广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2023-2024学年高三上学期第三次联考数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024 届高三第三次六校联考试题届高三第三次六校联考试题数学数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合0,1,2A，集合2,0,1B ，则AB（）A.0,1B.2,0C.2,1,0D.0,1,22.若复数 z 满足34i1z，则z（）A.1B.15C.1

2、7D.1253.已知非零向量a、b满足2ba，且aab，则a与b夹角为（）A.3B.2C.23D.564.已知17tantan422，则cos2（）A.12B.12C.45D.455.已知函数 sin2f xx和直线 l：2yxa，那么“直线 l 与曲线 yf x相切”是“0a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知 a，b 为正实数，且21ab，则22121abab的最小值为（）A.12 2B.22 2C.32 2D.42 27.已知三棱锥SABC如图所示，AS、AB、AC两两垂直，且2 2ASABAC，点E、F分别是棱AS、BS的中点，点

3、G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体EFGABC的体积为（）的第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司A.11 26B.2 2C.13 26D.7 238.已知数列ka为有穷整数数列，具有性质 p：若对任意的1,2,3,4n，ka中存在ia，1ia，2ia，ija（1i，0j，i，Nj），使得12iiiijaaaan，则称ka为 4-连续可表数列.下面数列为 4-连续可表数列的是（）A.1,1,1B.1,1,2C.1,3,1D.2,3,6二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小

4、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A 9,2ak，,8bk，若/a brr，则6k B.若acbc 且0c，则abC.若点 G 是ABC的重心，则0GAGBGC D.若向量1,1a ，2,3b，则向量b在向量a上投影向量为2a10.已知函数22si1()scosconf xxxx的图象为C，以下说法中正确的是（）A.函数 f x的最大值为212B.图象C相邻两条对称轴的距离为2C.图象C关于,08中心对称D.要得到函数in22syx

5、的图象，只需将函数 f x的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移4个单位.的第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司11.若函数 f x的定义域为 D，若对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则称 f x为“型函数”，则下列说法正确的是（）A.函数 lnf xx是“型函数”B.函数 sinf xx是“型函数”C.若函数 f x是“型函数”，则函数 1f x也是“型函数”D.已知Rm，若 sinf xmx，,2 2x 是“型函数”，则12m 12.已知棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1AC上一动点，则下列判断正确的是（）A.存在点

6、P，使得11/C P ABB.三棱锥1PBC D的外接球半径最小值为63C.当 P 为1AC的中点时，过 P 与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面面积为3 34D.存在点 P，使得点 P 到直线11BC的距离为45三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.关于x的不等式220axab x的解集为3,1，则ab_.14.已知数列 na的前n项和，21nnS，则210log a_.15.已知函数 221,12,1xxf xxx，关于 x 的方程 20fxa f x有六个不等的实根，则实数 a的取值范围是_.16.如图，已知函数

7、sinf xAx（其中0A，0，2）的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，2BCBD ，3OCB，2OA，2 213AD.则函数 f x在1,6上的值域为_.第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知nS为数列 na的前n项和，且11a，211nnnSnSnn，nN.（1）证明：数列nSn为等差数列，并求 nS的通项公式；（2）若11nnnbaa，设数列 nb前n项和为nT，求nT.18.在ABC中，角A、B、C所

8、对的边分别为a、b、c，且coscos2 cosbAaBcA.（1）求角A 的值；（2）已知点D为BC的中点，且2AD，求a的最大值.19.若二次函数 f x满足 25152f xf xxx（1）求 f x的解析式；（2）若函数 lng xx xf x，解关于x的不等式：22g xxg.20.如图（1）所示，在ABC中，60ABC，过点A 作ADBC，垂足D在线段BC上，且2 3AD，5CD，沿AD将CDA折起（如图（2），点E、F分别为棱AC、AB的中点.的第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：ADEF；（2）若二面角CDAB所成角的正切值为2，求二面角CDFE所成角的

9、余弦值.21.已知数列 na是公比大于 0 的等比数列，14a，364a.数列 nb满足：21nnnbaa（Nn）.（1）求数列 nb的通项公式；（2）证明：22nnbb是等比数列；（3）证明：122(21)(21)2 2N*knkkkkkbb22.已知函数 lnf xx tx，Rt（1）讨论函数 f x的单调区间；（2）当1t 时，设1x，2x为两个不相等的正数，且12f xf xa，证明：121(2e)eexxa.第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学20

10、24 届高三第三次六校联考试题届高三第三次六校联考试题数学数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合0,1,2A，集合2,0,1B ，则AB（）A.0,1B.2,0C.2,1,0D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为0,1,2A，2,0,1B ，所以0,1AB.故选：A2.若复数 z 满足34i1z，则z（）A.1B.15C.17D.125【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算及模

11、长公式计算即可.【详解】由 134i34i3434i1i34i34i34i252525zz，所以2234125255z.故选：B.3.已知非零向量a、b满足2ba，且aab，则a与b的夹角为（）A.3B.2C.23D.56【答案】A第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】分析可得0aab，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos,a b 的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a与b的夹角.【详解】因为非零向量a、b满足2ba，且aab，则2222cos,2cos,0aabaa baaba baaa b ，所以，1cos,2a b ，又因为0,a b，故,3a b .因

12、此，a与b的夹角为3.故选：A.4.已知17tantan422，则cos2（）A.12B.12C.45D.45【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan的方程，解出tan的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos2的值.【详解】因为tantantan1174tantan41tan221tantan4，整理可得2tan6tan90，解得tan3，所以，222222cossin1tan1 94cos2cossin1tan1 95.故选：C.5.已知函数 sin2f xx和直线 l：2yxa，那么“直线 l 与曲线 yf x相切”是“0a”的（）A.充分不必要条件B.必要

13、不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据直线l与曲线()yf x相切，求出2,akkZ，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论【详解】设函数()sin2f xx和直线:2l yxa的切点坐标为00,xy，则00002cos22sin22fxxxxa，可得2,akkZ，所以0a 时，直线l与曲线()yf x相切；直线l与曲线()yf x相切不能推出0a 因此“0a”是“直线l与曲线()yf x相切”的必要不充分条件故选：B6.已知 a，b 为正实数，且21ab，则22121abab的最小值为（）A.12

14、 2B.22 2C.32 2D.42 2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b满足21ab，则221211111(2)()1(2)()abababababab 2244242 2bab aabab，当且仅当2baab，即221ab时取等号，所以当221,12ab 时，22121abab取得最小值42 2.故选：D7.已知三棱锥SABC如图所示，AS、AB、AC两两垂直，且2 2ASABAC，点E、F分别是棱AS、BS的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体EFGABC的体积为（）第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有

15、限公司A.11 26B.2 2C.13 26D.7 23【答案】C【解析】【分析】过点G作/GH AC，交SA于点H，证明出GH 平面SAB，计算出三棱锥CSAB、GSEF的体积，可得出EFG ABCC SABG SEFVVV，即可得解.【详解】过点G作/GH AC，交SA于点H，因为ACAB，ACSA，ABASA，AB、AS 平面SAB，所以，AC 平面SAB，因为/GH AC，则GH 平面SAB，且34GHSGACSC，则33 242GHAC，因为E、F分别为SA、BS的中点，则21112 21442SEFABSSS，所以，113 2213322G SEFSEFVSGH，31118 22

16、23323C SABSABVSAC，因此，8 2213 2326EFG ABCC SABG SEFVVV.第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故选：C.8.已知数列ka为有穷整数数列，具有性质 p：若对任意的1,2,3,4n，ka中存在ia，1ia，2ia，ija（1i，0j，i，Nj），使得12iiiijaaaan，则称ka为 4-连续可表数列.下面数列为 4-连续可表数列的是（）A.1,1,1B.1,1,2C.1,3,1D.2,3,6【答案】B【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得【详解】选项 A 中，1233aaa+=，和不可能为 4，A 不是 4-连续可表数列；选项 B

17、 中，112231231,2,3,4aaaaaaaa，B 是 4-连续可表数列；选项 C 中，没有连续项的和为 2，C 不是 4-连续可表数列；选项 D 中，没有连续项的和为 1，D 不是 4-连续可表数列故选：B二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.9,2ak，,8bk，若/a brr，则

18、6k B.若acbc 且0c，则abC.若点 G 是ABC的重心，则0GAGBGC D.若向量1,1a ，2,3b，则向量b在向量a上的投影向量为2a【答案】CD【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断 A 选项；利用向量垂直的表示可判断 B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断 C 选项；利用投影向量的定义可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，已知9,2ak，,8bk，若/a brr，则298362k ，解得6k ，A 错；对于 B 选项，若acbc 且0c，则0a cb ccab ，第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以，ab或cab，B 错；对于 C 选项，若点

19、G 是ABC的重心，则0GAGBGC ，C 对；对于 D 选项，若向量1,1a ，2,3b，则向量b在向量a上的投影向量为21cos,2aa baa bba bbaaaabaa ，D 对.故选：CD.10.已知函数22si1()scosconf xxxx的图象为C，以下说法中正确的是（）A.函数 f x的最大值为212B.图象C相邻两条对称轴的距离为2C.图象C关于,08中心对称D.要得到函数in22syx的图象，只需将函数 f x的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移4个单位【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详

20、解】因为22si1()scosconf xxxxcos2111222sin2sin22cos2sin 222222224xxxxx，所以函数 f x的最大值为22，故 A 错误；函数 f x的最小正周期22T，所以图象C相邻两条对称轴的距离为2，故 B 正确；因为2sin 208284f，所以图象C关于,08中心对称，故 C 正确；将 2sin 224f xx的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到2sin24yx，第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司再将2sin24yx向右平移4个单位得到2sin2yx，故 D 正确；故选：BCD11.若函数 f x的定义域为 D，若对于任意1

21、xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则称 f x为“型函数”，则下列说法正确的是（）A.函数 lnf xx是“型函数”B.函数 sinf xx是“型函数”C.若函数 f x是“型函数”，则函数 1f x也是“型函数”D.已知Rm，若 sinf xmx，,2 2x 是“型函数”，则12m【答案】ACD【解析】【分析】根据所给函数的定义求解 C，根据对数运算求解 A，根据三角函数的周期性以及单调性求解 BD.【详解】对于 A,由121f xf x可得121212lnln1ln1exxx xx x ，所以21exx，故 A正确，对于 B，取12x，则由121f xf x以及 sinf

22、xx可得22sin0,Zxxkk,故这与存在唯一2xD矛盾，故 B 错误，对于 C，由于函数 f x是“型函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，故12111f xf x，因此对于对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得12111f xf x，故 1f x是“型函数”，C 正确，对于 D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得12sinsin1mxmx，所以21sin1 2sinxmx，由于11,sin1,12 2xx，所以21sin1 2sin2,22,xmxmm ，由于sinyx在,2 2x 单调递增，的第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以

23、21m 且221m，故12m，D 正确，故选：ACD12.已知棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1AC上一动点，则下列判断正确的是（）A.存在点 P，使得11/C P ABB.三棱锥1PBC D的外接球半径最小值为63C.当 P 为1AC的中点时，过 P 与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面面积为3 34D.存在点 P，使得点 P 到直线11BC的距离为45【答案】BCD【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解 A，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定 C，建立空间坐标系，利用点线距离的向

24、量求法，由二次函数的性质即可求解 D.【详解】由于1112,BCC DBDBDC为等边三角形，且其外接圆的半径为1262sin603r，由于1AA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD，又11,ACBD ACAAA AC AA平面11AAC C，所以BD平面11AAC C，1AC 平面11AAC C，故1BDAC，同理可证11BCAC,因此11,BDBCB BD BC平面1BDC，故1AC 平面1BDC，因此三棱锥1PBC D为正三棱锥，设外接球半径为R，球心到平面1BDC的距离为h，则22Rrh，故当0h 时，63Rr为最小值，故 B 正确，取11,AB C D AD的中点为,M

25、Q,N,连接,NM MQ NQ,当P是1AC的中点，也是QM的中点，则该截面为与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为第 9 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司222NMAM,所以截面面积为1223 36sin602224，C 正确，对于 D,建立如图所示的空间直角坐标系，则10,0,0,0,1,0,1,0,1DCA111,0,0C BDA,设111,1,1,APaACaa aa，(01a),1111,0,1,0,1,B PAPABa aaa aa ,所以点 P 到直线11BC的距离为22222211111111321221222C BdB PB

26、PaaaaaaC B ，由于01a，所以21122,1222da，由于42,152,故 D 正确，由于1,1,1,1B Pa aaPa aa，10,1,1C,则11,1,C Pa aa,111,0,0,1,1,1,0,1,1ABAB,若10,1,1AB 与11,1,C Pa aa共线，则10a，1a，此时10,0,1C P，此时10,1,1AB 与10,0,1C P 不共线，故11,C P AB不平行故 A 错误，故选：BCD第 10 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.关于x不等式2

27、20axab x的解集为3,1，则ab_.【答案】43#113【解析】【分析】分析可知，3、1是关于x的方程220axab x的两根，利用韦达定理可得出ab的值.【详解】因为关于x的不等式220axab x的解集为3,1，则a0，且3、1是关于x的方程220axab x的两根，由韦达定理可得3 1aba ，23 1a ，解得23a ，所以，423aba.故答案为：43.14.已知数列 na的前n项和，21nnS，则210log a_.【答案】9【解析】【分析】根据10109aSS求出10a，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列 na的前n项和21nnS，所以1099101092121

28、2aSS，所以92102loglog 29a.故答案为：9的第 11 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司15.已知函数 221,12,1xxf xxx，关于 x 的方程 20fxa f x有六个不等的实根，则实数 a的取值范围是_.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x 或()f xa，其中()0f x 可解得两个根，因此()f xa应有 4 个根，作出函数y()f x的图象与直线ya，由图象得它们有 4 个交点时的参数范围【详解】2()()0fxaf x，则()0f x 或()f xa，2100 xx，2(2)02xx，即()0f x 有两个根，因此()f xa应有

29、 4 个根，作出函数y()f x的图象与直线ya，由图象可知，当01a时满足题意，故答案为：(0,1)16.如图，已知函数 sinf xAx（其中0A，0，2）的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，2BCBD ，3OCB，2OA，2 213AD.则函数 f x在1,6上的值域为_.第 12 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【答案】8 16,33【解析】【分析】由题意可得：3|sin|2A，sin(2)0，可得A，B，C，D的坐标，根据2 21|3AD，可得方程22228(1)243A sin，进而解出，A，即可求出 f x，再由三角函数的性质求解【详解】由题意可得：|

30、3|OBOC，3sin2A，sin(2)0，(2,0)A，2,0B，(0,sin)CA，sin1,22AD，2 213AD，222sin281243A，把1sin(2)3A代入上式可得：2()2240，0.解得6，6，sin()03，|2，解得3.3sin263A，0A，解得163A，所以函数16()sin()363f xx，第 13 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司1,6x时，2,6363x，1sin(),1632x，168 16()sin(),36333f xx 故答案为：8 16,33四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证

31、明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知nS为数列 na的前n项和，且11a，211nnnSnSnn，nN.（1）证明：数列nSn为等差数列，并求 nS的通项公式；（2）若11nnnbaa，设数列 nb的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）证明见解析，2nSn （2）21nnTn【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列nSn为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列nSn的通项公式，进而可得出数列 nS的通项公式；（2）利用nS与na的关系可求出数列 na的通项公式，再利用裂项相消法可求得nT.【小问 1 详解】解：对任意的nN，211nnnSnSnn

32、，则21111111nnnnnSnSSSnnnnn nn n，所以，数列nSn为等差数列，且其首项为111S，公差为1，所以，11nSnnn ，故2nSn.【小问 2 详解】第 14 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司解：当2n 时，221121nnnaSSnnn，11a 也满足21nan，故对任意的nN，21nan.所以，11111121212 2121nnnbaannnn，故111 111111111232 352 212122121nnTnnnn.18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且coscos2 cosbAaBcA.（1）求角A 的值；（2）已知点D为BC

33、的中点，且2AD，求a的最大值.【答案】（1）23A （2）4 3【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2ADABAC，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a的不等式，由此可解得a的最大值.【小问 1 详解】解：因为A、0,C，则sin0C，由正弦定理可得2cossinsincossincossinsinACBAABABC，所以，1cos2A ，故23A.【小问 2 详解】解：因为D为BC中点，则111222ADABBDABBCABACABABAC ，所以，2

34、ADABAC，所以，22222222422cos163ADACABAC ABbcbcbcbc ，由余弦定理可得2222222cos3abcbcbcbc，所以，222162abc，2216bca，的第 15 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司由基本不等式可得222bcbc，即2216162aa，解得04 3a，当且仅当2216bcbcbc时，即当4bc时，等号成立，故a的最大值为4 3.19.若二次函数 f x满足 25152f xf xxx（1）求 f x的解析式；（2）若函数 lng xx xf x，解关于x的不等式：22g xxg.【答案】（1）2122f xxx （2）2,10,

35、1【解析】【分析】（1）20fxaxbxc a，根据 25152f xf xxx 可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数 f x的解析式；（2）求出函数 g x的定义域，利用导数分析函数 g x的单调性，由 22g xxg可得出关于实数x的不等式组，由此可解得实数x的取值范围.【小问 1 详解】解：设 20fxaxbxc a，则 22111f xf xa xb xcaxbxc 225222252axab xabcxx，所以，21225522aababc ，解得1220abc ，故 2122f xxx.【小问 2 详解】解：函数 2lln1n22xxxxg xx xf

36、x的定义域为0,，且 ln12ln1gxxxxx，第 16 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司令 ln1h xxx，其中0 x，则 111xhxxx，由 0h x可得01x，由 0h x可得1x，所以，函数 h x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,，故对任意的0 x，10gxh xh，所以，函数 g x在0,上为减函数，由 22g xxg可得202xx，解得21x 或01x，因此，不等式 22g xxg的解集为2,10,1.20.如图（1）所示，在ABC中，60ABC，过点A 作ADBC，垂足D在线段BC上，且2 3AD，5CD，沿AD将CDA折起（如图（2），点E、F分别为棱

37、AC、AB的中点.（1）证明：ADEF；（2）若二面角CDAB所成角的正切值为2，求二面角CDFE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD 平面BCD，可得出ADBC，利用中位线的性质可得出/EF BC，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角CDAB的平面角为BDC，以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴，平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角CDFE所成角的余弦值.【小问 1 详解】第 17 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司证明：翻折前，ADBC，则ADCD，ADBD，翻折

38、后，则有ADCD，ADBD，因为BDCDD，BD、CD 平面BCD，所以，AD 平面BCD，因为BC平面BCD，所以，ADBC，在四棱锥ABCD中，因为点E、F分别为棱AC、AB的中点，则/EF BC，因此，ADEF.【小问 2 详解】解：因为ADCD，ADBD，则二面角CDAB的平面角为BDC，即tan2BDC，因AD 平面BCD，以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴，平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABDo，ADBD，2 3AD，则2 32tan603ADBD，又因为5CD，则0,2 3,0A、2,0,0B、1,0,2C、0,

39、0,0D、1,3,12E、1,3,0F，设平面CDF的法向量为111,mx y z，1,0,2DC，1,3,0DF，则11112030m DCxzm DFxy，取12 3x，可得2 3,2,3m，设平面DEF的法向量为222,xny z，1,0,12EF，则222230102n DFxyn EFxz，取22 3x，可得2 3,2,3n，为第 18 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以，2124313cos,1919m nm nmn ，由图可知，二面角CDFE的平面角为锐角，故二面角CDFE的余弦值为1319.21.已知数列 na是公比大于 0 的等比数列，14a，364a.数列 nb

40、满足：21nnnbaa（Nn）.（1）求数列 nb的通项公式；（2）证明：22nnbb是等比数列；（3）证明：122(21)(21)2 2N*knkkkkkbb.【答案】（1）2144nnnb （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得 na的通项公式，进而求出数列 nb的通项公式；（2）运算可得222 4nnnbb，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)42 2nnnnnnbb，进而可得11212(21)(21)122kkknnkkkkkbb，结合错位相减法即可得证.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为q，则2231464aa

41、 qq，则4q，所以14 44nnna，又221144nnnnnbaa.【小问 2 详解】所以22242211442 444nnnnnnnbb，所以220nnbb，且21122222 442 4nnnnnnbbbb，第 19 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以数列22nnbb是首项为 8，公比为4的等比数列；【小问 3 详解】由题意知，2222222121(21)(21)4142 42 22 2nnnnnnnnnnnbb，所以22212(21)(21)4212 222 22nnnnnnnnnnbb，所以11212(21)(21)122kkknnkkkkkbb，设1012111232

42、2222nnknkknT，则123112322222nnnT，两式相减得21111111122121222222212nnnnnnnnnT，所以1242nnnT，所以112112(21)(21)11242 22222kkknnnkkkkknbb.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为122(21)(21)knkkkkbb无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.22.已知函数 lnf xx tx，Rt（1）讨论函数 f x的单调区间；（2）当1t 时，设1x，2x为两个不相等的正数，且12f xf xa，证明：121(2e)eexxa.【答案】22.10,et上单

43、调递增，1e,t上单调递减.23.证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；第 20 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司（3）利用切割线放缩证明.【小问 1 详解】lnf xx tx,n1l1 lntxfxtxxx ,100etfxx,10etxfx,10,et上单调递增，1e,t上单调递减.【小问 2 详解】1 lnf xxx,lnfxx,1 lnf xxx在0,1上单调递增，1,上单调递减.11f e0f，00000211 lnlimlim1 lnlimlimlim011xxxxxxxf xxxxxx，因 10fxx，所以函数 f x在区间0,e上为上凸函数，函数

44、f x在区间0,e的图象如图所示.不妨设12xx，则1201exx.连接1,1A和点e,0的直线 l2的方程为：1e1 eyx,当ya时，41 eexa,由图可知24xx,所以要证明121(2e)eexxa，只需证明411(2e)eexxa，即只需证明1411(2e)eeexaxa，连接OA的直线1l的方程为yx,设函数 f x的图象的与OA平行的切线是直线3l，为第 21 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司 1ln1exfxx，11121 lneeeef，直线3l的方程为21eeyx,即1eyx，令ya,得直线ya与直线3l的交点横坐标为1ea,由图可知，11exa，故要证不等式成立.