衡阳八中2016年高一下学期数学竞赛试题有答案.docx

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1、2016年衡阳市八中高一数学竞赛试卷一选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共50分）1.集合的子集有 （ C ）A4个 B8个 C16个 D32个2.在四边形ABCD中，则 （ D ）A. B. C. D.3给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交；（2）对平面，和直线，若，则；（3）对平面，和直线，若，则；（4）对直线，和平面，若，且过平面内一点，则其中正确的判断有 （ B ）A1个 B2个 C3个 D4个1114.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积是（A） 正视图 侧视图A 俯视图5已知，且，函

2、数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为 （ B ）A B C D6设，则 （ C ）A B C D 7函数（A）A是偶函数但不是奇函数B是奇函数但不是偶函数C既是偶函数又是奇函数D既不是偶函数也不是奇函数8已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 （ A ）9. 设圆上有且只有两点到直线的距离等于1,则圆的半 径的取值范围是 ( C ) A. B. C. D. 10定义，已知则的零点个数可能为 ( D )A B C D 函数的零点个数，即函数与交点的个数，根据已知图象可得或 而即或，分别有2个解，而即或，分别有2个解，1个解，所以的零点个数可能为2+2+2+1=7，故选择D二填空题

3、（本大题共有5小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空5分，共25分）1已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为 。2.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥的顶点都在球的表面上，且平面若, 则球的表面积为_ _ 3若直线与曲线有2个不同的公共点，则实数的取值范围是_4.如果，那么 .5.已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最小值为 由题意可得，因为为平面内两个互相垂直的单位向量。所以即，所以可得，令 ，此方程有实根，由，即三解答题（本大题共有6小题，共75分）16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，平面，为的中点(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正切值17在中

4、，已知点，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 由，解得。 点的坐标为。 18在的边上分别有一点，已知，连接，设它们交于点，若（1）用与表示；（2）若，与夹角为，过作交于点，用与表示【答案】（1）=+（2）=+【解析】试题分析：（1）由题意知=，=，从而由A，R，Q三点共线可得=+=+m（）=（1m）+m，同理化简可得=+（1n），从而解得；（2）由A，H，B三点共线可得=+（1），=（）+（），结合=0解得即可解：（1）=，=

5、，由A，R，Q三点共线，可设=m故=+=+m=+m（）=+m（）=（1m）+m同理，由B，R，P三点共线，可设=n故=+=+n（）=+（1n）由于与不共线，则有解得=+（2）由A，H，B三点共线，可设=，则=+（1），=（）+（）又，=0（）+（）（）=0又=|cos 60=1，=，=+19已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立（1）若函数，求实数的取值范围；（2）若函数，试证明：.解：（1）因为函数，存在，使得即有实根故当时，符合题意；当时，由得：，得且综上：（2）函数时，因为是单调递增函数，且，故存在，使得成立，即20函数（1）当时，求的单调递增区间；（2）若恒成立

6、，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据，同时设，得到函数，根据复合函数的单调性，在上单调递减，所以在上单调递减才是函数的单调递增区间，所以令，解得的取值范围；（2）将不等式范围转化为，再利用基本不等式求函数的最大值，得到的取值范围试题解析：（1）令，记，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递减令，解得故函数的单调递增区间为（2）由1得 即 ，等号成立时故4的最大值是从而21已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点（1）求动点的轨迹的方程；（2）若过点的直线与曲线交于不同两点当时，求直线的方程；设点是轴上一点，求当恒为定值时点的坐标及定值【答案】（1）；（2）

7、；，定值【解析】试题分析：（1）设点，通过是的中点，的距离，列出方程即可求动点的轨迹的方程；（2）若过点的直线与曲线交于不同两点，分直线的斜率存在和斜率不存在时两种情况讨论，根据和点到直线的距离，分别列出方程求解的值，从而求得直线的方程；当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，由消去得，由韦达定理及，确定为定值，当直线的斜率不存在，求出，得到，即可恒定值时的坐标及定值试题解析：(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，b), D是AB的中点， x，y， |AB|2，(ab)2(ab)212，(2y)2(2x)212，点D的轨迹C的方程为x2y23.(2) 当直线l与x轴垂直时，P(1，)

8、，Q(1，)，此时|PQ|2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由于|PQ|3，所以圆心C到直线l的距离为，由，解得k.故直线l的方程为y(x1).当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为yk(x1)，由消去y得(k21)x22k2xk230， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1x2，x1x2，则(mx1，y1)，(mx2，y2)，(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2 (1)要使上式为定值须1，解得m1，为定值2，当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，)，由E(1，0)可得(0，)，(0，)，2，综上所述当E(1，0)时，为定值2.