2014年天津高考文科数学试题及答案.docx

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）是虚数单位，复数（ ）A. B. C. D. （2）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命题（ ）A. B. C. D.4. 设则（ ）A. B. C. D.5. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）A.2 B.-2 C. D .6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.7.

2、 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分；.则所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 8.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.10.一个几何体的三视

3、图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为_.12.函数的单调递减区间是_.13.已知菱形的边长为，点，分别在边、上，.若，则的值为_.（14） 已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_三 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15） （本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1） 用表中字母列举出所有可能的结果（2） 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.（

4、16） （本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为，已知，（1） 求的值；（2） 求的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B为， 证明：平面PBC平面ABCD 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分） 已知函数（1） 求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存

5、在，使得，求的取值范围20（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，（1） 当时，用列举法表示集合A；设其中证明：若则.2014年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯word解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（文01）】是虚数单位，复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【2014年天津卷（文02）】设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】画出可行域，如图所示解方程组得即点A(1，1)当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin11213.【2014年天津卷

6、（文03）】已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）ex01Bx00，使得（x0+1）ex01Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex1【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）e1，【2014年天津卷（文04）】设a=log2，b=log，c=2，则（）AabcBbacCacbDcba【答案】C【解析】log21，log0，021，即a1，b0，0c1，acb【2014年天津卷（文05）】设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD【答案

7、】D【解析】an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：【2014年天津卷（文06）】已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【答案】A【解析】令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1【2014年天津卷（文07）】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的

8、平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD【答案】D【解析】圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，FBD=BAFBD是BAC的平分线，BAF=DACDBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得AFBD=ABBF即结论成立【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）=sin

9、x+cosx（0），xR，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）ABCD2【答案】C【解析】 已知函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）（0），xR，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，T=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、

10、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为30060【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_.【答案】【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V124222.【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为【答案】-4【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=8，n=2；第二次循环得到：S=4，n=1；退出循环，输出4【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是 【答案】（，0）【解析】

11、方法一：y=lgx2=2lg|x|，当x0时，f（x）=2lgx在（0，+）上是增函数；当x0时，f（x）=2lg（x）在（，0）上是减函数函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）方法二：原函数是由复合而成，t=x2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，f（x）=lgx2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数，函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF、若=1，则的值为【答案】2【解析】BC=3BE，DC=DF，=

12、，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形ABCD的边长为2，BAD=120，|=|=2，=22cos120=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即4+42（1+）=1，整理得，解得=2【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为【答案】（1，2）【解析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a0，不满足条件，a0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，要使函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则1a2三、解答

13、题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（）用表中字母列举出所有可能的结果；（）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率解：（）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、

14、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z） 共计15个结果（）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为 =【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值解：（）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=； （）cosA=，A为三角形内角，sinA=

15、， cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=， 则cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=+=【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明EF平面PAB；（）若二面角PADB为60，（i）证明平面PBC平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值解：（）证明：连结AC，ACBD=H，底面ABCD是平行四边形，H为BD中点，E是棱AD的中点在ABD中，EHAB，又AB平面PAB，EH平面PAD，EH平面PAB同理可证，

16、FH平面PAB又EHFH=H，平面EFH平面PAB，EF平面EFH，EF平面PAB；（）（i）如图，连结PE，BEBA=BD=，AD=2，PA=PD=，BE=1，PE=2又E为AD的中点，BEAD，PEAD，PEB即为二面角PADB的平面角，即PEB=60，PB=PBD中，BD2+PB2=PD2，PBBD，同理PBBA，PB平面ABD，PB平面PBC，平面PAB平面ABCD；（ii）由（i）知，PBBD，PBBA，BA=BD=，AD=2，BDBA，BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系BDAP，则有A（0，0），B（0，0，

17、0），C（，0），D（，0，0），P（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），E，F分别是棱AD，PC的中点，E（，0），F（，），=（0，），=，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程解：（）依题意可知=2c，b2=a2c2

18、，a2+b2=2a2c2=3c2，a2=2c2，e= （）由（）知a2=2c2，b2=a2c2=c2，椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（c，0）设P点坐标（csin，ccos），圆心为OPB为直径，BF1PF1，kBF1kPF1=1，求得sin=或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cos=P坐标为（c，c），圆心坐标为（c，c），r=|OB|=c，|OF2|=c，r2+|MF2|2=|OF2|2，+8=c2，c2=3，a2=6，b2=3，椭圆的方程为+=1【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR（

19、）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围解：（）f（x）=2x2ax2=2x（1ax），a0，当x0或x时，f（x）0，当时，f（x）0，f（x）单调递减区间为：（，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，显然A下

20、面分三种情况讨论：（1）当2，即0a时，由f（）=0可知，0A，而0B，A不是B的子集；（2）当12，即时，f（2）0，且f（x）在（2，+）上单调递减，故A=（，f（2），A（，0）；由f（1）0，有f（x）在（1，+）上的取值范围包含（，0），即（，0）B，AB；（3）当1，即a时，有f（1）0，且f（x）在（1，+）上单调递减，故B=（，0），A=（，f（2），A不是B的子集综上，a的取值范围是【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若anbn，则st（）解：当q=2，n=3时，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3 可得A=0，1，2，3，4，5，6，7（）证明：由设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，nanbn，anbn1可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1=0st