，因为点D在椭圆外，则直线l的斜率必存在存在定点D(4,0)满足题意【类型【类型2 2 向量的单共线问题】向量的单共线问题】1(2023吉林长春东北师大附中校考一模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M(0,m)点，若存在实数m，使得OA+3OB=4OM，求m的取值范围【答案】(1

22、)x24+y2=1；(2)12,1-1,-12【解析】(1)因为该椭圆的离心率为32，所以有ca=32c2a2=34a2-b2a2=34b2a2=141，在方程x2a2+y2b2=1中，令x=c，解得y2=b21-c2a2=b4a2y=b2a，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有b2a-b2a=1 2，由 1,2可得：a=2b=1，所以椭圆的方程为x24+y2=1；(2)当直线l不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线l存在斜率时，设为k，所以直线l的方程设为y=kx+m，于是有x24+y2=1y=kx+m 1+4k2x2+8kmx+4m2

23、-4=0，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有=64k2m2-4 1+4k24m2-40，化简，得4k2-m2+10，设A x1,y1,B x2,y2，于是有x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2，因为OA+3OB=4OM，所以 x1,y1+3 x2,y2=4 0,mx1+3x2=0 x1=-3x2，代入x1+x2=-8km1+4k2中，得-3x2+x2=-8km1+4k2x2=4km1+4k2，于是有-3x2x2=4m2-41+4k2-34km1+4k22=4m2-41+4k2，6化简，得k2=m2-14-16m2，代入4k2-m2+10中，得4m2-14-16m2

24、-m2+1014m2 O1O2=2，故圆心M的轨迹是以O1-1,0，O21,0为焦点，4为长轴长的椭圆，所以c=1，a=2，则b2=3，所以C的方程为x24+y23=1(2)设A x1,y1，B x2,y2，Q x0,y0，直线AB的方程为y=kx+t将y=kx+t代入x24+y23=1，整理得 3+4k2x2+8ktx+4t2-12=0，=8kt2-4 3+4k24t2-120，即4k2-t2+30，则x1+x2=-8kt3+4k2，x1x2=4t2-123+4k2，所以 x1-x2=x1+x22-4x1x2=64k2t2-4 3+4k24t2-123+4k2=48 3+4k2-t23+4k

25、2，故 AB=1+k2x1-x2=1+k248 3+4k2-t23+4k2又原点O到直线AB的距离为d=t1+k2，所以SAOB=12ABd=1+k22 3 3+4k2-t23+4k2t1+k2=2 3 3+4k2-t2t23+4k22 3 3+4k2-t2+t223+4k2=3，当且仅当3+4k2-t2=t2，即3+4k2=2t2(*)时，等号成立7由OQ=OA+OB，得x0=x1+x2,y0=y1+y2，代入x204+y203=1，整理得2x214+y213+2x224+y223+2x1x24+y1y23=1，即2+2+2x1x24+y1y23=1(*)而x1x24+y1y23=x1x24

26、+kx1+tkx2+t3=3+4k2x1x2+4kt x1+x2+4t212=3+4k24t2-123+4k2+4kt-8kt3+4k2+4t212=2t2-3+4k23+4k2，由(*)可知x1x24+y1y23=0，代入(*)式得2+2=1故2+2的值为1.3(2023江苏高三校联考阶段练习)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0的两条渐近线分别为l1:y=x2，l2:y=-x2.(1)求双曲线E的离心率；(2)O为坐标原点，过双曲线上一点P 2 2,1作直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且PB=2AP，求AOB的面积.【答案】(1)52；(2

27、)94【解析】(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1:y=x2，l2:y=-x2，所以ba=12，e=ca=a2+b2a=52，所以双曲线E的离心率为52；(2)由(1)得ba=12，则可设双曲线E:x24-y2=，因为P 2 2,1在双曲线上，所以=2-1=1，则双曲线E的方程为x24-y2=1，又点A，B分别在l1:y=x2与l2:y=-x2上，设A x1,x12，B x2,-x22，因为PB=2AP，所以 x2-2 2,-x22-1=2 2 2-x1,1-x12，8则x1=3+3 22，x2=3 2-3，又 OA=x21+x122=52x1=3 5+3 104，同理得 OB=52x2=3

28、10-3 52，设OA的倾斜角为，且tan=ba=12，则sinAOB=sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=2ba1+ba2=45，所以SAOB=12OAOBsinAOB=123 5+3 1043 10-3 5245=94.4(2023辽宁葫芦岛高三统考期末)已知圆C:x-2 32+y2=12，定点M-2 3,0，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P(1)证明：PC-PM为定值，并求出点P的轨迹C的方程；(2)若曲线C上一点Q，点A，B分别为l1:y=3x在第一象限上的点与l2:y=-3x在第四象限上的点，若AQ=QB，13,2，求AOB面积的取值

29、范围【答案】(1)证明见解析，x23-y29=1；(2)SAOB 3 3,4 3【解析】(1)证明：由题意，圆C的圆心 2 3,0，半径R=2 3，由点N与M关于PQ对称，则 PN=PM，PC-PM=PC-PN=CN=2 3，且 PC-PM=2 3 0,b0，2a=2 3，a=3，c=2 3，b2=c2-a2=9，所以双曲线C方程为x23-y29=1.(2)由题意知，l1，l2分别为双曲线C:x23-y29=1的渐近线,设A x1,3x1，B x2,-3x2x1,x20，由AP=PB，设P xP,yPxQ-x1=x2-xQ，yP-3x1=-3x2-yPxP=x1+x21+，yP=3 x1-x2

30、1+,由于P点在双曲线上，x1+x223 1+2-x1-x223 1+2=1，4x1x2=3 1+2，x1x2=3 1+24,又 OA=x21+3x21=2x1，同理 OB=2x2，设OA的倾斜角为3，则sinAOB=sin23=32SAOB=12OA OBsinAOB=124x1x232=3x1x2=3 34+1+2,函数y=+1，13,2，在13,1上单调递减，在 1,2上单调递增，9当=1时，SAOBmin=3 341+11+2=3 3；当=13时，SAOBmax=3 3413+3+2=4 3；SAOB 3 3,4 3【类型【类型3 3 向量的双共线问题】向量的双共线问题】1(2023全

31、国高三专题练习)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点Q 1,-22，且离心率e=22，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2OC=OM+OD,2OD=ON+OC？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】(1)x22+y2=1；(2)存在，直线l的方程为y=22x55或y=-22x55【解析】(1)由题意得e=ca=22，且椭圆过点Q 1,-22，所以1a2+12b2=1，同时a2=b2+c2，联立解得：a2=2，b2=c2=1，所以椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)若存在直

32、线l,设M x1,y1,N x2,y2,C m,0,D 0,n，由2OC=OM+OD,2OD=ON+OC 得:2 m,0=(x1,y1)+0,n2 0,n=(x2,y2)+m,0，解得M 2m,-n,N-m,2n，M，N两点在椭圆上，所以4m22+n2=1m22+4n2=1，解得：m=105n=55，故存在直线l.由直线方程过M，N两点可得，此时直线方程为：y=22x55或y=-22x552(2023上云南昆明高三统考期中)已知动点P到定点F 0,4的距离和它到直线y=1距离之比为2；(1)求点P的轨迹C的方程；(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD

33、的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PM=PN，MQ=QN 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y24-x212=1；(2)存在，y=2 2【解析】(1)设P x,y，由动点P到定点F 0,4的距离和它到直线y=1距离之比为2，10可得x2+y-42y-1=2，化简得3y2-x2=12，即y24-x212=1，故点P的轨迹C的方程为y24-x212=1；(2)设l的方程为y=2m m1，则D 0,2m，故M 0,m，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m k0，故Nmk,2m.与双曲线方程联立得：3k2

34、-1x2+6kmx+3m2-12=0，由y24-x212=1对应渐近线方程为：y=33x，易判断3k21，0得=12 12k2+m2-40，设P x1,y1，Q x2,y2，则x1+x2=-6km3k2-1，x1x2=3m2-123k2-1，由PM=PN，MQ=QN 得：PM=-x1,m-y1,PN=mk-x1,2m-y1，MQ=x2,y2-m,QN=mk-x2,2m-y2，即x1=x1-mk，x2=mk-x2，消去得：x2x1-mk=x1mk-x2，即2x1x2-mkx1+x2=0由得：6 m2-43k2-1+mk6km3k2-1=0，化简得m2-2=0，由已知m=2，故存在定直线l：y=2

35、 2 满足条件.3(2023贵州贵阳高三校联考阶段练习)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1 ab0的离心率为13，上焦点F到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，与定直线l1：y=9交于点D，设DP=PF，DQ=QF，证明：+为定值.【答案】(1)y29+x28=1；(2)证明见解析.【解析】(1)令椭圆C：y2a2+x2b2=1 ab0半焦距为c，则a=3ca-c=2a2=b2+c2，解得a=3c=1b=2 2 所以椭圆C的标准方程是y29+x28=1.(2)由(1)知，F 0,1，当直线l的斜率不存在时，直线l：x=0，不妨令P(0,3),Q

36、(0,-3)，而D(0,9)，则DP=3PF，DQ=-3QF，此时+=3+-3=0；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+1 k0，11由y=kx+1y29+x28=1 消去y得：8k2+9x2+16kx-64=0，易知0，设P x1,y1，Q x2,y2，D x0,9，则x1+x2=-16k8k2+9，x1x2=-648k2+9，y1+y2=k x1+x2+2=k-16k8k2+9+2=188k2+9，y1y2=kx1+1kx2+1=k2x1x2+k x1+x2+1=k2-648k2+9+k-16k8k2+9+1=9-72k28k2+9，由DP=PF，得 x1-x0,y1-9=-x1,1

37、-y1，则=y1-91-y1y11，同理由DQ=QF，得=y2-91-y2y21，则+=y1-91-y1+y2-91-y2=10 y1+y2-2y1y2-18y1y2-y1+y2+1=10188k2+9-29-72k28k2+9-189-72k28k2+9-188k2+9+1=0，所以+为定值0.4(2023河北模拟预测)已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，圆D:x-12+y-22=4恰与C的准线相切.(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；(2)O为坐标原点，过点M 0,1的直线l与C相交于A，B两点，直线AD，BD分别与y轴相交于点P，Q，MP=mMO，MQ=nMO，求证：

38、mnm+n为定值.【答案】(1)y2=4x；4；(2)证明见解析【解析】(1)由题意得抛物线C的焦点坐标为Fp2,0，准线方程为l:x=-p2，圆D:x-12+y-22=4的圆心为D(1,2)，半径为r=2，由圆D:x-12+y-22=4恰与C的准线相切得1-p2=2，故p=2，故C方程为y2=4x，F(1,0)，故点F与圆D上点的距离的最大值为|DF|+r=1-12+2-02+2=4；(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，设过点M 0,1的直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2)，y21=4x1，y22=4x2，联立y2=4xy=kx+1，整理得k2x2+2k-4x+

39、1=0，则=2k-42-4k20且k0，即kb0的面积为2 3，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点 1,0的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线x=4交于点F，试证明B，Q，F三点共线.【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析【解析】(1)依题意有ab=2 3a=2ca2=b2+c2，解得a=2b=3，所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在，易知A 1,32，B 1,-32，或A 1,-32，B 1,32，当A 1,32，B 1,-32时，直线PA的方程为：y=

40、12x+2，所以点F 4,3，此时，QB=-1,-32，QF=2,3，显然B，Q，F三点共线，公众号：慧博高中数学最新试题同理A 1,-32，B 1,32时，B，Q，F三点共线；(ii)当直线l的斜率存在时，显然斜率k0，设直线l的方程：y=k x-1，设A x1,y1，B x2,y2，由y=k x-13x2+4y2=12 整理可得：3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，由(1)可得左右顶点分别为P-2,0，Q 2,0，13直线PA的方程为y=y1x1+2x+2，又因为直线PA与x=4交于F，所以F 4,6y1x1+2，所以

41、QB=x2-2,y2，QF=2,6y1x1+2，因为 x2-26y1x1+2-2y2=6y1x2-2-2y2x1+2x1+2=6k x1-1x2-2-2k x2-1x1+2x1+2=2k2x1x2-5 x1+x2+8x1+2，又2x1x2-5 x1+x2+8=24k2-123+4k2-58k23+4k2+8=8k2-24-40k2+24+32k23+4k2=0，所以 x2-26y1x1+2-2y2=0，所以QB QF，所以B，Q，F三点共线；2(2023陕西西安统考一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为63，右焦点F2c,0与抛物线y2=8x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程

42、；(2)设椭圆C的左焦点为F1，过点D-3,0的直线l与椭圆C交于A,B两点，A关于x轴对称的点为M，证明：M,F1,B三点共线.【答案】(1)x26+y22=1；(2)证明见解析【解析】(1)椭圆C的右焦点F2c,0与抛物线y2=8x的焦点重合，抛物线y2=8x的焦点为(2,0),c=2,又ca=63，a=6,b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x26+y22=1.(2)证明：由(1)知椭圆C的左焦点为F1-2,0，当直线l的斜率不存在时，其方程为：x=-3，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k x+3，A x1,y1，B x2,y2，则M x

43、1,-y1.联立y=k(x+3)x26+y22=1，消去y得 3k2+1x2+18k2x+27k2-6=0，=18k22-4 3k2+127k2-60，解得k20,b0)的一条渐近线的倾斜角为6,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点点M关于x轴的对称点为M,若M,F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点【答案】(1)x23-y2=1；(2)证明见解析【解析】(1)由题知设右焦点F的坐标为(c,0),双曲线C的渐近线方程为bxay=0,右焦点F到其中一条渐近线的距离为bca2+b2=bcc=

44、b,可得b=1,又由ba=tan6，可得a=3b，有a=3,c=2,故双曲线C的标准方程为x23-y2=1;(2)证明:由(1)知,双曲线C的方程为C:x23-y2=1,右焦点F(2,0),因直线l与x轴不垂直且斜率不为0,设直线l与x轴交于点(t,0),直线l的方程为y=k(x-t)(k0),设M x1,y1,N x2,y2,则Mx1,-y1,由y=k x-tx23-y2=1 消去y并整理得 1-3k2x2+6tk2x-3k2t2+3=0,显然有1-3k20且=6tk22+4 1-3k23k2t2+30,化简得k213且 t2-3k2+10,则x1+x2=-6tk21-3k2,x1x2=-3

45、k2t2+31-3k2,FM=x1-2,-y1,FN=x2-2,y2,而M,F,N三点共线,即FM FN,则-y1x2-2=y2x1-2,因此-k x1-tx2-2=k x2-tx1-2,又k0,有 x1-tx2-2+x2-tx1-2=0,整理得2x1x2-(t+2)x1+x2+4t=0,15于是得 2-3k2t2+31-3k2-(t+2)-6tk21-3k2+4t=0，化简得t=32,即直线l:y=k x-32,k0过定点32,0,所以直线l经过x轴上的一个定点32,04(2022全国高三课时练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B

46、，F1F2=2，AB=4.(1)求椭圆C的方程.(2)过F2的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线MB与直线x=4交于G点，证明：A，N，G三点共线.【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由 F1F2=2c=2，即c=1，又 AB=2a=4，即a=2.b2=a2-c2=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明：可设直线MN的方程为x=my+1，M x1,y1，N x2,y2，联立方程x=my+1x24+y23=1，得 3m2+4y2+6my-9=0且=144(m2+1)0，y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，而直线MB的

47、方程为y=y1x1-2(x-2)，令x=4，得G 4,2y1x1-2，则有AN=x2+2,y2，AG=6,2y1x1-2，又6y2-x2+22y1x1-2=6y2my1-1-2y1my2+3my1-1=4my1y2-6 y1+y2my1-1=4m-93m2+4-6-6m3m2+4my1-1=0，AN AG，而ANAG=A，A，N，G三点共线.【类型【类型5 5 向量长度关系转化为向量关系】向量长度关系转化为向量关系】1(2023上云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知动圆过点F12,0，且与直线x+12=0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C；过点F的直线与曲线C交于A，B两点，曲线C在A，B两点处

48、的切线交于点E.(1)证明：EFAB；(2)设 AF=FB，当13,12时，求ABE的面积S的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)27 232【解析】(1)由题意得，圆心到点F的距离和直线x+12=0的距离相等，由抛物线的定义知，曲线C的轨迹为抛物线，16由焦点F12,0和准线方程x+12=0，可得方程为y2=2x，设l的方程为x=my+12，代入y2=2x，得y2-2my-1=0，设Ay212,y1，By222,y2，则y1+y2=2m，y1y2=-1切线AE方程为：y1y=x+y212，切线BE方程为y2y=x+y222，由得y2x+y212=y1x+y222，所以x=y21y2-y2

49、2y12 y1-y2=y1y22=-12，-，得 y1-y2y=12y21-y22，即y=y1+y22=m，所以E-12,m.当m=0时，显然有EFAB，当m0时，kEFkAB=m-0-12-121m=-1，所以EFAB，所以EFAB.(2)由题意得：AF=FB，得y1=-=-y2，结合得y2=2m1-，-2m1-2=-1，从而m2=(1-)24，因为 AB=1+m2y1-y2=1+m24m2+4=2 1+m2，EF=1+m2，所以SABE=12AB EF=1+m23.设y=m2=14+1-2，y=m2=141-12，当13,12时，yb0过点M2,1，且左焦点为F1-2,0(1)求椭圆E的方

50、程；(2)ABC内接于椭圆E，过点P 4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足 AP QD=AQ PD，证明：PBC面积为定值，并求出该定值【答案】(1)x24+y22=1；(2)证明见解析，定值为14 79【解析】(1)由题意得c2=22a2+1b2=1c2=a2-b2，解得a2=4，b2=2所以椭圆C的方程为x24+y22=1(2)设点Q,A,D的坐标分别为 x,y，x1,y1，x2,y2由题设知 AP，PD，AQ，QD 均不为零，记=AP PD=AQ QD，则0且117又A,P,D,Q四点共线，从而AP=-PD，AQ=QD 于是4=x1-x21-，1=y1-y