内蒙古赤峰二中2023-2024学年高三上学期第三次月考 数学（理）含答案.pdf

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1、赤峰二中赤峰二中 2024 届高三年级第三次月考试题数学届高三年级第三次月考试题数学(理理)试卷试卷考试时间：考试时间：120 分钟分钟 全卷满分：全卷满分：150 分注意事项：分注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择回答非选择 题时，将答案写在答题卡上题时，

2、将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第第卷卷(选择题选择题)一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合,xABz zxA yBy已知集合4,8A，1,2,4B，则AB的元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.若 i 是虚数单位，则复数2019i23iz 的虚部等于（）A 2B.2C.2iD.2i3.某射击运动员连续射击 5 次，

3、命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为 8，唯一的众数为 9，极差为 3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.24.2023 年 8 月 8 日，第 31 届世界大学生夏季运动会（成都世界大学生运动会）完美收官在倒计时 100天时，成都大运会发布了官方体育图标“十八墨宝”这组“水墨熊猫”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致“十八般武艺”造就“十八墨宝”，花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等 18 个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱其中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦

4、中点的距离为 2cm，弦长为 8cm，则弓形的面积约为（参考数据：sin740.96，3.14）（）.A.28.2cmB.29.1cmC.211.1cmD.24.1cm5.点 A 是曲线23ln2yxx上任意一点，则点 A 到直线21yx最小距离为（）A.510B.55C.2 55D.56.等比数列 na中，12345114aaaaa，314a ，则1234511111aaaaa（）A.44B.6411C.1611D.117.已知tan2tan74，则sin2（）A.2B.2C.45D.458.若两个正实数 x，y 满足3xy，且不等式24163111mmxy恒成立，则实数 m 的取值范围为（

5、）A.12mmB.1m m 或2m C.12mm D.1m m 或2m 9.已知数 列 na的 首 项 为1，D是ABC边BC所 在 直 线 上 一 点，且13120nnCAaADaAB ，则数列 na的通项公式为（）A.32nB.132nC.15314n D.5314n 10.腰长为2的等腰ABC的顶角为A，且3cos4A，将ABC绕BC旋转至BCD的位置得到三棱锥DABC，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（）的在 A.507 B.8C.7D.8 27 11.ABC中，sincos22BA，则ACBCAB的取值范围是（）A.112，B.1 13 2，C.1 22 3，D.1 23 3，12.

6、高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数 f xx称为高斯函数，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如2.32，1.92，已知数列 na满足11a，25a，2145nnnaaa，若21lognnba，nS为数列18108nnbb的前 n 项和，则2025S（）A.2026B.2025C.2024D.2023第第卷卷(非选择题非选择题)二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.函数()sin(2)f xx的图象向左平移3个单位得到函数 g x的图象，若函数 g x是偶函数，则tan_14.已

7、知1 2,1ak，3,bk，若a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_.15.已知 A，B，C 是双曲线22221xyab（0a，0b）上的三点，直线 AB 经过原点 O，AC 经过右焦点F，若BFAC，且32CFFA ，则该双曲线的离心率为_16.已知函数 21,0e,0 xxxf xxx x，若关于x的不等式 20fxaf x恰有一个整数解，则实数a的取值范围为_.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答题写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤解答题写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题为必考的题，每个试题考生都必修作答题，每个试题考生都必修作答.第第

8、22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.教育是阻断贫困代际传递的根本之策补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在治贫先治愚，扶贫先扶智为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选已知这 5 名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有支教经验（1）求 5 名优秀教师中的“甲”，在这 3 批次支教活动中恰有两次

9、被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；18.已知数列 na满足12312121223nnaaaaaaaaann（1）求 na通项公式；（2）求数列nan的前 n 项和nS19.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ACDE 是正方形，DF/BC，ABAC，AE平面 ABC，AB=AC=2，EF=DF=2.（1）求证:平面 BCDF平面 BEF；（2）求二面角 A-BF-E 的余弦值.20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点13,0F，23,0F，点 P 满足122 6PFPF记 P 的轨迹为 M（1）求 M 的方程；（2）直线30 xy交 M 于 A，B 两

10、点，C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线CDAB，求四边形 ACBD 面积的取值范围21.已知函数 2ln12af xxxax.的（1）讨论函数 f x的单调性；（2）设12,x x，（120 xx）是函数 g xf xx的两个极值点，证明：12ln2ag xg xa恒成立.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为12cos12s

11、inxy （为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（0,，R），已知直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点.（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为 P，若OP恒成立，求实数的取值范围【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】23.已知函数 322f xxxx.（1）求 f x的最小值m；（2）若,a b为正实数，且20abm，证明不等式22111abba.赤峰二中赤峰二中 2024 届高三年级第三次月考试题届高三年级第三次月考试题数学数学(理理)试卷试卷考试时间：考试时间：120 分钟分钟 全卷满分：全卷满分：150 分分注

12、意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择回答非选择 题时，将答案写在答题卡上题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第第卷卷(选择题选择题)一、选择题：本题共

13、一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合,xABz zxA yBy已知集合4,8A，1,2,4B，则AB的元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，直接进行计算即可.【详解】因为4,8A，1,2,4B，所以1,2,4,8AB，故AB的元素的个数为 4故选：B.2.若 i 是虚数单位，则复数2019i23iz 的虚部等于（）A.2B.2C.2iD.2i【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的运算化

14、简得答案【详解】20194 504 3i23ii23ii 23i32iz ，复数z的虚部等于2故选：B3.某射击运动员连续射击 5 次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为 8，唯一的众数为 9，极差为 3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B【解析】【分析】首先分析数据情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为6789

15、97.85.故选：B4.2023 年 8 月 8 日，第 31 届世界大学生夏季运动会（成都世界大学生运动会）完美收官在倒计时 100天时，成都大运会发布了官方体育图标“十八墨宝”这组“水墨熊猫”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致“十八般武艺”造就“十八墨宝”，花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等 18 个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱其中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为 2cm，弦长为 8cm，则弓形的面积约为（参考数据：sin740.96，3.14）（）A.28.2cmB.29.

16、1cmC.211.1cmD.24.1cm【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出弓形弧所对圆心角的大小，再求出扇形、三角形面积即可得解.【详解】依题意，弦 AB 中点为 D，弧 AB 的中点为 C，2cmCD，8cmAB，4cmAD，如图，的设圆的半径为 R，AOC，090，在AOD中，22224RR，解得5cmR，4sin5，3cos5显然sincos，则4590，902180，24sin22sincos25，于是2180741.85rad，因此扇形的面积21211.85 523.1cm2S，而AOB的面积2218 312cm2S ，所以弓形面积约为21211.1cmSS.故选：C5.点

17、 A 是曲线23ln2yxx上任意一点，则点 A 到直线21yx的最小距离为（）A.510B.55C.2 55D.5【答案】A【解析】【分析】动点A 在曲线23ln2yxx，则找出曲线上某点的斜率与直线21yx的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设 23ln2f xxx，定义域为：0,对 f x求导可得：13fxxx令 2fx解得：1x（其中13x=-舍去）当1x 时，32y，则此时该点31,2到直线21yx的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：32125d解得：510d 故选：A6.在等比数列 na中，12345114aaaaa，314a ，则123451111

18、1aaaaa（）A.44B.6411C.1611D.11【答案】A【解析】【分析】设51234511111Taaaaa，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设51234511111Taaaaa，则5152433452111111111112Taaaaaaaaaa1234515331524242152433241532 aaaaaaaaaaaaaaaa aa aa aa aa aa211248814 ，所以544T .故选：A7.已知tan2tan74，则sin2（）A.2B.2C.45D.45【答案】D【解析】【分析】根据题意利用两角和的正切公式可得tan2，再利用倍角公式结合齐次式问题运

19、算求解.【详解】因为tantantan14tan2tan741tan1tantan4，整理得2tan4tan40，解得tan2，所以2222sincos2tan4sin2sincostan15.故选：D.8.若两个正实数 x，y 满足3xy，且不等式24163111mmxy恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A.12mmB.1m m 或2m C.12mm D.1m m 或2m【答案】A【解析】【分析】不等式24163111mmxy恒成立，只要2min4163111mmxy即可，根据基本不等式中“1”的整体代换求出4161xy的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由题意知，161

20、416141614141614141xyxyxyxyxy 16114202941xyxy，当且仅当16141xyxy，即18,33xy时取等，又不等式24163111mmxy恒成立，则不等式23119mm，解得12m，所以实数 m 的取值范围为12mm.故选：A.9.已知数 列 na的 首 项 为1，D是ABC边BC所 在 直 线 上 一 点，且13120nnCAaADaAB ，则数列 na的通项公式为（）A.32nB.132nC.15314n D.5314n【答案】A【解析】【分析】根据三点共线可得递推关系式134nnaa，构造出等比数列2na，由等比数列通项公式可推导求得结果.【详解】由1

21、3120nnCAaADaAB 得：1312nnACaADaAB，,B C D三点共线，13121nnaa，即134nnaa，1232nnaa，又123a，数列2na 是以3为首项，3为公比的等比数列，23nna，则32nna.故选：A.10.腰长为2的等腰ABC的顶角为A，且3cos4A，将ABC绕BC旋转至BCD的位置得到三棱锥DABC，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（）A.507 B.8C.7D.8 27【答案】A【解析】【分析】在ABC中，求得2BC，根据题意得到三棱锥DABC体积最大时，平面DBC 平面ABC，取BC中点E，得到DEBC，进而得到21/OOO E且21OOO E，设三

22、棱锥DABC外接球 的 半 径 为R，分 别 求 得ABC和BCD的 外 接 圆 的 半 径12,r r，结 合222222212()ROODOAErr，进而求得外接球的表面积.【详解】在ABC中，因为32,cos4ABACA，可得2222232cos222 2 224BCABACAB ACA ，所以2BC，当三棱锥DABC体积最大时，平面DBC 平面ABC，因为2DCDB，取BC中点E，则DEBC，设1O为ABC外接圆圆心，O为三棱锥DABC外接球心，则1/OODE，再设2O为BCD外接圆圆心，1OO 平面DBC，则21/OOO E且21OOO E，设三棱锥DABC外接球的半径为R 在直角2

23、ODO中，可得ODR且22222ROODO，因为3cos4A，可得7sin1 cos4AA所以ABC外接圆半径14 142sin7BCrA，所以12 147r，因为ABCBCD，所以BCD的外接圆的半径22 147r，且AEDE，7sinsin4AD在BCD中，可得11sin22DB DCDBC DE，可得142DE，所以22222222212142 142 1425()()()27714ROODOAErr，所以外接球的表面积为25047SR.故选：A.11.ABC中，sincos22BA，则ACBCAB的取值范围是（）A.112，B.1 13 2，C.1 22 3，D.1 23 3，【答案】

24、B【解析】【分析】化简得到coscos2BA，从而得到2AB，得到3CA，0,3A，利用正弦定理得到12cos1ACBCABA，从而得到ACBCAB的取值范围.【详解】sincoscos22BBA，在ABC中，,0,A B，故2AB或22AB，当22AB时，2BA，故AB，不合要求，舍去，所以2AB，23CABAAA，因为,0,A B，所以20,A，即0,2A，因为30,CA，所以0,3A，由正弦定理得sinsinsinACABBCBCA，故sinsinsin2sin2sincossin2sincossinsinsin 3sin 2sin2 coscos2 sinACBCBAAAAAAAAAA

25、BCAAAAAAA因为0,A，所以sin0A，故222cos12cos12cos12coscos24cos12cos12cos1ACBCAAAABAAAAA，因为0,3A，所以2cos10A，故12cos1ACBCABA，因为0,3A，所以1cos,12A，2cos1,2A，2cos12,3A，故112c s13 2o1ACBCABA，.故选：B【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

26、或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.12.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数 f xx称为高斯函数，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如2.32，1.92，已知数列 na满足11a，25a，2145nnnaaa，若21lognnba，nS为数列18108nnbb的前 n 项和，则2025S（）A.2026B.2025C.2024D.2023【答案】B【解析】【分析】根据递推公式证明数列1nnaa为等比数列，然后由等比数列通项公式可得14nnnaa，利用累加法求na，再对21logn

27、a进行放缩求nb，最后由裂项相消法求出nS，根据高斯函数可得答案.【详解】由2145nnnaaa得2114nnnnaaaa，又215 14aa，所以数列1nnaa是以 4 为首项和公比的等比数列，故14nnnaa，由累加法得 111211nnnnnaaaaaaaa1141444 13nnn，所以121241loglog3nnnba，111222241loglog41log 3log 41213nnnn，又12224 1 441logloglog 4233nnnn，2nbn，令18108nnncbb，1810881081120272221nnncbbnnnn，121111112027 12231

28、nnnSccccnn，12027 11nSn，代入2025n 得202512027120252026S.故选：B【点睛】本题难点在于考察知识点多，解答过程曲折不易思考，每个知识点的考察难度不算太大，这就要求学生对数列知识掌握全面，并且对问题掌握一定的分析方法.第第卷卷(非选择题非选择题)二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.函数()sin(2)f xx图象向左平移3个单位得到函数 g x的图象，若函数 g x是偶函数，则tan_【答案】33【解析】【分析】根据函数图象的平移可得 sin(2233)gfxxx，进而根据偶函数即可求

29、解,Z6kk,进而可求解.【详解】sin(2233)gfxxx，由于 g x是偶函数，所以2,Z32kk,故,Z6kk，所以3tantantan663k，故答案为：33的14.已知1 2,1ak，3,bk，若a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_.【答案】3,11,7【解析】【分析】由已知0a b 且a、b不共线，结合向量的坐标运算可得出关于k的不等式组，由此可解得实数k的取值范围.【详解】由已知0a b 且a、b不共线，则3 1 201 23a bkkkk ，解得37k 且1k .所以，实数k的取值范围是3,11,7.故答案为：3,11,7.15.已知 A，B，C 是双曲线22221xy

30、ab（0a，0b）上的三点，直线 AB 经过原点 O，AC 经过右焦点F，若BFAC，且32CFFA ，则该双曲线的离心率为_【答案】375【解析】【分析】利用双曲线定义，作出辅助线构造矩形，利用勾股定理求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为 E，连接 AE，CE，BE，由题意知BFAE，BEAF，BFAC，四边形 AEBF 为矩形，令BFAEm，BEAFn，2CECFAEAFa，32CFFA ，在RtEAC中，22233222mnnan，将2amn代入可得6mn，25na，125ma，在RtEAF中，2222mnc，即222122255aac，可得375cea故答案为：375.16.已知函数

31、21,0e,0 xxxf xxx x，若关于x的不等式 20fxaf x恰有一个整数解，则实数a的取值范围为_.【答案】232,1e 2e,【解析】【分析】由导数得出函数 f x的图像，讨论a与0的关系，结合图像得出实数a的取值范围.【详解】当0 x 时，2e1 e10eeexxxxxxxxfx，即函数 f x在,0上单调递增 3232e2e10,01,1,0,22ffffff 函数 f x的图像如下图所示：由 20fxaf x得出 0f xf xa，当0a 时，显然不成立.但0a 时，解得()0af x，使得不等式只有唯一整数解，此时322eea .即23e2ea时，唯一整数解是2x ，当a

32、，得01x，令 0fx，得1x，所以 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减；当01a时，令()0fx，得01x或1xa，令 0fx，得11xa，所以 f x在0,1，1,a上单调递增，在11,a上单调递减；的是当1a 时，则 0fx，所以在0,上 f x单调递增；当1a 时，令()0fx，得10 xa或1x，令 0fx，得11xa，所以 f x在10,a，1,上单调递增，在1,1a上单调递减；综上，当0a 时，f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减；在01a时，f x在0,1，1,a上单调递增，在11,a上单调递减；当1a 时，f x在0,上单调递增；当1a 时，f x10,a，1,

33、上单调递增，在1,1a上单调递减，（2）2ln2ag xf xxxxax，则 g x的定义域为0,，211axaxaxaxxgx，若 g x有两个极值点，1x，2x（120 xx），则方程210axax 的判别式240aa，且121xx+，1210 x xa，所以4a，因为120 xx，所以21121xx xa，得110 xa，所以 2212111222111lnlnlnln222aaag xg xxxaxxxaxxaxax，设 lnln2ah ttatat，其中110,txa，令2()0h tat得2ta，又2120aaaa，所以()h t在区间20,a内单调递增，在区间21,aa内单调递减

34、，即 h t的最大值为22ln2ln22ahaa，而2ln220，22ln2 ln2ln22aahaaa，从而12ln2ag xg xa恒成立.【点睛】在求含有参数的函数单调性时，结合导函数的形式，对参数进行讨论是解题的关键，极值点问题在通常可以转化为零点问题进行求解，遇到证明恒成立问题，根据函数的形式，采用构造新函数的方法可以达到事半功倍的效果.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】22.在平面直

35、角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为12cos12sinxy （为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（0,，R），已知直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点.（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为 P，若OP恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）22 cos2 sin20 （2）2,【解析】【分析】（1）参数方程消去参数，可得曲线C的直角坐标方程，再由cossinxy得曲线C的极坐标方程；（2）利用三角函数的恒等变换和极径求出结果【小问 1 详解】曲线C的参数方程为12cos12sinxy （为参数），曲线C的直角坐标方程为

36、22(1)(1)4xy，化为一般式得：222220 xyxy，设cossinxy，22 cos2 sin20，曲线C的极坐标方程为：22 cos2 sin20.【小问 2 详解】联立和22 cos2 sin20，得22(cossin)20，易得0，设1,M、2,N，则212(sincos)sin422，由12|2OP，得|2 sin24OP，当34时，|OP取最大值2，所以实数的取值范围为 2,).【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】23.已知函数 322f xxxx.（1）求 f x的最小值m；（2）若,a b为正实数，且20abm，证明不等式22111abba.【答案】（1）1

37、 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【小问 1 详解】由题知 1,021,0125,131,3xxxf xxxx，其函数图象如图所示，所以，min1f x.【小问 2 详解】由（1）可知2ab，则 114ab，解法一：利用基本不等式：222211111411abababbaba2222221111214114aabbabababba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.解法二：利用柯西不等式：222211111411abababbaba1111411abbaba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.