【材料力学电子教案配材料力学】第十三章 能量法.ppt

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1、Chapter13 Energy Method112/4/2023212/4/20232(Energy Method)(Energy Method)第十三章第十三章 能量法能量法(Energy Methods)13-1 概述概述（Introduction)13-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算(Calculation of strain energy for various types of loading)13-3 互等定理互等定理（Reciprocal theorems)13-4 单位荷载法单位荷载法 莫尔定理莫尔定理(Unit-load method&mohrs theorem)13

2、-5 卡氏定理卡氏定理(Castiglianos Theorem)13-6 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法(The meth-od of moment areas for mohrs integration)212/4/2023312/4/20233(Energy Method)(Energy Method)13-1 概述概述（Introduction）在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量的能量的能量的能量,称为弹

3、性变形能称为弹性变形能称为弹性变形能称为弹性变形能,简称变形能简称变形能简称变形能简称变形能.一、能量方法一、能量方法一、能量方法一、能量方法 （Energy methods)Energy methods)三、变形能三、变形能三、变形能三、变形能（Strain energyStrain energy）二、外力功二、外力功二、外力功二、外力功（Work of the external forceWork of the external force）固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点

4、沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功外力因此而做功外力因此而做功外力因此而做功,则成为外力功则成为外力功则成为外力功则成为外力功.利用功能原理利用功能原理利用功能原理利用功能原理 V V =WW 来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移,变形和内力变形和内力变形和内力变形和内力等的方法等的方法等的方法等的方法.312/4/2023412/4/20234(Energy Method)(Energy Method)可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而

5、变形时,外力和内力均将作功外力和内力均将作功外力和内力均将作功外力和内力均将作功.对对对对于弹性体于弹性体于弹性体于弹性体,不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功,在在在在数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变能.V=W四、功能原理四、功能原理四、功能原理四、功能原理（Work-energy principleWork-energy principle）The formula:

6、The formula:（Work-Energy PrincipleWork-Energy Principle）We will not consider other forms of energy such as thermal We will not consider other forms of energy such as thermal energy,chemical energy,and electromagnetic energy.Therefore,if energy,chemical energy,and electromagnetic energy.Therefore,if

7、the stresses in a body do not exceed the elastic limit,all of work the stresses in a body do not exceed the elastic limit,all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.strain energy.412/

8、4/2023512/4/20235(Energy Method)(Energy Method)13-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算(Calculation of strain energy for various types of loading)一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算（Calculation of strain energy forCalculation of strain energy for various types of loading various types of loading）1.1.1.1.轴向拉压的变形能轴

9、向拉压的变形能轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads)Strain energy for axial loads)此外力功的增量为：此外力功的增量为：此外力功的增量为：此外力功的增量为：当拉力为当拉力为当拉力为当拉力为F F1 1 时时时时,杆件的伸长为杆件的伸长为杆件的伸长为杆件的伸长为 l l1 1 当再增加一个当再增加一个当再增加一个当再增加一个d dF F1 1时时时时,相应的变形增量为相应的变形增量为相应的变形增量为相应的变形增量为d(d(l l1 1)512/4/2023612/4/20236(Energy Method)(En

10、ergy Method)FF ll lF lFO l l1d l1dF1F1积分得积分得积分得积分得:612/4/2023712/4/20237(Energy Method)(Energy Method)根据功能原理根据功能原理根据功能原理根据功能原理 当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时:V V=WW,可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式712/4/2023812/4/20238(Energy Method)(Energy Method)（单位（单位（单位（单位 J/mJ/m3 3)比能比能比能比

11、能 （strain energy densitystrain energy density）:单位体积的应变能单位体积的应变能单位体积的应变能单位体积的应变能.记作记作记作记作u u u u 当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：812/4/2023912/4/20239(Energy Method)(Energy Method)2.2.2.2.扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能（Strain energy for Strain energy for torsionaltorsional loads loa

12、ds）或或l l MMe eMMe e MMe e912/4/20231012/4/202310(Energy Method)(Energy Method)纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲（pure bending)pure bending)横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲（nonuniformnonuniform bending bending）3.3.3.3.弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能（Strain energy for flexural loadsStrain energy for flexural loads）MMe e MMe eMMe e MMe e1

13、012/4/20231112/4/202311(Energy Method)(Energy Method)4.4.4.4.组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能（Strain energy for combined loads)Strain energy for combined loads)截面上存在几种内力截面上存在几种内力截面上存在几种内力截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立力独立作用原理成立力独立作用原理成立力独立作用原理成立,各

14、个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功.5.5.5.5.纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能 （Strain energy density for pure shearing state of stressesStrain energy density for pure shearing state of stresses）假设单元体左侧固定假设单元体左侧固定假设单元体左侧固定假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动因此变形后右侧将向下移动因此变形后右侧将向下移动因此

15、变形后右侧将向下移动 d dx x.1112/4/20231212/4/202312(Energy Method)(Energy Method)dxdydzxyzabd 因为很小因为很小因为很小因为很小,所以在变形过程中所以在变形过程中所以在变形过程中所以在变形过程中,上上上上下两面上的外力将不作功下两面上的外力将不作功下两面上的外力将不作功下两面上的外力将不作功.只有右侧只有右侧只有右侧只有右侧面的外力（面的外力（面的外力（面的外力（d dy yd dz z）对相应的位移对相应的位移对相应的位移对相应的位移 d dx x 作了功作了功作了功作了功.d dx x 当材料在线弹性范围内内工作时当

16、材料在线弹性范围内内工作时当材料在线弹性范围内内工作时当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比上述力与位移成正比上述力与位移成正比上述力与位移成正比,因此因此因此因此,单元体上单元体上单元体上单元体上 外力所作的功为外力所作的功为外力所作的功为外力所作的功为 比能为比能为比能为比能为1212/4/20231312/4/202313(Energy Method)(Energy Method)将将将将 =G G 代如上式得代如上式得代如上式得代如上式得dxdydzxyzabd d dx x 等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的

17、计算1312/4/20231412/4/202314(Energy Method)(Energy Method)将将将将代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得1412/4/20231512/4/202315(Energy Method)(Energy Method)二、二、二、二、变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式（General formula for strain energyGeneral formula for strain energy）F F-广义力广义力广义力广义力(包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶)-广义位移广义位移广义位

18、移广义位移(包括线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移)B B C C F3BCF2AF1 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值零增致最后值零增致最后值零增致最后值.1512/4/20231612/4/202316(Energy Method)(Energy Method)对于线性结构对于线性结构对于线性结构对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，位移与荷载之间是线性关系，位移与荷载

19、之间是线性关系，位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移任一广义位移任一广义位移任一广义位移,例如例如例如例如 2 2可表示为可表示为可表示为可表示为F3ABCF1F2B B C C1 1F F1 1,C C2 2F F2 2,C C3 3F F3 3 分别分别分别分别表示力表示力表示力表示力F F1 1,F F2 2,F F3 3 在在在在 C C 点引起的竖向位移点引起的竖向位移点引起的竖向位移点引起的竖向位移.C C1 1,C C2 2,C C3 3 是比例常数是比例常数是比例常数是比例常数.F F3 3/F F2 2在比例加载时在比例加载时在比例加载时在比例加载时也是常数也是常数也是常数

20、也是常数F F1 1/F F2 2和和和和 2 2 与与与与 F F2 2 之间的关系是线性的之间的关系是线性的之间的关系是线性的之间的关系是线性的.同理同理同理同理,1 1 与与与与 F F1 1,3 3 与与与与F F3 3 之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的.1612/4/20231712/4/202317(Energy Method)(Energy Method)在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 iF Fi iF3

21、ABCF1F2B B 克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）F Fi i i1712/4/20231812/4/202318(Energy Method)(Energy Method)三、变形能的应用三、变形能的应用三、变形能的应用三、变形能的应用（Application of strain energyApplication of strain energy）1.1.1.1.计算变形能计算变形能计算变形能计算变形能（Calculating strain energyCalculating strain ener

22、gy）2.2.2.2.利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflectionWork-energy principle for calculating deflection）例题例题例题例题1 1 试求图示悬臂梁的变形能试求图示悬臂梁的变形能试求图示悬臂梁的变形能试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端并利用功能原理求自由端并利用功能原理求自由端并利用功能原理求自由端B B的挠度的挠度的挠度的挠度.ABFlx解：解：解：解：由由由由V V=W=W 得得得得1812

23、/4/20231912/4/202319(Energy Method)(Energy Method)例题例题例题例题2 2 试求图示梁的变形能试求图示梁的变形能试求图示梁的变形能试求图示梁的变形能,并利用功能原理求并利用功能原理求并利用功能原理求并利用功能原理求C C截截截截面的挠度面的挠度面的挠度面的挠度.ABCFx1x2abl解：解：解：解：由由由由V V=W=W 得得得得1912/4/20232012/4/202320(Energy Method)(Energy Method)例题例题例题例题3 3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能试求图示四分之一圆曲杆的变形能试求图示四分之一圆曲杆的变形

24、能试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求并利用功能原理求并利用功能原理求并利用功能原理求B B截面的垂直位移截面的垂直位移截面的垂直位移截面的垂直位移.已知已知已知已知EIEI为常量为常量为常量为常量.解：解：解：解：A AB BF FO OR R 由由由由V V=W=W 得得得得2012/4/20232112/4/202321(Energy Method)(Energy Method)例题例题例题例题4 4 拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度EIEI,受到受到受到受到F F1 1和和和和F F2

25、 2 两个力作用两个力作用两个力作用两个力作用.(1)(1)若先在若先在若先在若先在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1,(2)(2)然后在然后在然后在然后在 C C 截面加截面加截面加截面加 F F2 2;(2)(2)若先在若先在若先在若先在 C C 截面加截面加截面加截面加 F F2 2,(3)(3)然后在然后在然后在然后在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F22112/4/20232212/4/202322(Energ

26、y Method)(Energy Method)（1 1）先在）先在）先在）先在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1,然后在然后在然后在然后在 C C 截面加截面加截面加截面加 F F2 2ABCabF1 （a a）在）在）在）在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1,B B截面的位移为截面的位移为截面的位移为截面的位移为 外力作功为外力作功为外力作功为外力作功为 （b b）再在）再在）再在）再在C C上加上加上加上加 F F2 2F2 C C截面的截面的截面的截面的位移为位移为位移为位移为 F F2 2 作功为作功为作功为作功为2212/4/20232312/4/202

27、323(Energy Method)(Energy Method)（c c）在加）在加）在加）在加F F2 2 后后后后,B B截面又有位移截面又有位移截面又有位移截面又有位移 在加在加在加在加 F F2 2 过程中过程中过程中过程中 F F1 1 作功（常力作功）作功（常力作功）作功（常力作功）作功（常力作功）所以应变能为所以应变能为所以应变能为所以应变能为ABCabF1F22312/4/20232412/4/202324(Energy Method)(Energy Method)（2 2）若先在）若先在）若先在）若先在C C截面加截面加截面加截面加F F2 2,然后然后然后然后B B截面加

28、截面加截面加截面加F F1 1.（a a）在）在）在）在C C截面加截面加截面加截面加F F2 2 后后后后,F F2 2 作功作功作功作功（b b）在在在在B B截面加截面加截面加截面加F F1 1后后后后,F F1 1作功作功作功作功ABCabF1F22412/4/20232512/4/202325(Energy Method)(Energy Method)（c c）加加加加 F F1 1引起引起引起引起 C C 截面的位移截面的位移截面的位移截面的位移 在加在加在加在加F F1 1过程中过程中过程中过程中F F2 2作功（常力作功）作功（常力作功）作功（常力作功）作功（常力作功）ABCa

29、bF1F2 所以应变能为所以应变能为所以应变能为所以应变能为注意：注意：注意：注意：（1 1）计算外力作功时计算外力作功时计算外力作功时计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别.（2 2）应变能）应变能）应变能）应变能V V 只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次序无关序无关序无关序无关.2512/4/20232612/4/202326(Energy Method)(Energy Me

30、thod)2 2 解解解解:梁中点的挠度为梁中点的挠度为梁中点的挠度为梁中点的挠度为:梁右端的转角为梁右端的转角为梁右端的转角为梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2 梁的变形能为梁的变形能为梁的变形能为梁的变形能为:1 1例题例题例题例题5 5 以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明应变能应变能应变能应变能V V 只与外力的最只与外力的最只与外力的最只与外力的最终值有关终值有关终值有关终值有关,而与加载过程而与加载过程而与加载过程而与加载过程和加载次序无关和加载次序无关和加载次序无关和加载次序无关.2612/4/20232712/4/202327(Ener

31、gy Method)(Energy Method)先加力先加力先加力先加力 F F 后后后后,再加力偶再加力偶再加力偶再加力偶 MMe e（1 1）先加力）先加力）先加力）先加力F F后后后后,C C 点的位移点的位移点的位移点的位移 力力力力F F 所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为（2 2）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值 MMe e B B 截面的转角为截面的转角为截面的转角为截面的转角为 力偶力偶力偶力偶 MMe e 所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me 1 1 2712/4/20232

32、812/4/202328(Energy Method)(Energy Method)先加上的力先加上的力先加上的力先加上的力F F所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为 C C截面的位移为截面的位移为截面的位移为截面的位移为 3 3ACBl/2l/2 F F与与与与力偶力偶力偶力偶MMe e所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2 1 1 Me2812/4/20232912/4/202329(Energy Method)(Energy Method)两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向的位移分别为的位移分别为的位移分别为

33、的位移分别为F F1 1,F F2 2（1 1）设在线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力 1 1,2 2一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理（Reciprocal work theorem Reciprocal work theorem）13-3 互等定理互等定理（Reciprocal Theorems)1 2F1F22912/4/20233012/4/202330(Energy Method)(Energy Method)F1F2 1 2 F F1 1 和和和和 F F2 2 完成的功应为完成的功应为完成的功应

34、为完成的功应为（2 2）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力F F3 3 ,F F4 4 沿沿沿沿 F F3 3和和和和 F F4 4方向的相应位移为方向的相应位移为方向的相应位移为方向的相应位移为 3 3,4 4F3 3 4F4 F F3 3 和和和和 F F4 4 完成的功应为完成的功应为完成的功应为完成的功应为3012/4/20233112/4/202331(Energy Method)(Energy Method)（3 3）在）在）在）在 F F3 3和和和和 F F4 4的作用下的作用下的作用下的作用下,F F1 1 和和和和F F2 2 的

35、作用点又有位移的作用点又有位移的作用点又有位移的作用点又有位移 F F1 1 和和和和 F F2 2 在在在在 1 1 和和和和 2 2 上上上上完完完完成的功应为成的功应为成的功应为成的功应为F1F2 1 2F3 3 4F4 因此因此因此因此,按先加按先加按先加按先加 F F1 1,F F2 2 后后后后F F3 3,F F4 4 的次序加力的次序加力的次序加力的次序加力,结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为 1 1 和和和和 2 2 3112/4/20233212/4/202332(Energy Method)(Energy Method)F1F2 1 2 3 4F4F

36、3 若按先加若按先加若按先加若按先加F F3 3,F F4 4 后加后加后加后加F F1 1,F F2 2 的次序加力的次序加力的次序加力的次序加力,又可求得结构的应变又可求得结构的应变又可求得结构的应变又可求得结构的应变能为能为能为能为 由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的最终值最终值最终值最终值,与加力的次序无关与加力的次序无关与加力的次序无关与加力的次序无关,故故故故3212/4/20233312/4/202333(Energy Method)(Energy Method)功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的

37、互等定理（reciprocal work theoremreciprocal work theorem）:第一组力在第二第一组力在第二第一组力在第二第一组力在第二组力引起的位移上所作的功组力引起的位移上所作的功组力引起的位移上所作的功组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位等于第二组力在第一组力引起的位等于第二组力在第一组力引起的位等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功移上所作的功移上所作的功移上所作的功.二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem)Reciprocal displacem

38、ent theorem)若第一组力若第一组力若第一组力若第一组力 F F1 1,第二组力只有第二组力只有第二组力只有第二组力只有 F F3 3,则则则则如果如果如果如果 F F1 1=F F3 3,则有则有则有则有3312/4/20233412/4/202334(Energy Method)(Energy Method)位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理（reciprocal work theoremreciprocal work theorem）：F F1 1作用点沿作用点沿作用点沿作用点沿 F F1 1 方向方向方向方向因作用因作用因作用因作用 F F3 3而而而而引起的位移

39、等于引起的位移等于引起的位移等于引起的位移等于F F3 3 作用点沿作用点沿作用点沿作用点沿 F F3 3 方向方向方向方向因作用因作用因作用因作用 F F1 1而而而而引起的位移引起的位移引起的位移引起的位移.（The deflection at A due to a The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load load acting at B is equal to the deflection at B due to the same

40、load acting at A)acting at A)三、注意三、注意三、注意三、注意（NoticeNotice）（1 1）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的.（2 2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变只是由变只是由变只是由变形引起的位移形引起的位移形引起的位移形引起的位移.3412/4/20233512/4/202335(Energy Method)(Energy Method)13-4

41、 单位荷载法单位荷载法 莫尔定理莫尔定理 （Unit-load method&mohrs theorem）一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导（Derivation of Derivation of mohrsmohrs theorem theorem）求任意点求任意点求任意点求任意点A A的位移的位移的位移的位移w wA A F1F2A3512/4/20233612/4/202336(Energy Method)(Energy Method)A图图图图b b 变形能为变形能为变形能为变形能为a aA图图图图F1F2=1F0AF1F2图图图图c cwAF F

42、0 0=1=1 （1 1）先在）先在）先在）先在A A点作用单点作用单点作用单点作用单位力位力位力位力F F0 0,再作用再作用再作用再作用F F1 1、F F2 2力力力力3612/4/20233712/4/202337(Energy Method)(Energy Method)（2 2）三个力同时作用时）三个力同时作用时）三个力同时作用时）三个力同时作用时 任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩:变形能变形能变形能变形能:3712/4/20233812/4/202338(Energy Method)(Energy Method)（Mohrs TheoremMohrs Th

43、eorem）桁架：桁架：桁架：桁架：二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理（General formula for General formula for mohrsmohrs theorem theorem）注意注意注意注意:上式中上式中上式中上式中 应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相对应的广义力对应的广义力对应的广义力对应的广义力.3812/4/20233912/4/202339(Energy Method)(Energy

44、 Method)三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项 （5 5）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构.（1 1）MM（x x）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力）：结构在原载荷下的内力;（3 3）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲;（2 2）去掉主动力去掉主动力去掉主动力

45、去掉主动力,在所求在所求在所求在所求 广义位移点广义位移点广义位移点广义位移点,沿所求沿所求沿所求沿所求广义位广义位广义位广义位移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时,结构产生的内力结构产生的内力结构产生的内力结构产生的内力;MM （4 4）与与与与MM（x x）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可每段杆的坐标系可自由建立自由建立自由建立自由建立;MM（x x）3912/4/20234012/4/202340(Energy Method)(Energy Meth

46、od)A例题例题例题例题5 5 抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI的等截面简支梁受均布荷载作用的等截面简支梁受均布荷载作用的等截面简支梁受均布荷载作用的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载用单位载用单位载用单位载荷法求梁中点的挠度荷法求梁中点的挠度荷法求梁中点的挠度荷法求梁中点的挠度 w wC C 和支座和支座和支座和支座A A截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角.剪力对弯曲的影响剪力对弯曲的影响剪力对弯曲的影响剪力对弯曲的影响不计不计不计不计.qBCll/2ql/2ql/2解解解解:在实际荷载作用下在实际荷载作用下在实际荷载作用下在实际荷载作用下,任一任一任一任一 x x

47、截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为4012/4/20234112/4/202341(Energy Method)(Energy Method)AAB11/21/2C（1 1）求）求）求）求C C 截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度 在在在在C C点加一向下的单位力点加一向下的单位力点加一向下的单位力点加一向下的单位力,任一任一任一任一 x x 截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/24112/4/20234212/4/202342(Energy Method)(Energy Method)ql/2AAB11/l1/lx（2 2）求）求

48、）求）求A A截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 在在在在 A A 截面加一单位力偶截面加一单位力偶截面加一单位力偶截面加一单位力偶 引起的引起的引起的引起的 x x 截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为截面的弯矩为qCll/2（顺时针）顺时针）顺时针）顺时针）ql/24212/4/20234312/4/202343(Energy Method)(Energy Method)B例题例题例题例题6 6 图示外伸梁图示外伸梁图示外伸梁图示外伸梁,其抗弯刚度为其抗弯刚度为其抗弯刚度为其抗弯刚度为 EIEI.用单位载荷法求用单位载荷法求用单位载荷法求用单位载荷法求C C点的点的点的点的挠度和转角

49、挠度和转角挠度和转角挠度和转角.ACqF=qaa2a4312/4/20234412/4/202344(Energy Method)(Energy Method)BAABCa2a1解：解：解：解：x AB AB:（1 1）求截面的挠度（在）求截面的挠度（在）求截面的挠度（在）求截面的挠度（在C C 处加一单位力处加一单位力处加一单位力处加一单位力“1”1”）CqF=qaa2aFRAx1/24412/4/20234512/4/202345(Energy Method)(Energy Method)BCBC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx14512/4/20234612/4/20

50、2346(Energy Method)(Energy Method)BA BC BC:AB AB:（2 2）求）求）求）求C C 截面的转角（在截面的转角（在截面的转角（在截面的转角（在C C处加一单位力偶）处加一单位力偶）处加一单位力偶）处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA4612/4/20234712/4/202347(Energy Method)(Energy Method)例题例题例题例题7 7 刚架的自由端刚架的自由端刚架的自由端刚架的自由端A A作用集中力作用集中力作用集中力作用集中力F F.刚架各段的抗弯刚度已于图刚架各段的抗弯刚度已于图刚架