【材料力学电子教案配材料力学】第三章 扭转.ppt

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1、 Chapter 3 Torsion(Torsion)(Torsion)第三章第三章第三章第三章 扭扭扭扭 转转转转 (Torsion)(Torsion)3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例(Concepts and example problem of torsion)3-2 扭转内力的计算扭转内力的计算(Calculating internal force of torsion)3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转(Torsion in thinwall circular tube)3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzing stress of

2、 circular bars&strength condition)(Torsion)(Torsion)3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Free torsion of open and closed thin-walled members)3-5 圆杆在扭转时的变形圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件(Torsional deformation of circular bars&stiffness condition)3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculation of the stress and deformation

3、 in close-coiled helical springs)3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 (Torsion of noncircular prismatic bars)(Torsion)(Torsion)3-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例(Example problems)(Example problems)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)MMe eMMe e 二、受力特点二、受力特点二、受力特点二、

4、受力特点(Character of external force)(Character of external force)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶于杆件轴线的力偶于杆件轴线的力偶于杆件轴线的力偶.三、变形特点三、变形特点三、变形特点三、变形特点(Character of deformation)(Character of deformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任

5、意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.(Torsion)(Torsion)3-2 扭转的内力的计算扭转的内力的计算(Calculating internal force of torsion)从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)(Calculation of external moment)MMe e作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩(N

6、m)(N m)P P轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率(kW)(kW)nn轴的转速轴的转速轴的转速轴的转速(r/min)(r/min)n nMMe2MMe1MMe3(Torsion)(Torsion)MMe 在在在在n n-n n 截面处假想将轴截开取截面处假想将轴截开取截面处假想将轴截开取截面处假想将轴截开取左侧为研究对象左侧为研究对象左侧为研究对象左侧为研究对象二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算 (Calculation of internal(Calculation of internal force)force)1.1.1.1.求内力求内力求内力求内

7、力(Calculating internal(Calculating internal force)force)截面法截面法截面法截面法 (Method of sections)(Method of sections)T TMMeMMe(Torsion)(Torsion)MexnnMeMexT TMexT T 采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的当力偶矩矢的当力偶矩矢的当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正指向背离截面时扭矩为正指向背离截面时扭矩为正指向背离截面时扭矩为正,反之为负反之为负反之为负反之为负.2.2.2.2.扭矩符号的规定扭矩符号的规定扭矩符

8、号的规定扭矩符号的规定(Sign convention for torque)(Sign convention for torque)3.3.3.3.扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图(Torque diagram)(Torque diagram)用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x x 表示表示表示表示横截面的位置横截面的位置横截面的位置横截面的位置;用垂直于杆轴线的用垂直于杆轴线的用垂直于杆轴线的用垂直于杆轴线的坐标坐标坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩表示横截面上的扭矩表示横截面上的扭矩表示横截面上的扭矩,正的正的正的正的扭矩画在扭矩画在扭矩画在扭

9、矩画在 x x 轴上方轴上方轴上方轴上方,负的扭矩画在负的扭矩画在负的扭矩画在负的扭矩画在 x x 轴下方轴下方轴下方轴下方.T Tx x+_ _(Torsion)(Torsion)MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n例题例题例题例题1 1 一传动轴如图所示一传动轴如图所示一传动轴如图所示一传动轴如图所示,其转速其转速其转速其转速 n n=300 r/min,=300 r/min,主动轮主动轮主动轮主动轮A A输入输入输入输入的功率为的功率为的功率为的功率为P P1 1=500 kW.=500 kW.若不计轴承摩擦所耗的功率若不计轴承摩擦所耗的功率若不

10、计轴承摩擦所耗的功率若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮三个从动轮三个从动轮三个从动轮输出的功率分别为输出的功率分别为输出的功率分别为输出的功率分别为P P2 2=150 kW,=150 kW,P P3 3=150 kW,=150 kW,P P4 4=200 kW.=200 kW.试做扭矩图试做扭矩图试做扭矩图试做扭矩图.(Torsion)(Torsion)解解解解:计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n(Torsion)(Torsion)计算计算计算计算 CACA 段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截

11、面段内任横一截面 2-2 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩截面上的扭矩截面上的扭矩.假设假设假设假设 T T 2 2为正值为正值为正值为正值.结果为负号结果为负号结果为负号结果为负号,说明说明说明说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A AB BC CD D MMe1e1MMe3e3MMe2e22 22 2同理同理同理同理,在在在在 BCBC 段内段内段内段内B BC CxMe2Me3T2MMe4e4Me2x x(Torsion)(Torsion)A AB BC CD D同理同理同理同理,在在在在 BCBC 段内段内段内段内

12、在在在在 ADAD 段内段内段内段内11 133 注意：若假设扭矩为正值注意：若假设扭矩为正值注意：若假设扭矩为正值注意：若假设扭矩为正值,则扭矩的实际符号与计算符号相同则扭矩的实际符号与计算符号相同则扭矩的实际符号与计算符号相同则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2MMe4e4T T1 1T T3 3作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图4774.5 4774.5 NmNm9549 9549 NmNm6366 6366 N Nmm+_ _从图可见从图可见从图可见从图可见,最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在 CACA段内段内段内段内.(Torsion)(Tors

13、ion)3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)1.1.1.1.实验前实验前实验前实验前（1 1）画纵向线）画纵向线）画纵向线）画纵向线,圆周线圆周线圆周线圆周线;（2 2）施加一对外力偶施加一对外力偶施加一对外力偶施加一对外力偶.一、应力分析一、应力分析一、应力分析一、应力分析 (Analysis of stress)(Analysis of stress)薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚薄

14、壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r r0 0圆筒的圆筒的圆筒的圆筒的平均半径）平均半径）平均半径）平均半径）dxxMeMe2.2.2.2.实验后实验后实验后实验后（1 1 1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2 2 2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度

15、；（3 3 3 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.(Torsion)(Torsion)3.3.3.3.推论推论推论推论(Inference)(Inference)（1 1）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；有切应力；有切应力；（2 2）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或与圆周相切与圆周相切与圆周相切与圆周相切.dx 圆周各点处切应力的方向于圆

16、周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等且数值相等且数值相等且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化切应力的数值无变化切应力的数值无变化切应力的数值无变化.MMe eMMe eABDC(Torsion)(Torsion)此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4.4.4.4.推导公式推导公式推

17、导公式推导公式(Derivation of formula)(Derivation of formula)薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直与半径垂直与半径垂直与半径垂直,指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致.T T (Torsion)(Torsion)x xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)(

18、Shearing Stress Theorem)1.1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,其方向于其方向于其方向于其方向于 y y 轴平行轴平行轴平行轴平行.两侧面的内力元素两侧面的内力元素两侧面的内力元素两侧面的内力元素 d dy y d dz z大小相等大小相等大小相等大小相等,方向相反方向相反方向相反方向相反,将组成将组成将组成将组成 一个力偶一个力偶一个力偶一个力偶.由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程其矩为其矩为其矩为其矩为(d dy y d dz z)

19、d dx x(Torsion)(Torsion)x xy yd dy yd dz zz zd dx x2 2.要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有在单元体的上、下两平面上必有在单元体的上、下两平面上必有在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素大小相等，指向相反的一对内力元素大小相等，指向相反的一对内力元素大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量

20、相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得(d dy y d dz z)d dx x3.3.切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 (Shearing stress theorem)(Shearing stress theorem)单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等且大小相等且大小相等且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该

21、两平面的交线.4.4.纯剪切单元体纯剪切单元体纯剪切单元体纯剪切单元体 (Element in pure shear)(Element in pure shear)单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体.(Torsion)(Torsion)MMe eMMe el式中式中式中式中,r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律(Hook

22、esHookes law for shear)law for shear)由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到 薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶当外力偶当外力偶当外力偶 MMe e 在某一范围内时在某一范围内时在某一范围内时在某一范围内时,与与与与 MMe e （在数值上等于在数值上等于在数值上等于在数值上等于 T T ）成正比）成正比）成正比）成正比.(Torsion)(Torsion)三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系TO 从从从从 T

23、 T 与与与与 之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系,可推出可推出可推出可推出 与与与与 间间间间的线性关系的线性关系的线性关系的线性关系.该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律(HookesHookes law for shear)law for shear)G G 剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量O O (Torsion)(Torsion)思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变

24、为切应变为切应变为切应变为切应变为0 0(Torsion)(Torsion)变变形形几几何何关关系系物物理理关关系系静静力力关关系系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physical

25、relationstaticrelation3-43-4 圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析 强度条件强度条件强度条件强度条件(Analyzing stress of circular bars&(Analyzing stress of circular bars&strength condition)strength condition)(Torsion)(Torsion)1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象(Deformation phenomenon)(Deformation phenomenon)（1 1）轴向线仍为直线轴向线仍为直线轴

26、向线仍为直线轴向线仍为直线,且长度不变；且长度不变；且长度不变；且长度不变；（2 2）横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系一、变形几何关系一、变形几何关系一、变形几何关系(Geometrical(Geometrical Relationship of Deformation)Relationship of Deformation)（3 3）径向线保持为直线径向线保持为直线径向线保持为直线径向线保持为直线,只是绕轴只是绕轴只是绕轴只是绕轴线旋转线旋转线旋转线旋转.2.2.2.2.平面假设平面假设平面假设平

27、面假设(Plane assumption)(Plane assumption)变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ,变形变形变形变形后仍保持为平面后仍保持为平面后仍保持为平面后仍保持为平面.(Torsion)(Torsion)a aabbd dx xO O1O O23.3.3.3.几何关系几何关系几何关系几何关系(GetricalGetrical relationship)relationship)倾角倾角倾角倾角 是横截面圆周上是横截面圆周上是横截面圆周上是横截面圆周上任一点任一点任一点任一点A A 处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变,d,

28、d 是是是是 b-bb-b截面相对于截面相对于截面相对于截面相对于a a-a a 截面象截面象截面象截面象刚性平面一样绕杆刚性平面一样绕杆刚性平面一样绕杆刚性平面一样绕杆的的的的轴轴轴轴线线线线转转转转动的一个角度动的一个角度动的一个角度动的一个角度.经过半径经过半径经过半径经过半径 O O2 2D D 上任一点上任一点上任一点上任一点G G的的的的纵向线纵向线纵向线纵向线EGEG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 ,也就是横截面半径上任一点也就是横截面半径上任一点也就是横截面半径上任一点也就是横截面半径上任一点E E处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变TT

29、d d ADG DGE E(Torsion)(Torsion)同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力 均均均均相同相同相同相同,且其值与且其值与且其值与且其值与 成正比成正比成正比成正比,与与与与半径垂直半径垂直半径垂直半径垂直.二二、物理关系物理关系物理关系物理关系(Physical Relationship(Physical Relationship)由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律a aabATTd dx xDb DO O1O O2GG (Torsion)(Torsion)r rO Od dA Ad dA A T T三、静

30、力关系三、静力关系三、静力关系三、静力关系(Static Relationship)(Static Relationship)1.1.1.1.公式的建立公式的建立公式的建立公式的建立(Establish the formula)(Establish the formula)结论结论结论结论 代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到式中：式中：式中：式中：T T 横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离I Ip p 横截面对圆心的横截面对圆心的横截面对圆心的横

31、截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩(Torsion)(Torsion)WWt t 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mmmm3 3 或或或或 mm3 3.2.2.的计算的计算的计算的计算(Calculation of(Calculation of maxmax)r rO OT Td dA Ad dA A maxmax(Torsion)(Torsion)（1 1）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面dO3.3.3.3.极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算

32、抗扭截面系数的计算 (calculating the polar(calculating the polar moment of inertia§ion modulus under torsion)moment of inertia§ion modulus under torsion)dODdd（2 2）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面其中其中(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题2 2 图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径D D=100mm,=100mm,内径内径内径内径d d d d=80mm,=80mm,=80mm,

33、=80mm,MM1 1=6kN=6kNm,m,MM2 2=4kN=4kNm,m,材料的切变模量材料的切变模量材料的切变模量材料的切变模量 G G=80GPa.=80GPa.（1 1）画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；（2 2）求轴的最大切应力求轴的最大切应力求轴的最大切应力求轴的最大切应力,并指出其位置并指出其位置并指出其位置并指出其位置.M1M2ABCll(Torsion)(Torsion)解解解解:（1 1）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBCBC段段段段1Me2CT1T T1 1+MMe2e2=0=02Me2CMe1BT2

34、T T2 2+MMe2e2-MMe1e1=0=0T T2 2=2kN=2kNmm ABAB段段段段（+）（-）T T1 1=-4kN=-4kNmm最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在BCBC段段段段 T Tmaxmax=4kN=4kNmm4kNm2kNm+_(Torsion)(Torsion)T（2 2）求轴的最大切应力）求轴的最大切应力）求轴的最大切应力）求轴的最大切应力,并指出其位置并指出其位置并指出其位置并指出其位置 max 最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径且垂直于半径且垂直

35、于半径且垂直于半径.M1M2ABCll max(Torsion)(Torsion)1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式(Mathematical formula)(Mathematical formula)四、强度条件四、强度条件四、强度条件四、强度条件 (Strength Condition)(Strength Condition)2.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)强度校核强度校核强度校核强度校核

36、(Check the intensity)(Check the intensity)设计截面设计截面设计截面设计截面(Determine the required(Determine the required dimensions)dimensions)确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(Determine the allowable load)(Determine the allowable load)(Torsion)(Torsion)ABC解解解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图MeAMeBMeC22 kNkNmm14 kNkNmm+_分别校核两段轴的强度

37、分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度例题例题例题例题3 3 图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴,ABABABAB段的直径段的直径段的直径段的直径d d1 1=120mm=120mm,BCBC 段的直径段的直径段的直径段的直径 d d2 2=100mm=100mm.扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为MMA A=22 =22 kNmkNm,MMB B=36 =36 kNmkNm,MMC C=14 =14 kNmkNm.已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力 =80MPa,=80MPa,试试试试校核该轴的强

38、度校核该轴的强度校核该轴的强度校核该轴的强度.因此因此因此因此,该轴满足强度要求该轴满足强度要求该轴满足强度要求该轴满足强度要求.(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题4 4 实心圆轴实心圆轴实心圆轴实心圆轴1 1和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴2 2（图（图（图（图a a、b b）材料）材料）材料）材料,扭转力偶矩扭转力偶矩扭转力偶矩扭转力偶矩MM 和长度和长度和长度和长度l l 均相等均相等均相等均相等,最大切应力也相等最大切应力也相等最大切应力也相等最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比若空心圆轴的内外径之比若空心圆轴的内外径之比若空心圆轴的内外径之比 =0.8=

39、0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比的重量比的重量比的重量比.ll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为d d1 1,空心空心空心空心圆截面的内、外径分别为圆截面的内、外径分别为圆截面的内、外径分别为圆截面的内、外径分别为 d d2 2、D D2 2;又又又又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等

40、，扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为设为设为设为 T T.已知：已知：已知：已知：dd2D2(Torsion)(Torsion)因此因此因此因此解得解得解得解得 两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面故两轴的重量比等于两轴的横截面故两轴的重量比等于两轴的横截面故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比面积之比面积之比面积之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料即节省材料

41、即节省材料即节省材料.(Torsion)(Torsion)1.1.1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的来度量的来度量的 3-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件(Torsional deformation of circular bars&stiffness condition)一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形(TorsionalTorsional deformation)deformation)其中其中其中其中 d d 代表相距为代表相距为代表相距为

42、代表相距为 d dx x 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角.长为长为长为长为 l l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算可按下式计算可按下式计算(Torsion)(Torsion)3.3.3.3.刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件（Stiffness condition)Stiffness condition)2.2.2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角(Angle of twist per unit

43、length)(Angle of twist per unit length)扭转角扭转角扭转角扭转角GIGIp p 称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度 称作许可称作许可称作许可称作许可单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角(Allowable angle of twist per unit length)(Allowable angle of twist per unit length)(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题5 5 图示等直杆图示等直杆图示等直杆图示等直杆,已知直径已知直径已知直径已知直径d d=40mm,=40mm,a a=40

44、0mm,=400mm,材料的剪切弹性材料的剪切弹性材料的剪切弹性材料的剪切弹性模量模量模量模量G G=80GPa=80GPa，DBDB=1.=1.试求：试求：试求：试求：（1 1）ADAD杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力;（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe e DBDB=CBCB+DCDC=1=1T Tmaxmax=3=3MMe e(Torsion)(

45、Torsion)（1 1）ADAD杆的最大杆的最大杆的最大杆的最大切切切切应力应力应力应力（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题6 6 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成,钢管钢管钢管钢管外径外径外径外径D D=76mm,=76mm,壁厚壁厚壁厚壁厚d d d d=2.5=2.5=2.5=2.5m

46、m,mm,轴传递的转矩轴传递的转矩轴传递的转矩轴传递的转矩MMe e=1.98kNm,=1.98kNm,材料的许用切应力材料的许用切应力材料的许用切应力材料的许用切应力 =100MPa,=100MPa,切变模量为切变模量为切变模量为切变模量为 G G=80GPa,=80GPa,轴的轴的轴的轴的许可许可许可许可扭角扭角扭角扭角 =2=2 /mm.试校核轴的试校核轴的试校核轴的试校核轴的强度和刚度强度和刚度强度和刚度强度和刚度.Ddd dMeMe(Torsion)(Torsion)解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内

47、、外径之比轴的内、外径之比轴的内、外径之比轴的内、外径之比由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件Ddd dMeMe(Torsion)(Torsion)将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使仍使仍使仍使 maxmax=96.1MPa=96.1MPad d=47.2mm=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比故两轴重量比等于两轴的横截

48、面积比故两轴重量比等于两轴的横截面积比故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料即节省材料即节省材料即节省材料.其截面面积为其截面面积为其截面面积为其截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题7 7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB,在截面在截面在截面在截面C C处受一个扭转力偶

49、矩处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩MMe e的作用的作用的作用的作用,如图所示如图所示如图所示如图所示.已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度 GIGIp p,试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶矩矩矩矩.CMeabABl(Torsion)(Torsion)解解解解:去掉约束去掉约束去掉约束去掉约束,代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩 这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题,须建立一个须建立一个须建立一个须建立一个补充方程补充方程补

50、充方程补充方程 ACBMeMeAMeB C C截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端A A和和和和B B的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等.杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是CMeabABl(Torsion)(Torsion)CMeabABl（1 1 1 1）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程（2 2 2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程解得解得解得解得ACBMeMeAMeB ACAC=BCBC(Torsio