黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次调研考试（11月期中）数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司哈师大附中哈师大附中 2021 级高三第三次调研考试数学试题级高三第三次调研考试数学试题（满分（满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）一、选择题（共分钟）一、选择题（共 8 个小题，每题只有一个选项，每题个小题，每题只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1.已知复数2 iz，则iz z 虚部为（）A.2B.1C.6D.22.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（）A.sin1yxB.1yxC.31,2yx x D.yx x 3.设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若

2、/，a，b，则/a bB./a b，ac则bcC.若，a，b，则abrrD.若a，/b a，则/b4.在数列 na中，若11a，22a，21nnnaaa，则2024a（）A.1B.2C.2D.15.已知向量a，b的夹角为3，且1a，2b，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.bB.12bC.13brD.14b6.已知两个非零向量a与b，定义sina bab，其中为a与b的夹角，若(2,3)a ，(1,1)b，则a b的值为（）A.5B.7C.2D.267.已知正项等比数列 na中，320224a a，则212222024logloglogaaa（）A.1012B.2024C.10122D.20

3、2428.如图正方体的棱长为 1，A，B 分别为所在棱的中点，则四棱锥SABCD的外接球的表面积为（）的第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.16B.32C.4116D.414二、多选题（共二、多选题（共 4 个小题，每题不只有一个选项，每题个小题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）9.已知向量1,1a，2,bn，则下列说法正确是（）A.若1n，则13abB.若/a b，则2n C.“2n ”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件D.若aba，则0n 10.已知nS是等差数列 na的前 n 项和，且70a，5100aa，则下列选项正确的是（）A.数列 na

4、为递减数列B.80a C.nS的最大值为7SD.140S11.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式222222142cabSc a（其中 a、b、c、S 为三角形的三边和面积）表示在ABC中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，若3b，且13coscossin3sinBCCB，则下列命题正确的是（）A.ABC面积的最大值是934B.3caC.3bcD.ABC面积的最大值是312.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M 为BC边的中点，下列结论

5、正确的有（）A.AM与11D B所成角的余弦值为1010的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司B.过三点 A、M、1D的截面面积为112C.四面体11AC BD的内切球的表面积为3D.E 是1CC边的中点，F 是AB边的中点，过 E、M、F 三点的截面是六边形三、填空题（共三、填空题（共 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.函数()tan()6f xx的定义域为_.14.(2,1)a ，5b，且10aba，则a，b夹角为_15.在三棱锥OABC中，60AOBBOCAOC ，则直线OA与平面BOC所成角的正弦值为_.16.若 na是公差不为 0 的

6、等差数列，2a，4a，8a成等比数列，11a，nS为 na的前 n（Nn）项和，则12101113412SSS的值为_四、解答题（共四、解答题（共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 18 至第至第 22 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分）17.在ABC中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2 sin2sin2sinaAbcBcbC（1）求 A 的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求coscosBC的取值范围18.已知数列 na中，13a，12N12,nnanna（1）求证：数列11na是等差数列，并求出 na的通项公式；（2）设213nnnbna，求数列

7、 nb的前 n 项和nT19.na，nb是正项等比数列且3nnnba，且221210aa，（1）求 na的通项公式；（2）设100nnca，求数列 nc的前 n 项和nT20.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，AMPB，PDBD，M 为BC的中点，2AD，1DC.的第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：PD 底面ABCD（2）若1PD，求二面角AMPB的正弦值21.已知双曲线 C：22221xyab,0a b 过点2 2,2，右焦点 F2 2 0，左顶点为 A（1）求双曲线 C 的方程（2）动直线12yxt交双曲线 C 于 M，N 两点，求证：AMN的垂心在双曲线 C

8、上22.已知0a，函数 2ln12f xxx xax（1）当0a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程：（2）证明 f x存在唯一极值点（3）若存在 a，使得 f xab 对任意,()0 x成立，求实数 b 的取值范围为的第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司哈师大附中哈师大附中 2021 级高三第三次调研考试级高三第三次调研考试数学试题数学试题（满分（满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟）一、选择题（共一、选择题（共 8 个小题，每题只有一个选项，每题个小题，每题只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1.已知复数2 iz，则iz

9、z 的虚部为（）A.2B.1C.6D.2【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数的概念可得z，根据复数的乘法运算求出iz z，即可得答案.【详解】复数2 iz，则2iz 则(2i)(2ii)=42iiz z，则iz z 的虚部为-2，故选：A2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（）A.sin1yxB.1yxC.31,2yx x D.yx x【答案】D【解析】【分析】利用定义域关于原点对称，fx与 f x关系，判断函数的奇偶性.【详解】A 选项：令 sin1Rf xxx，则sin1sin1fxxx ，f x不具有奇偶性，所以不符合题意；B 选项：令 10f xxx，则1fxx，fxf

10、 x，所以函数 f x为奇函数，但在定义域内不具有单调性，所以不符合题意；C 选项：令 31,2f xx x ，因为1,2x 定义域不关于坐标原点对称，所以 f x不具有奇偶性，所以不符合题意；第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司D 选项：令 Rf xx x x，fxxxx x ，即 fxf x，所以函数 f x为奇函数，又 22,0,0 xxf xxx，所以0 x 时，f x单调递减，0 x 时，f x单调递减，满足题意.故选：D3.设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若/，a，b，则/a bB./a b，ac则bcC.若，a，b，则abr

11、rD.若a，/b a，则/b【答案】B【解析】【分析】利用长方体模型，举例说明排除 ACD，B 结合异面直线所成角即可判断.【详解】在长方体1111ABCDABC D，令平面ABCD是平面，第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司对于 A，若平面1111DCBA为平面，直线BC为直线a，直线11AB为直线b，显然/，a，b，此时直线,a b是异面直线，,a b不平行，故 A 错误；对 B，/a b，ac，则直线a与直线c的夹角为2，由异面直线所成角的定义知直线b与直线c的夹角也为2，故bc，B 正确；对于 C，若平面11CDDC为平面，直线AB为直线a，直线DC为直线b，显然，a，b

12、，此时直线,a b平行，,a b不垂直，故 C 错误；对于 D，若平面11CDDC为平面，则DC，直线DC为直线a，直线AB为直线b，显然/ab，但b，此时直线b不与平面平行，故 D 错误；故选：B.4.在数列 na中，若11a，22a，21nnnaaa，则2024a（）A.1B.2C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据数列递推式求出数列的前面一些项，推出数列的周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知数列 na中，若11a，22a，21nnnaaa，故3211aaa，4321aaa=-=-，5432aaa，6541aaa，7658761,2aaaaaa，则 na为周期为 6 的周期数列，故

13、2024337 6 222aaa，第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故选：C5.已知向量a，b的夹角为3，且1a，2b，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.bB.12bC.13brD.14b【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求得向量a在向量b上的投影向量为14b.【详解】易知cos13a ba b ，由投影向量的定义可得向量a在向量b上的投影向量为12 241a bbbbbb.故选：D.6.已知两个非零向量a与b，定义sina bab，其中为a与b的夹角，若(2,3)a ，(1,1)b，则a b的值为（）A.5B.7C.2D.26【答案】A【解析】【分析】先利用

14、平面向量夹角余弦的坐标表示求得cos，从而求得sin，进而利用定义即可得解.【详解】因为(2,3)a ，(1,1)b，则|,|ab132，2 1 3 11a b ，则,c s|o|a ba bab1113226 ，又0,，则sincos215112626，则|ab5132526故选：A7.已知正项等比数列 na中，320224a a，则212222024logloglogaaa（）A.1012B.2024C.10122D.20242.第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合对数的运算，即可求得答案.【详解】由题意知正项等比数列 na中

15、，320224a a，则1120131202420230124a aa aaa，故10122122220242122024232022logloglogloglogaaaa aaa a1012202422loglo42g4202，故选：B8.如图正方体棱长为 1，A，B 分别为所在棱的中点，则四棱锥SABCD的外接球的表面积为（）A.16B.32C.4116D.414【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为(,)x y z，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案.【详解】以 C 为坐标原点，以,CD CS所在直线为,x z轴，以与,CD CS垂

16、直的棱为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,1,)(0 1,)(0 0 1)(0 0),1,2,2CABSD,设四棱锥SABCD的外接球球心为(,)x y z，半径为 R，的第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则22222222222222222211111221112xyzxyzxyzxyzxyzxyz，解得123812xyz，即外接球球心为1 3 1(,)2 8 2，2223141()8281()2R，验证222131411()2828OD，符合题意，即四棱锥SABCD的外接球418R，其表面积为24141446416R，故选：C二、多选题（共二

17、、多选题（共 4 个小题，每题不只有一个选项，每题个小题，每题不只有一个选项，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）9.已知向量1,1a，2,bn，则下列说法正确的是（）A.若1n，则13abB.若/a b，则2n C.“2n ”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件D.若aba，则0n【答案】ABD【解析】【分析】由向量的坐标表示可求得13ab，A 正确；由向量平行的坐标表示可得 B 正确；利用向量数量积的坐标运算可知“2n ”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 错误；由向量垂直的坐标表示可求得0n，D 正确.【详解】对于 A，由1n 可得3,2ab，所以可得223213ab，即

18、A 正确；对于 B，由向量平行的坐标表示可得120n，解得2n，可知 B 正确；第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司对于 C，若2n 可得20a bn r r，即a与b的夹角为90180，当2n 时，2ba 可得a与b反向，充分性不成立；若a与b的夹角为钝角可得20a bn r r且2n，解得2n 且2n，即必要性成立，所以“2n ”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 不正确；对于 D，由aba可得0aba，即1 110n ，解得0n，故 D 正确；故选：ABD10.已知nS是等差数列 na的前 n 项和，且70a，5100aa，则下列选项正确的是（）A.数列 na为递

19、减数列B.80a C.nS的最大值为7SD.140S【答案】ABC【解析】【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断 B；判断出数列的公差小于 0，可判断 A；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断 C；利用前 n 项和公式结合等差数列性质判断 D.【详解】设等差数列 na的公差为 d，由于70a，5100aa，故571080aaaa，则80a，B 正确；870daa，则数列 na为递减数列，A 正确，由以上分析可知127,0a aa，8n 时，0na，故nS的最大值为7S，C 正确；5101141414()14()202Saaaa，D 错误，故选：ABC11.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“

20、三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式222222142cabSc a（其中 a、b、c、S 为三角形的三边和面积）表示在ABC中，a、b、第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司c 分别为角 A、B、C 所对的边，若3b，且13coscossin3sinBCCB，则下列命题正确的是（）A.ABC面积的最大值是934B.3caC.3bcD.ABC面积的最大值是3【答案】AB【解析】【分析】化简13coscossin3sinBCCB，利用两角和的正弦公式可得sin3sinCA，结合正弦定理角化

21、边可判断 B；利用222222142cabSc a结合 B 的结论化简并结合二次函数性质可得ABC面积的最大值，判断 A，D；假设3bc正确，结合面积公式推出矛盾，判断 C.【详解】由题意13coscossin3sinBCCB，得sin3cossin3sincosCBCBC，即sin3(sincoscossin)3sin()CBCBCBC,即sin3sinCA，结合正弦定理得3ca，B 正确；由222222142cabSc a得2224139322aaSa222442214911243347281922424aaaaa，当29a，即3a 时，ABC面积取到最大值是12439 3244，A 正确

22、，D 错误，对于 C，假设3bc，由于3b，3ca，故3,1ca，则22222223 1 9133 1()2024cabc a ，这与三角形面积222222142cabSc a有意义不相符，C 错误，故选：AB第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司12.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M 为BC边的中点，下列结论正确的有（）A.AM与11D B所成角的余弦值为1010B.过三点 A、M、1D的截面面积为112C.四面体11AC BD的内切球的表面积为3D.E 是1CC边的中点，F 是AB边的中点，过 E、M、F 三点的截面是六边形【答案】AD【解析】【分析】对于

23、 A，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于 B，作出过三点 A、M、1D的截面，即可求其面积；对于 C，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于 D，利用几何作图，作出过 E、M、F 三点的截面，即可判断.【详解】对于 A，以1A为坐标原点，以11111,AD AB A A所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，11(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)AMBD，则111 2 02 2 0,BADM ,则111111210cos,10|5 2|2D BD BAMD BAMAM ，AM与11D B所成角的范围为(0,2，故AM与11D B所成角的

24、余弦值为1010，A 正确；对于 B，设 N 为1CC的中点，连接 MN，则11MNBCAD，且111122MNBCAD，则梯形1AMND即为过三点 A、M、1D的截面，第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 112,2 2,5MNADAMD N，则梯形高为22 223 2(5)()22，故梯形面积为为13 293 2222S，B 错误；对于 C，如图，四面体11AC BD的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即33118242323V ，该四面体的棱长为2 2，其表面积为142 22 2sin8 323S，设四面体内球球半径为 r，则1838 3,333rr，故四面

25、体11AC BD的内切球的表面积为2443r，C 错误；对于 D，如图，延长 ME 和11BC的延长线交于 J，则MCE1JC E，则1JCMC，设 H 为11AD的中点，则11JCD H，第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司连接 HJ，则1JC G1HDG，则11C GDG，故 G 为11DC的中点，故11HGACACFM，同理延长,MF DA交于 L，连接 LH，交1AA于 K，K 即为1AA的中点，则 K，E 在,FM HG确定的平面内，则六边形FMEGHK即过 E、M、F 三点的截面，是六边形，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面

26、、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.三、填空题（共三、填空题（共 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13.函数()tan()6f xx的定义域为_.【答案】2|+3x xkkZ，【解析】【分析】根据函数有意义列不等式，求函数()tan()6f xx的定义域.【详解】()tan()6f xx有意义，62xk，Zk，23xk,Zk，函数()tan()6f xx的定义域为2|+3x xkkZ，故答案为：2|+3x xkkZ，14.(2,1)a ，5b，且10aba，则a，b的夹角为_【答

27、案】0#0【解析】【分析】求出向量(2,1)a 的模长，根据10aba求出a b 的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意知(2,1)a ，5b，且10aba，故22(2)15a，则210abaaa b，第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则5a b，故5cos,1|55a ba ba b ，由于,0,a b，故,0a b ，故答案为：015.在三棱锥OABC中，60AOBBOCAOC ，则直线OA与平面BOC所成角的正弦值为_.【答案】63#163【解析】【分析】构建正四面体模型，从而可求直线OA与平面BOC所成角的正弦值.【详解】如图，在射线OB上截取OBOA，

28、在射线OC截取OCOA，得到如下图所示的几何体.因为OAOB，3B OA，故B OA为等比三角形，故OAOBAB，同理OAOCAC，而3B OC，故OB C 为等比三角形，故OBOCB C，故几何体AB OC为正四面体.过A 作平面B OC的垂线，垂足为S，则S为OB C 的中心，连接OS，则AOS为OA与平面B OC（即平面BOC）所成的角，设2OAa，则232 32323aOSa，第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故2242 6433aASaa，故6sin3AOS.所以线OA与平面BOC所成角的正弦值为63.故答案为：63.16.若 na是公差不为 0 的等差数列，2a，

29、4a，8a成等比数列，11a，nS为 na的前 n（Nn）项和，则12101113412SSS的值为_【答案】65132【解析】【分析】设数列 na的公差为()d d 0，根据题意，求得1d，得到(1)2nn nS，进而化简得到1211(2)(1)(2)(1)(1)(2)nnSn nnn nnn，结合裂项法求和，即可求解.【详解】设数列 na的公差为()d d 0，因为248,a a a成等比数列，11a，可得2111(3)()(7)adad ad，即2(13)(1)(17)ddd，解得1d，所以1(1)1nann ，则(1)2nn nS，所以12(1)nSn n，则1211(2)(1)(2)

30、(1)(1)(2)nnSn nnn nnn，所以1210111()1111111 22 32 33 410 1111 1()(2)3412SSS11651 211 12132.故答案为：65132.四、解答题（共四、解答题（共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 18 至第至第 22 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分）17.在ABC中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2 sin2sin2sinaAbcBcbC第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）求 A 的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求coscosBC的取值范围【答案】（1）3A

31、 （2）3(,12【解析】【分析】（1）应用正弦定理的边角互化结合余弦定理即可求解;（2）设,BC33，(,)6 6，代入结合两角和与差余弦即可求解.【小问 1 详解】由2 sin2sin2sinaAbcBcbC，由正弦定理得2222abc bcb c，即222bcbca，则2221cos22bcaAbc，因为(0,)A，则3A【小问 2 详解】由（1）得23BC，设,BC33，因为,(0,)2B C，则(,)6 6，则coscoscos()cos()33BCcoscoscos(,32132，则coscosBC的取值范围是3(,12.18.已知数列 na中，13a，12N12,nnanna（1

32、）求证：数列11na是等差数列，并求出 na的通项公式；（2）设213nnnbna，求数列 nb前 n 项和nT的的第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；*21,N21nnann （2）13nnTn【解析】【分析】（1）由递推公式112nnaa可得111111nnaa，即可证明数列11na是等差数列，由等差数列定义即可求得*21,N21nnann；（2）由（1）可得21 3nnbn，利用错位相减法即可求得数列 nb的前 n 项和13nnTn.【小问 1 详解】当2n 时，由112nnaa可得1111111nnnnaaaa ，易知10na ；两边同时取倒数

33、可得111111 11111111nnnnnnaaaaaa，即111111nnaa，由等差数列定义可得11na是以11112a为首项，公差1d 的等差数列，所以211111212nnna，即2121nan，可得2121nnan，显然1n 时，13a 符合上式，即 na的通项公式为*21,N21nnann；【小问 2 详解】由（1）可得21321 3nnnnbnan，所以1213 35 3213213nnnTnn，23133 35 3213213nnnnTn，两式相减可得12313 32 32 32 32132nnnnT 第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司113 1 33221

34、 3231 3nnnnn ，所以13nnTn19.na，nb是正项等比数列且3nnnba，且221210aa，（1）求 na的通项公式；（2）设100nnca，求数列 nc的前 n 项和nT【答案】（1）13nna；（2）31100,6231100758,62nnnn nTnn.【解析】【分析】（1）利用3212bbbb，和221210aa建立方程组，求出113aq，写出通项公式即可；（2）表示出数列100nnca，在求数列 nc的前 n 项和nT时，进行分类讨论即可.【小问 1 详解】因为 na，nb是正项等比数列且3nnnba，所以3212bbbb，即32322123333aaaa，所以2

35、111192739a qa qaa q，又因为221210aa，所以21111222119273910a qa qaa qaa q，解得113aq，所以 na的通项公式为：1113nnnaa q.【小问 2 详解】结合题意:13100nna,得到6n，所以100,6100100,6nnnna ncaan，当6n 时，12312100100100nnnTccccaaa，第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司121331100100100100100132nnnnTaaann;当6n 时，12312567100100100100100100nnnTccccaaaaaa，1212510

36、01001002100100100nnTaaaaaa，13311002379100758132nnnTnn，综上所述：31100,6231100758,62nnnn nTnn.20.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，AMPB，PDBD，M 为BC的中点，2AD，1DC.（1）证明：PD 底面ABCD（2）若1PD，求二面角AMPB的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）7014【解析】【分析】（1）先证明AMBD，即可证明AM平面PBD，从而证明AMPD，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面 AMP 和平面 PBM 的法向量，根据空间角的向量

37、求法，结合同角的三角函数关系，即可求得答案.【小问 1 详解】设,AM BD交于 E，四棱锥PABCD的底面是矩形，2AD，1DC,第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司M 为BC的中点，则2ADABABBM，故Rt DABRt ABM，则ADBBAM,而2ADBABD，则2BAMABD，故2AEB，故AMBD，又AMPB，且,BDPBB BD PB平面PBD，故AM平面PBD，PD 平面PBD，故AMPD，又PDBD，,AMBDE AM BD平面ABCD，所以PD 底面ABCD；【小问 2 详解】以点 D 为坐标原点，以,DA DC DP所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐

38、标系，则2(2,0,0),(2,1,0),(,1,0),(0,0,1)2ABMP，则222(,1,0),(,1,1),(,0,0)222AMPMBM ，设平面PAM的一个法向量为(,)nx y z，则00n AMn PM ，即202202xyxyz，令1y，则(2,1,2)n，设平面PBM的一个法向量为(,)ma b c，则00m BMm PM ，即202202aabc，令1b，则(0,1,1)m，第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则33 14cos,14|72n mn mn m ，由于二面角AMPB的取值范围为0,，故其正弦值23 14701()1414.21.已知双曲线

39、C：22221xyab,0a b 过点2 2,2，右焦点 F 为2 2 0，左顶点为 A（1）求双曲线 C 的方程（2）动直线12yxt交双曲线 C 于 M，N 两点，求证：AMN的垂心在双曲线 C 上【答案】（1）22144xy （2）证明见解析【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）根据双曲线过点以及双曲线的焦点坐标，列方程求出2a，即可求得答案；（2）联立直线12yxt与双曲线 C 的方程，可得根与系数关系式，过点 A 作 MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为 H，结合根与系数的关系式化简ANMHkk，从而证明 H 为AMN的高线,AH MH的交点，即可证明结论.【小问 1 详解

40、】由题意知双曲线 C：22221xyab,0a b 过点2 2,2，右焦点 F 为2 2 0，故222 2,8cab，即228ba，则2221(2 2)48aa，解得24a，故双曲线 C 的方程为22144xy；【小问 2 详解】的第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司联立2212144yxtxy，得22344(4)0 xtxt，满足264(3)0t，设1122,M x yN xy,则2121244(4)3,3txxt x x，又(2,0)A，过点 A 作 MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为 H，则直线 AH 的方程为yx 24，由22424xyyx，可得2316200

41、 xx，解得2x （舍）或103x ，则10 8(,)3 3H，则112221221218118 13223 210201022333ANMHyyxtxtxtkkx xxxxx2121221122233344084236()2x xt xxtxtx xxxx2222222222(4)2348448414(4)84204844tttxttxtttxttx，故MHAN，即 H 为AMN的高线,AH MH的交点，即 H 为AMN的垂心，故AMN的垂心在双曲线 C 上.【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系中的证明问题，综合性强，难点在于证明AMN的垂心在双曲线 C 上，解

42、答时要通过证明 H 为AMN的高线,AH MH的交点来证第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司明，计算过程较为复杂，需要计算十分细心.22.已知0a，函数 2ln12f xxx xax（1）当0a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程：（2）证明 f x存在唯一的极值点（3）若存在 a，使得 f xab 对任意,()0 x成立，求实数 b 的取值范围【答案】（1）4230 xy （2）证明见解析；（3）1,2【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出其在 1,1f处的斜率，利用直线的点斜式方程即可求出结果；（2）令导函数 0ln1fxxxa，构造函数 1lng xxx

43、，求得其单调性可知当0a 时，导函数 fx有唯一变号零点，即可得出证明；（3）将 不 等 式 恒 成 立 问 题 转 化 成 求 f xa的 最 小 值 问 题，构 造 函 数 21ln1,0,2h xxxx，依题意可得 max12bh x，即可得出实数 b 的取值范围【小问 1 详解】当0a 时,可得 2ln12f xxx x，即 1lnfxxx，所以切线斜率为 12kf，又 112f，所以切线方程为1212yx，即4230 xy；【小问 2 详解】易知 l1nfxxxa，令 0fx可得1lnaxx，令 1,0,lng xxxx，则 1110 xgxxx 在0,上恒成立，即可得 g x在0,

44、单调递增，当x趋近于 0 时，g x趋近于，当x趋近于时，g x趋近于；其图象如下图所示：第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以当0a 时，ya与 g x的图像仅有一个交点，令0g xa，则当00,xx时，ag x，即 0ln1fxxxa，f x在00,x单调递减，当0,xx时，ag x，即 0ln1fxxxa，f x在0,x 单调递增，所以可知0 xx为 f x的极小值点，即 f x存在唯一的极值点；【小问 3 详解】由（2）可知 0minf xf x，此时001lnaxx，所以 f xa的最小值为22000000000001111ln1n2lnl2lnf xxxxxxxxxxxa ，令 21ln1,0,2h xxxx，则 211xh xxxx，当0,1x时，0h x，即 h x在0,1上单调递增，1,x时，0h x，即 h x在0,1上单调递减；所以 h x在1x 处取得极大值，也是最大值 max121h xh若存在 a，使得 f xab 对任意,()0 x成立，即存在 a 使得 f xba在(0,)成立，即 max12bh x，所以实数 b 的取值范围为1,2.【点睛】方法点睛：在求解函数不等式恒（能）成立问题时，往往根据题意通过构造函数并利用导数求出第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司函数单调性得出函数的最值，即可得出结论.