专题07 常见数列求和训练-【计算训练】2024年高考数学计算题型精练系列（新高考通用版）含答案.pdf

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1、数列求和的运算1等比数列 na的公比为 2，且234,2,a aa成等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)若21lognnnnbaaa，求数列 nb的前n项和nT.2正项数列 na的前 n 项和为nS，已知221nnna Sa(1)求证：数列 2nS为等差数列，并求出nS，na；(2)若(1)nnnba，求数列 nb的前 2023 项和2023T3已知数列 na为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4.即先取11a，接着复制该项粘贴在后面作为2a，并添加后继数 2 作为3a；再复制所有项 1，1，2 并粘贴在后面作为4a，5a，6a，并添加后继数 3 作为7a，依

2、次继续下去.记nb表示数列 na中n首次出现时对应的项数.(1)求数列 nb的通项公式；(2)求12363aaaa.4已知等差数列 na的前n项和为55,5,15nSaS，(1)求数列 na的通项公式；(2)若11nnnba a，求数列 nb的前2023项和.5已知 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列 nb满足114,321nnbbbn.(1)证明nbn是等比数列，并求 ,nnab的通项公式；(2)若数列 na与 nb中有公共项，即存在*,Nk m，使得kmab成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 nc，求12nccc.6设数列 na的前 n 项和为nS

3、，已知*12NnnSan(1)求 na的通项公式；(2)设,21,2nna nkbn nk且*Nk，求数列 nb的前 n 项和为nT专题07 常见数列求和训练-【计算训练】2024年高考数学计算题型精练系列（新高考通用版）7已知数列 na满足：12a，且对任意的*nN，11,222,.nnnnnanaan是奇数是偶数(1)求2a，3a的值，并证明数列2123na是等比数列；(2)设21N*nnban，求数列 nb的前n项和nT.8已知正项数列 na的前n项和为nT，12a 且对任意2n，11,nnnna T a a T成等差数列，又正项等比数列 nb的前n项和为nS，23413,39SS.(1

4、)求数列 na和 nb的通项公式；(2)若数列 nc满足2nnncTb，是否存在正整数n，使129nccc.若存在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由.9已知各项均为正数的等比数列 na，其前n项和为nS，满足226nnSa，(1)求数列 na的通项公式；(2)记mb为数列 nS在区间2,mmaa中最大的项，求数列 nb的前n项和nT10已知等差数列 na的公差0d，且满足11a，1a，2a，4a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足22,1,nannnnbna a为奇数为偶数求数列 nb的前 2n 项的和2nT11设nS是数列 na的前 n 项和，已知30a，1(1

5、)2nnnnaS.(1)求1a，2a；(2)令12nnnbaa，求2462nbbbb.12已知 na是递增的等差数列，nb是等比数列，且11a，22ba，35ba，414ba(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)n N，数列 nc满足1122313nnncaccbbb，求 nc的前n项和nS13已知数列 na的前n项和为nS，且225nnSan(1)求数列 na的通项公式；(2)记21log2nnba，求数列11nnbb的前n项和nT14已知nS为数列 na的前 n 项和，11a，且2*,NnnnaSnn n(1)求数列 na的通项公式；(2)若122121nnnanaab，求数列 nb

6、的前 n 项和nT15已知函数 na的首项135a，且满足1321nnnaaa(1)求证11na为等比数列，并求na(2)对于实数x，x表示不超过x的最大整数，求123100123100aaaa的值16已知各项均为正数的数列na满足111,23nnaaa（正整数2)n(1)求证：数列3na 是等比数列；(2)求数列na的前 n 项和nS.17已知在数列 na中，112a，且1na是公差为 1 的等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设1nnnnabaa，数列 nb的前 n 项和为nT，求使得425mT 的最大整数 m 的值；(3)设12nnnnaca，求数列 nc的前 n 项和nQ18已

7、知数列 na各项都不为0，前n项和为nS，且32nnaS，数列 nb满足11b ，1nnbbn(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)令21nnna bcn，求数列 nc的前n项和为nT19已知等比数列 na的公比为 2，数列 nb满足12b，23b，12nnnnna bab(1)求 na和 nb的通项公式；(2)记nS为数列nnba的前 n 项和，证明：13nS20在数列 na中，11a ，*12362,Nnnaannn.(1)求证：数列3nan为等比数列，并求数列 na的通项公式；(2)设nnban，求数列 nb的前n项和nT.21记nS为数列 na的前n项和，已知11,2nnaa是公

8、差为 2 的等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)证明：4nS.22已知数列 na满足1224nnaan（n2，*nN），14a(1)求证：数列2nan为等比数列，并求 na的通项公式；(2)求数列1nna的前 n 项和nS23已知数列 na是公差为0d d 的等差数列，且满足111,2nnaaxa.(1)求 na的通项公式；(2)设14(1)nnnnnba a，求数列 nb的前 10 项和10S.24已知数列 na的前 n 项和为nS，且24nnSa(1)求 na的通项公式；(2)求数列nnS的前 n 项和nT25已知等比数列 na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(

9、1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足nnbn a，求 nb的前n项和nT.26已知数列 na中，11a，12nnnaa，*nN(1)求数列 na的通项公式；(2)设22log3nnban，数列1nb的前 n 项和nS，求证：34nS 27数列 na满足2113,2,21nbnnnnaaaaa.(1)求证：nb是等比数列；(2)若1nnncb，求 nc的前n项和为nT.28已知正数数列 na，11a，且满足2211102nnnnana anan(1)求数列 na的通项公式；(2)设1nnnba，求数列 nb的前n项和nS29已知数列 na、nb，满足1100a，21nnaa，lgnnba

10、.(1)求数列 nb的通项公式；(2)若22122logloglognnnncbbb，求数列1nc的前n项和nS.30已知数列 na中，11a，nS是数列 na的前n项和，数列2nnSa是公差为 1 的等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)证明：121112nSSS31已知在等差数列 na中，14724aaa，25815aaa(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列1nna的前 n 项和nT32记数列 na的前 n 项和为nS，已知11,21,2,nnnankaat nk*kN，317Sa，423aa(1)求1a，t；(2)求数列 na的通项公式；(3)求数列 na的前 n 项和nS3

11、3数列 na中，11a，且121nnaan(1)证明：数列nan为等比数列，并求出na；(2)记数列 nb的前 n 项和为nS若2nnnabS，求11S34已知数列 na满足13a，1121nnnaa a(1)记11nnba求数列 nb的通项公式；(2)求数列11nnb b的前n项和35已知等比数列 na的前n项和为nS，且12n，nS，a成等差数列(1)求a的值及数列 na的通项公式；(2)若21nnbna求数列 nb的前n项和nT36已知数列 na和 nb，12a，111nnba，12nnab.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)求数列nnb的前n项和nT.37等比数列 na的前

12、n 项和为nS，已知11a，且23331,aa S成等差数列(1)求 na的通项公式；(2)若12n na bna，数列 nb的前 n 项和nT38已知数列 na的前 n 项和为nS，0na，且满足241nnSa(1)求数列 na的通项公式；(2)设14nnnnSba a的前 n 项和为nT，求nT39已知数列na满足：1113,2nnnaaann.(1)证明：数列1nan是等比数列；(2)设nncan，求数列 nc的前n项和nT.40已知正项等差数列 na的前 n 项和为nS，其中24nnaa，2224(1)(1)Sa.(1)求数列 na的通项公式及nS；(2)若134nnnba，求数列 n

13、b的前 n 项和nT.数列求和的运算1等比数列 na的公比为 2，且234,2,a aa成等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)若21lognnnnbaaa，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)*2,Nnnan(2)nT21222;nnn【详解】（1）已知等比数列 na的公比为 2，且234,2,a aa成等差数列，32422aaa，1112 4228aaa,解得12a，1*2 22,N;nnnan（2）12122log222log 22212nnnnnnnbn，22 1 22 122222 121 2nnnTnnnn.21222;nnn2正项数列 na的前 n 项和为nS，已知

14、221nnna Sa(1)求证：数列 2nS为等差数列，并求出nS，na；(2)若(1)nnnba，求数列 nb的前 2023 项和2023T【答案】(1)nSn；1nann；(2)20232023T.【详解】（1）由221nnna Sa可得，221121SS，又因为nS为正项数列 na的前 n 项和，所以111Sa，因为1nnnaSS，所以21121nnnnnSSSSS，所以22112nnSSn，数列 2nS为等差数列，所以 2nSn，nSn，1112nnannn，所以1nann.（2）(1)(1)1nnnnbnna，20231213243202320222023T .3已知数列 na为：1

15、，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4.即先取11a，接着复制该项粘贴在后面作为2a，并添加后继数 2 作为3a；再复制所有项 1，1，2 并粘贴在后面作为4a，5a，6a，并添加后继数 3 作为7a，依次继续下去.记nb表示数列 na中n首次出现时对应的项数.(1)求数列 nb的通项公式；(2)求12363aaaa.【答案】(1)21nnb(2)120【详解】（1）由题意知：121nnbb，即112(1)nnbb，且112b ，所以数列1nb 是以112b 为首项，2为公比的等比数列，所以12nnb ，则21nnb.（2）由（1）可知，662163b ，所以6在前63项中出

16、现 1 次，5 在前63项中出现 2 次，4 在前63项中出现2 24 次，3 在前63项中出现4 28次，2 在前63项中出现8 216次，1 在前63项中出现16 232次，所以123631 322 163 84 45 26 1120aaaa .4已知等差数列 na的前n项和为55,5,15nSaS，(1)求数列 na的通项公式；(2)若11nnnba a，求数列 nb的前2023项和.【答案】(1)nan(2)20232024【详解】（1）设公差为d，由55a，515S，得11455 45152adad，解得11ad，所以nan.（2）由（1）可得1111111nnnba an nnn，

17、所以122320232024111a aa aaa1111112023112232023202420242024，故数列 nb的前2023项和为20232024.5已知 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列 nb满足114,321nnbbbn.(1)证明nbn是等比数列，并求 ,nnab的通项公式；(2)若数列 na与 nb中有公共项，即存在*,Nk m，使得kmab成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 nc，求12nccc.【答案】(1)证明见解析，*31Nnann，*3Nnnbn n(2)9 27131262nnn*Nn【详解】（1）由题意可得：*21

18、331Nnannn，而114,321nnbbbn，变形可得：111333,13nnnbnbnbnb，故nbn是首项为 3，公比为 3 的等比数列.从而3nnbn，即*3Nnnbn n.（2）由题意可得：313mkm，*,Nk m，令31mn*Nn，则3122313313 31nnknn ，此时满足条件，即2,5,8,31mn时为公共项，所以122531nncccbbb25319 271313332531262nnnnn*Nn.6设数列 na的前 n 项和为nS，已知*12NnnSan(1)求 na的通项公式；(2)设,21,2nna nkbn nk且*Nk，求数列 nb的前 n 项和为nT【答

19、案】(1)12nna(2)12221,234211,2134nnnn nnkTnnk，*Nk【详解】（1）当1n 时，11a，当2n 时，111212nnnnSaSa 12nnaa，所以 na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则12nna.（2）由题设知：12,21,2nnnkbn nk，*Nk，当n为偶数时，13124()()nnnTbbbbbb022(222)(24)nn21(2)34nn n；当n为奇数时，13241()()nnnTbbbbbb021(222)(241)nn1221134nn；综上，12221,234211,2134nnnn nnkTnnk，*Nk.7已知数列 na满

20、足：12a，且对任意的*nN，11,222,.nnnnnanaan是奇数是偶数(1)求2a，3a的值，并证明数列2123na是等比数列；(2)设21N*nnban，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)21a，310a，证明见解析(2)824193nnTn【详解】（1）1212aa，3322210aa.由题意得212121212212121288822244332333nnnnnnnnaaaaa，又128033a，所以数列2123na是等比数列.（2）由（1）知12182433nnnba.运用分组求和，可得0121828 1 42444+4333 1 43nnnTnn824193nn.8已

21、知正项数列 na的前n项和为nT，12a 且对任意2n，11,nnnna T a a T成等差数列，又正项等比数列 nb的前n项和为nS，23413,39SS.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)若数列 nc满足2nnncTb，是否存在正整数n，使129nccc.若存在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)21nann，nb 113n(2)不存在，理由见解析【详解】（1）设 nb的公比为q，显然1q，由23413,39SS，可得2131141311319bqqbqq，解得13q 或14q （舍去），又11b，所以nb 113n，又对任意2n，11,nnnna T a a

22、 T成等差数列，12a，所以14nnnna Ta T.因为12nnnaTTn，所以114nnnnTTTT，所以2214nnTT2n，故2nT是以214T 为首项，公差4d 的等差数列，所以24144nTnn，又0na，所以0nT，所以2nTn.当2n 时，1421nnnannTT，1n 时，12a 满足上式，故21nann.（2）12143nnnncTbn，设12nnKccc，0121114812333nK 1143nn，123111148123333nK 11141433nnnn，-，得122114444333nK 3111144333nnn 111341313nnn33 11422 33n

23、nn，所以11119969329333nnnnKnn，故不存在正整数n，使129nccc.9已知各项均为正数的等比数列 na，其前n项和为nS，满足226nnSa，(1)求数列 na的通项公式；(2)记mb为数列 nS在区间2,mmaa中最大的项，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)13 2nna；(2)222313nnTn.【详解】（1）设 na的公比为q，则0q，又226nnSa，当1n 时，1326Sa，当2n 时，2426Sa，两式相减可得，2432aaa，所以22qq，所以2q=或1q (舍去)，所以1312646Saa，即13a，所以等比数列 na的通项公式为13 2nna；（

24、2）由13 2nna，226nnSa，可得121163 263 2322nnnnSa，所以113nnnSaa，又0na，所以nnSa，当且仅当1n 时等号成立，所以122mmmmmaSSaS，所以113 23mmmbS，所以23413 22223nnTn2223332221231 2nnnn.即222313nnTn.10已知等差数列 na的公差0d，且满足11a，1a，2a，4a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足22,1,nannnnbna a为奇数为偶数求数列 nb的前 2n 项的和2nT【答案】(1)nan(2)21221534412nnTn【详解】（1）因为1

25、a，2a，4a成等比数列，所以2214aa a，即2(1)1(13)dd，解得0d 或1d 因为0d，所以1d，所以1 1(1)nann （2）由（1）得2,1,2nnnbnn n为奇数为偶数所以2,1 11,22nnnbnnn 为奇数为偶数，所以 21232121321242()()nnnnnTbbbbbbbbbbb13211111111(222)22446222nnn121222221 111 22 222nn，2121534412nn，所以数列 nb的前 2n 项的和21221534412nnTn11设nS是数列 na的前 n 项和，已知30a，1(1)2nnnnaS.(1)求1a，2a

26、；(2)令12nnnbaa，求2462nbbbb.【答案】(1)121,3aa(2)2122n【详解】（1）由1(1)2nnnnaS 得212,aa即212,aa23242aS，即1324aaa，又30a，所以121,3aa，（2）当2nk时，22122kkkaS，当21nk时，221212kkkaS，两式相加可得22121221222kkkkkkaSaS，得221212222kkkkaa，由于12nnnbaa，所以 32547462622212222nnnbbbbaaaaaaaa 21436522122222222nn 24621352122222222nn214 1 42 1 4221 4

27、1 4nnn12已知 na是递增的等差数列，nb是等比数列，且11a，22ba，35ba，414ba(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)n N，数列 nc满足1122313nnncaccbbb，求 nc的前n项和nS【答案】(1)21nan，13nnb(2)3nnS【详解】（1）解：由题意，设等差数列 na的公差为0d d，则221bad，3514bad，4141 13bad，因为数列 nb为等比数列，则2324bb b，即21411 13ddd，因为0d，解得2d，1112121naandnn.又因为223ba，359ba，所以，等比数列 nb的公比为323bqb，因此，2123nn

28、nbb q.（2）解：由1122313nnncaccbbb，可得12213cab，所以，13c，当2n 时，112233nnncaccbbb，得11233nnnncaab，所以，1122 323nnncbn，13c 不满足12 32nncn，所以，13,12 3,2nnncn.当1n 时，113Sc，当2n 时，11216 1 332333331 3nnnnS，13S 也满足32nnSn，综上所述，对任意的nN，3nnS.13已知数列 na的前n项和为nS，且225nnSan(1)求数列 na的通项公式；(2)记21log2nnba，求数列11nnbb的前n项和nT【答案】(1)122nna(

29、2)1nn【详解】（1）当1n 时，111225Saa，解得13a，当2n 时，112215nnSan可得112252215nnnnSSanan，整理得：122nnaa，从而12222nnaan，又121a，所以数列2na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列；所以1112222nnnaa，所以122nna，经检验，13a 满足122nna，综上，数列 na的通项公式为122nna；（2）由（1）得122nna，所以122nna，所以21log2nnban，1111111nnbbn nnn，所以1 22 33 411111nnnTbbb bb bb b11111111.1223341nn111

30、1nnn 14已知nS为数列 na的前 n 项和，11a，且2*,NnnnaSnn n(1)求数列 na的通项公式；(2)若122121nnnanaab，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】(1)21nan(2)21111321nnT【详解】（1）因为2nnnaSnn，所以211(1)(1)(1)(2)nnnaSnnn，两式相减得1(1)22nnnnanaan，化简得12(2)nnaan，所以数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以1(1)221nann（2）212121212121113 21212121nnnnnnb，所以12nnTbbb=+335212111111113

31、212121212121nn21111321n所以21111321nnT15已知函数 na的首项135a，且满足1321nnnaaa(1)求证11na为等比数列，并求na(2)对于实数x，x表示不超过x的最大整数，求123100123100aaaa的值【答案】(1)证明见解析，332nnna(2)5051【详解】（1）因为135a，1321nnnaaa，所以0na，所以12113nnnaaa2133na，所以1111113nnaa.又因为11213a，所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列，所以112112333nnna，所以1213nna，所以332nnna.（2）因为1213n

32、na，所以1210012310012310024200123100333aaaa 12100100100 11210023332.设1231001231003333T，所以234101112310033333T，所以2310010121111100333333T 100101100101111100111003311323313，所以100320344 3T，所以100123123100aaaa100100320320350505051.522 32 3.因为100203013，所以100203102 32，所以10020350515051.55051.52 3，所以1001231231005

33、051aaaa.16已知各项均为正数的数列na满足111,23nnaaa（正整数2)n(1)求证：数列3na 是等比数列；(2)求数列na的前 n 项和nS.【答案】(1)证明见解析(2)2234nnSn【详解】（1）证明：已知递推公式123nnaa，两边同时加上 3，得：13232nnaan，因为0,30nnaa，所以13223nnana，又1340a，所以数列3na 是以134a 为首项、以 2 为公比的等比数列.（2）由（1）113=4 22nnna，则1*23Nnnan，所以23112232323nnnSaaa 2312223nn24 1 232341 2nnnn.17已知在数列 na

34、中，112a，且1na是公差为 1 的等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设1nnnnabaa，数列 nb的前 n 项和为nT，求使得425mT 的最大整数 m 的值；(3)设12nnnnaca，求数列 nc的前 n 项和nQ【答案】(1)11nan(2)8(3)222nnnQ【详解】（1）由112a 可知112a，又1na是公差为 1 的等差数列，所以12(1)11nnna，故11nan（2）1111112112nnnnanbaannnn，121111111123341222nnTbbbnnnnn，则1142225mTmm，整理得210(2)99(2)100mm，解得18m，故满足条

35、件的最大整数 m 的值为 8（3）由题得122nnnnnanca，则2311111232222nnQn ，2311111112(1)22222nnnQnn ，两式相减得231111111111122222222nnnnnQnn ，所以2222222nnnnnnQ.18已知数列 na各项都不为0，前n项和为nS，且32nnaS，数列 nb满足11b ，1nnbbn(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)令21nnna bcn，求数列 nc的前n项和为nT【答案】(1)132nna;122nnnb;(2)138 342nnTn 【详解】（1）由32nnaS，可得11322nnaSn，两式相减得

36、1133nnnnnaaSSa，整理得132nnaa，因为数列 na各项都不为0，所以数列 na是以32为公比的等比数列令1n，则11132aSa，解得11a，故132nna由题知1nnbbn，所以 11232211nnnnnbbbbbbbbbb 2122122 1 122nnnnnn （2）由（1）得123212nn nnabcnn ，所以01112333102222nnnT c ccn ，1233331022222nnTn ，两式相减得 11331221333124 63222212nnnnTnn ，所以138 342nnTn 19已知等比数列 na的公比为 2，数列 nb满足12b，23b

37、，12nnnnna bab(1)求 na和 nb的通项公式；(2)记nS为数列nnba的前 n 项和，证明：13nS【答案】(1)2nna；1nbn(2)证明见解析【详解】（1）当1n 时，1 2112a bab，又122,3bb，解得12a 所以 na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故12 22nnna则1222nnnnnbb，即11nnbb所以 nb是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，故2111nbnn（2）由（1）可得2nna，1nbn，所以12nnnbna则2323412222nnnS，23411234122222nnnS，-可得1223111111221111113311

38、12222222212nnnnnnnnnS ，所以3332nnnS因为111432330222nnnnnnnnSS，所以 nS是递增数列则113312nSS，故13nS20在数列 na中，11a ，*12362,Nnnaannn.(1)求证：数列3nan为等比数列，并求数列 na的通项公式；(2)设nnban，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析；23nnan；(2)122(1)nn n【详解】（1）*12362,Nnnaannn，当2n 时，11111333263133332233nnnnnnanananannnana，数列3nan是首项为132a，公比为2的等比数列，32n

39、nan，23nnan；（2）2322nnnnnbanannn数列 nb的前n项和 12312.222426.22nnnTbbbn1212 1 22222.2246.222(1)1 22nnnnnnn n21记nS为数列 na的前n项和，已知11,2nnaa是公差为 2 的等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)证明：4nS.【答案】(1)12nnna(2)证明见解析【详解】（1）因为11a，所以122a，因为2nna是公差为 2 的等差数列，所以22212nnann，所以1222nnnnna.（2）01211232222nnnS，所以121112122222nnnnnS，-则21111111

40、22121222222212nnnnnnnnnS，所以12442nnnS.22已知数列 na满足1224nnaan（n2，*nN），14a(1)求证：数列2nan为等比数列，并求 na的通项公式；(2)求数列1nna的前 n 项和nS【答案】(1)证明见解析，22nnan(2)1122,3325,33nnnnnSnn为偶数为奇数【详解】（1）1224nnaan，112244221nnnananan，所以12221nnanan，又122a，2nan是首项为 2，公比为 2 的等比数列，22nnan，22nnan（2）1221nnnnan，12222212341nnnSn ，当 n 为偶数时，11

41、212222221234212123233nnnnnSnnnn 当 n 为奇数时，112122222123421121233nnnnSnnnnn 53n 综上1122,3325,33nnnnnSnn为偶数为奇数23已知数列 na是公差为0d d 的等差数列，且满足111,2nnaaxa.(1)求 na的通项公式；(2)设14(1)nnnnnba a，求数列 nb的前 10 项和10S.【答案】(1)21nan(2)2021【详解】（1）因为 na是公差为0d d 的等差数列，111,2nnaaxa，所以当1n 时，2122axax，当2n 时，23222222axax xxx，因为3221aa

42、aa，即21xxx，解得1x ，所以2d 或0d（舍去），所以12121nann；（2）由（1）得，14411(1)(1)(1)21212121nnnnnnnnba annnn .所以101111111120113355719212121S .24已知数列 na的前 n 项和为nS，且24nnSa(1)求 na的通项公式；(2)求数列nnS的前 n 项和nT【答案】(1)12nna(2)3(1)22(1)8nnTnn n【详解】（1）因为24nnSa，所以当2n 时，1124nnSa，两式相减，得1124(24)nnnnSSaa，整理得12nnaa，即2n 时，12nnaa，又当1n 时，11

43、124Saa，解得14a，所以数列 na是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以114 22nnna.（2）由（1）知122 2424nnnS，所以224nnnnnS，令22,4nnnbncn，易知，12(1)42(1)2nn ncccn n ，设数列 nb的前n项和为nK，则34521 22 23 22nnKn ，456321 22 23 22nnKn ，由-，得3456231 222222nnnKn ，即4133332(1 2)222281 2nnnnnKnn ，所以413332(1 2)22(1)281 2nnnnKnn，所以32(1)(1)22(1)8nnnTKn nnn n.25

44、已知等比数列 na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足nnbn a，求 nb的前n项和nT.【答案】(1)13nna；(2)21 314nnnT.【详解】（1）设数列 na的公比为0q q，则2314321113923a qqqa qa qa q，0q，解得113aq，所以13nna，即 na的通项公式为13nna；（2）由题可知13nnbn，则122101 32 33 3133nnnTnn ，311231 32 33 3133nnnTnn ，两式相减得：123121 33333nnnTn 1 2311 331 32nnnnn，2

45、1 314nnnT.26已知数列 na中，11a，12nnnaa，*nN(1)求数列 na的通项公式；(2)设22log3nnban，数列1nb的前 n 项和nS，求证：34nS【答案】(1)(1)22n nna(2)证明见解析【详解】（1）解：因为11a，*1()2nnnaanN，所以*12()nnnanaN，所以121121nnnnnaaaaaaaa(1)1 211212222 122n nnnn 当1n 时，11a 满足条件，所以(1)22n nna；（2）因为22log3nnban(2)n n，所以111 11()(2)2+2nbn nnn，所以111111=(1+)23242nSnn

46、11111 311(1)()22122 212nnnn，所以34nS .27数列 na满足2113,2,21nbnnnnaaaaa.(1)求证：nb是等比数列；(2)若1nnncb，求 nc的前n项和为nT.【答案】(1)证明见解析(2)22.2nnnTn【详解】（1）21221,log(1),log(3 1)2,nbnnnabab 212,nnnaaa2211211,nnnnaaaa 212log(1)2log(1),nnaa1212log(1)2,log(1)nnnnbaba所以数列 nb是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.（2）由（1）可得，2nnb，所以12nnnc，设,2nnnd

47、 设其前n项和为nS，则12311231,22222nnnnnS234111231,222222nnnnnS减得111312111221111121,12222222212nnnnnnnnnS 所以22,2nnnS所以22.2nnnnTSnn28已知正数数列 na，11a，且满足2211102nnnnana anan(1)求数列 na的通项公式；(2)设1nnnba，求数列 nb的前n项和nS【答案】(1)!nan(2)11!nSn【详解】（1）2211102nnnnana anan，1102nnnnanaaan，又0na，1nnana，即12nnan na又2311211 2 3!2nnna

48、aaaann naaa ，且111!a ，!nan（2）1!nnbn，10b，1112!1!nnbnnnn，1234nnSbbbbb111111111011!2!2!3!3!4!1!nnn 又111101!Sb，11!nSn.29已知数列 na、nb，满足1100a，21nnaa，lgnnba.(1)求数列 nb的通项公式；(2)若22122logloglognnnncbbb，求数列1nc的前n项和nS.【答案】(1)2nnb(2)231nnSn【详解】（1）解：因为21nnaa，11001a，则2211aa，2321aa，L，以此类推可知，对任意的nN，1na，所以21lglgnnaa，即1

49、lg2lgnnaa，12nnbb，又因为12b，所以 nb是首项为2，公比为2的等比数列，所以 nb的通项公式为12 22nnnb.（2）解：2lognbn，则 123112222nnnnn ncnnnn，所以，122 113131ncn nnn，故211111112121132233413131nnSnnnn.30已知数列 na中，11a，nS是数列 na的前n项和，数列2nnSa是公差为 1 的等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)证明：121112nSSS【答案】(1)nan(2)证明见解析【详解】（1）因为数列2nnSa是首项为 2，公差为1的等差数列，所以221 11nnSnn

50、a，则21nnSna，得112nnSna（2n），两式相减得：121nnnanana，则11nnanan，121121121121nnnnnaaannaanaaann（2n），又11a 适合上式，故nan另解：由121nnnanana得11nnaann（2n），故nan为常数列，则111naan，故nan（2）由（1）得12nn nS，所以1211211nSn nnn，则121111111112 1222 1222311nSSSnnn.31已知在等差数列 na中，14724aaa，25815aaa(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列1nna的前 n 项和nT【答案】(1)320nan(2