江苏淮安高中校协作体2024届高三上学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 淮安市高中校协作体淮安市高中校协作体 20232024 学年度第一学期高三年级期中联考学年度第一学期高三年级期中联考 数学试卷数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）只有一个是符合题目要求的）1.已知集合212,340,ZAxxBx xxx=，则AB=（）A.0,1 B.11xx C.0,1,2 D.12xx，且()()22ef afb=，则12ab+的最小值为（）A.9 B.92 C.3

2、D.1 5.已知3sin2sin2=，则tan4=（）A.13 B.3 C.13 D.3 6.我国古代数学家刘徽在 九章算术注 中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n可表示成（）A.360sinnn B.360cosnn C.180sinnn D.180cosnn 7.已知数列 na是正项等比数列，数列 nb满足2lognnba=.若92582a a

3、 a=，则1239bbbb+=（）.的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.24 B.27 C.36 D.40 8.若 函 数()f x为 定 义 在R上 的 偶 函 数，当(),0 x 时，()2fxx，则 不 等 式()()()()3123331fxfxx+的解集为（）A.()()1,1,3+B.1,13 C.()1,+D.1,3 二、二、多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共计共计 20 分全部选对得分全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知函数()sin()f xAx=

4、+（其中0,0,2A，则下列不等式恒成立的是（）A.22ab B.22ab C lnlnabba D.11baab 11.在数列 na中，如果对任意*nN都有211nnnnaakaa+=（k为常数），则称 na为等差比数列，k 称为公差比，下列说法正确的是（）A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为 0 C.若32nna=+，则数列 na是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为 2 12.已知函数()()41log142xf xx=+，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x的图象关于y轴对称 B.函数()f x的图象关于原点对称.第3页/共4页 学科网

5、（北京）股份有限公司 C.函数()f x在)0,+上是增函数 D.函数()f x的值域为1,2+三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共计分，共计 20 分其中第分其中第 16题共有题共有 2 空，第一个空空，第一个空 2分，第二个空分，第二个空 3 分；其余题均为一空，分；其余题均为一空，每空每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.“2,20 xxxa R”为真命题，则实数a的最大值为_.14.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若6a=，5b=，4c=，则BC边上的中线 AD 的长为_.

6、15.已知函数()()122log2f xxxt=+的定义域是(),8m m+，则函数()f x的单调增区间为_.16.已知函数()e,012,02xxf xxx=，则不等式()1f x 的解集为_，若实数a，b，c满足()()()f af bf c=且abc，则2abc+的取值范围是_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2coscoscoscCbAaB=+.（1

7、）求角C；（2）若6a=，4cos5A=，求c.18.已知等差数列 na的前 n项和为nS，42a=，1025S=（1）求数列 na的通项公式；（2）求nS的最小值及取得最小值时 n的值 19.已知不等式()()22log2log82xx+.（1）求不等式的解集A；（2）若当xA时，不等式 1114242xxm+总成立，求m的取值范围.20.设数列 na前n项和为nS，已知11a=，_.（1）求数列 na的通项公式；的 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司（2）设327nnbSn=+，数列 nb的前n项和为nT，证明：34nT，过点(,)a b可作曲线()f x的 3条切线，求证：2()

8、2abf a.第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 淮安市高中校协作体淮安市高中校协作体 20232024 学年度第一学期高三年级期中联考学年度第一学期高三年级期中联考 数学试卷数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）只有一个是符合题目要求的）1.已知集合212,340,ZAxxBx xxx=，则AB=（）A.0,1 B.11xx C.0,1,2 D.12xx 【答案】C【解析】【分析】计算0,1,2,3B=，再计算交集得到答案

9、.【详解】2340,Z14,Z0,1,2,3Bx xxxxxx=，且()()22ef afb=，则12ab+的最小值为（）A.9 B.92 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意求出,a b等量关系，利用基本不等式求解12ab+即可.【详解】因为()exf x=，若0,0ab，且()()22ef afb=，所以()()222e=e22abf afbab+=+=，则()121 121212921452222222aaabababababbb+=+=+=，当且仅当23ab=时取等号.故选：B 5.已知3sin2sin2=，则tan4=（）A.13 B.3 C.13 D.3【答案】D【解析

10、】【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，tan2，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案.【详解】由3sin2sin2=可得，sin2cos=，所以，sin2costan2coscos=，第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以，tantan4tan41tantan4=+()()1231 12=+.故选：D.6.我国古代数学家刘徽在 九章算术注 中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率

11、的近似值记为n，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n可表示成（）A.360sinnn B.360cosnn C.180sinnn D.180cosnn【答案】D【解析】【分析】由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式即可得解【详解】圆的内接正2n边形的圆心角为3601802nn=，所以正2n边形的面积为2211801802sinsin2nRnRnn=，由题意有22360sin2nnRRn=，所以2360sinnnn=，又222180sinnnRRn=，所以222180180sinsin360180180180sin2cossincosnnnnnnnnnn=，故选：D 7.已知数

12、列 na是正项等比数列，数列 nb满足2lognnba=.若92582a a a=，则1239bbbb+=（）A.24 B.27 C.36 D.40【答案】B【解析】第4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】依题意得2285a aa=，得58a=，再由对数运算性质求解即可.【详解】数列 na是正项等比数列，2285a aa=，由92582a a a=，得3952=a，得58a=，1239bbbb+21222329loglogloglog=+aaaa()21239log=a a aa()()()()9283746152log=aa aa aaaaa()()()()9283746152l

13、og=aa aa aaaaa()()()()2222555552log=aaaaa 2955229989 327logloglog=aa.故选：B 8.若 函 数()f x为 定 义 在R上 的 偶 函 数，当(),0 x 时，()2fxx，则 不 等 式()()()()3123331fxfxx+的解集为（）A.()()1,1,3+B.1,13 C.()1,+D.1,3 【答案】A【解析】【分析】先构造函数()()2g xf xx=，判断函数()g x的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数()g x的性质求解即可.【详解】令()()2g xf xx=()f x为定义在R上的偶函数(

14、)()fxf x=()()()()22gxfxxf xx=()()gxg x=.第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 则函数()g x为定义在R上的偶函数()()2gxfxx=，当(),0 x 时，()2fxx 函数()g x在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增.()()()()()223331312312312xxxxx+=+=不等式()()()()3123331fxfxx+可变为()()()22313122fxxf，即()()312gxg 故312x，解得1x 或13x）的部分图象如图所示，则（）A.()f x的最小正周期为 B.()f x的图象关于直线12x=对称 C.(

15、)2cos 26f xx=D.6是()f x的一个零点【答案】ABC【解析】【分析】根据图像求出函数解析式，然后逐项判断即可.【详解】由图像可知2A=，设函数周期为T，则由图像知379412612TT=，所以 A正确；则22TT=，所以()()2sin 2f xx=+，第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 由图像知712x=为函数一个最小值，所以2sin 227772,N12121222fkk=+=+=，得22752 2,N,1223kkk+=+，则下列不等式恒成立的是（）A.22ab B.22ab C.lnlnabba D.11baab【答案】ABD【解析】【分析】利用对数函数的单调

16、性得出2ab，再利用函数的单调性逐项判断，即可得出合适的选项.【详解】因为222loglog1log 2ab=，则2ab.对于 A选项，因为函数2xy=为R上的增函数，则22ab，A对；对于 B选项，因为函数2yx在()0,+上为增函数，则22ab，B对；对于 C选项，令()ln xf xx=，其中2x，则()21 ln xfxx=，由 0fx，可得2ex，由()0fx，所以，函数()f x在()2,e上单调递增，在()e,+上单调递减，的 第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 当2eba=，即lnlnabba+，即11baab，D对.故选：ABD.11.在数列 na中，如果对任意*n

17、N都有211nnnnaakaa+=（k为常数），则称 na为等差比数列，k 称为公差比，下列说法正确的是（）A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为 0 C.若32nna=+，则数列 na是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为 2【答案】BC【解析】【分析】考虑常数列可以判定 A错误，利用反证法判定 B正确，代入等差比数列公式判定 CD 正确【详解】对于数列na，考虑211211,1,1,nnnnnnnaaaaaaa+=无意义，所以 A选项错误；若等差比数列的公差比为2110,0,nnnnaaaa+=则210nnaa+=，则在3221nnnnaaaa+中

18、分母为 0，不符合要求，故矛盾，所以 B 正确；若()()21212111132323332,3333232nnnnnnnnnnnnnnaaaaa+=+=+，数列na是等差比数列，所以 C正确；若等差数列是等差比数列，则()11naand+=，则21nnaad+=，1nnaad+=，2111nnnnaadaad+=，所以 D 错误 故选：BC 12.已知函数()()41log142xf xx=+，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x的图象关于y轴对称 B.函数()f x的图象关于原点对称 C.函数()f x在)0,+上是增函数 D.函数()f x的值域为1,2+【答案】ACD【解析】第8

19、页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为()()4log22xxf x=+，利用函数奇偶性的定义可判断AB 选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断 C 选项；利用函数()f x的单调性求出函数()f x的值域，可判断 D 选项.【详解】因为()()()()44444114log14log14log 2loglog2222xxxxxxxf xx+=+=+=+，对于 A选项，对任意的xR，220 xx+，则函数()f x的定义域为R，()()()4log22xxfxf x=+=，所以，函数()f x为偶函数，A对 B 错；对于 C选项，任取

20、1x、)20,x+且12xx，即120 xx，则12221xx，120 xx+，则1221xx+，所以，()()()()12112212121212112222222222222xxxxxxxxxxxxxx+=+=()()121212222102xxxxxx+=，即112222220 xxxx+，所以，()()()()11221442log22log22xxxxf xf x=+=，故函数()f x在)0,+上是增函数，C对；对于 D选项，因为函数()f x为R上的偶函数，且在)0,+上为增函数，故函数()f x在(,0上为减函数，所以，()()410log 22f xf=，故函数()f x的值

21、域为1,2+，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共计分，共计 20 分其中第分其中第 16题共有题共有 2 空，第一个空空，第一个空 2分，第二个空分，第二个空 3 分；其余题均为一空，分；其余题均为一空，每空每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.“2,20 xxxa R”为真命题，则实数a的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】由2(2)40a=+可求出结果.第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为“2,20 xxxa R”为真命题，所以2(2)40a=+，即1a

22、.所以实数a的最大值为1.故答案为：1 14.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若6a=，5b=，4c=，则BC边上的中线 AD 的长为_.【答案】462【解析】【分析】根据余弦定理得出9cos16B=.进而在ABD中，利用余弦定理，即可得出答案.【详解】由余弦定理可得，222cos2acbBac+=36 162592 6 416+=.在ABD中，有4ABc=，132BDBC=，由余弦定理可得2222cosADABBDAB BDB=+9231692 4 3162=+=，所以，462AD=.故答案为：462.15.已知函数()()122log2f xxxt=+的定义域是(),

23、8m m+，则函数()f x的单调增区间为_.【答案】()1,5#)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为函数()()122log2f xxxt=+的定义域是(),8m m+，所以,8m m+为220 xxt+=的两个根，所以22401tt=，则不等式()1f x 的解集为_，若实数a，b，c满足()()()f af bf c=且abc，得()e,011,02211,22xxf xxxxx=，又()1f x，当0 x 时，e1x恒成立，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 当0

24、2x时，1112x，得02x时，11 12x，得24x，综上所述，4x，即(,4x；作出函数()f x的图象，如图所示，当0 x 时，(e0,1xy=，又()20f=，()()041ff=，所以024abc，()g t单调递增，当1,12t时，()0g t,2cos1C=，1cos2C=，又0C,所以3C=【小问 2 详解】由（1）知：3C=，4cos5A=，且0A，2243sin1 cos155AA=，由正弦定理得sinsinacAC=，且a=，c3352=，32335c=18.已知等差数列 na的前 n项和为nS，42a=，1025S=（1）求数列 na的通项公式；第13页/共19页 学科

25、网（北京）股份有限公司（2）求nS的最小值及取得最小值时 n的值【答案】（1）314nan=（2）当4n=时，nS最小，最小值为-26【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到111a=，3d=，然后写通项即可；（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；方法二：根据前n项和的函数性质求最小值.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为 d，由42a=，1025S=，得132ad+=，110 910252ad+=，解得111a=，3d=，所以()11314naandn=+=【小问 2 详解】方法一：由3d=知 na是递增数列，当4n 时，0na 所以12345S

26、SSSS+，解得22x，故(2,2A=.【小问 2 详解】解：令()1114242xxf x=+，则原问题等价()minf xm，且()1144242xxf x=+，其中(2,2x，令11,424xt=，可得()221442412yf xttt=+=+，其中1,44t，当12t=时，即当1x=时，函数()yf x=取得最小值，即()()min11f xf=，所以，1m.20.设数列 na的前n项和为nS，已知11a=，_.（1）求数列 na的通项公式；（2）设327nnbSn=+，数列 nb的前n项和为nT，证明：34nT+，故可得34nT.21.设函数23()sinsin3cos22f xx

27、xx=+.（1）求函数()f x的最小正周期及()f x图象的对称轴；（2）在锐角ABC中，若()0fA=，且能盖住ABC的最小圆的面积为4，求+ABAC的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程是直线212kx=+，Zk （2）(6,4 3【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出()sin 23f xx=+，进而得出周期.解232xk+=+，Zk，即可得出函数的对称轴；（2）根据已知可推得3A=，ABC外接圆半径2R=，进而根据正弦定理可得出4sin4sinbcBC+=+，化简得出4 3sin6bcB.然后根据已知得出B的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【小问

28、1 详解】因为23()sin cos3cos2f xxxx=+11cos23sin23222xx+=+13sin2cos222xx=+sin 23x=+，所以函数()f x的最小正周期22T=，令232xk+=+，Zk，解得212kx=+，Zk，所以对称轴方程是直线212kx=+，Zk.【小问 2 详解】的 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 因为ABC为锐角三角形，所以02A，42,33 3A+.因为()0f A=，所以sin 203A+=，所以23A+=，所以3A=.因为能盖住ABC的最小圆为ABC的外接圆，设半径为R，所以24R=，得2R=.由正弦定理可得，24sinsins

29、inabcRABC=可得，4sinbB=，4sincC=所以，4sin4sinbcBC+=+24sin4sin3BB=+6sin2 3cosBB=+4 3sin6B=+.因为ABC为锐角三角形，所以0202BC，即022032BB，解得62B，所以2363B+，根据正弦函数的图象以及性质可知3sin126B+，所以64 3bc，过点(,)a b可作曲线()f x的 3条切线，求证：2()2abf a.第18页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据函数()f x的导数在0,1上的值域，分类讨论进行判断函数单调性即可；（2）根据

30、导数的几何意义求出函数的切线方程，把方程有三个不等实根转化为函数零点问题，构造新函数，利用导数进行证明即可.【详解】解：（1）由题意得2()3fxxa=.当0,1x时，230,3x.若0a，则对任意0,1x，()0fx恒成立，()f x在0,1上单调递增；若3a，则对任意0,1x，()0fx恒成立，()f x在0,1上单调递减；若0 3a，则()333aafxxx=+，当0,3ax时()0fx，当,13ax时，()0fx，()f x在0,3a上单调递减，在,13a上单调递增.综上，当0a 时，()f x在0,1上单调递增；当3a 时，()f x在0,1上单调递减；当0，当(0,)xa时，()0g x，()2332()2()0g aababaabbf a=+=，2()2abf a.【点睛】解题关键 解决本题的关键是将“过点(,)a b可作曲线()f x的三条切线”转化为()g x有 3 个不同的零点，通过构造新函数利用导数进行证明.