第18章 勾股定理学与练(二)(含答案).docx

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1、第18章 勾股定理学与练(二)一、知识导学1、特殊三角形中三边关系： RtABC中，C=90，A，B，C的对边分别为a，b，c， 说明： 如图:在RtABC中，C=90，A=B=45,b=a 在RtABC中，C=90，B=60，A=30，如下图。 即 2、在运用勾股定理的时候，往往与方程相结合，通过解方程(组)来解决问题。这是方程思想在几何中运用的典型之一。3、勾股定理是基本的一个定理，在数学中运用广泛，在很多定理、公式的推导中都有所运用。二、例题解析： 例1. 若正方形的面积是4，则它的对角线长是多少？ 解：如图所示，在直角三角形ABC中， 例2. 若等腰三角形的一底角为30，底边上的高为9

2、cm，则这个等腰三角形的底边长是多少？ 解：在ABC中，ADBC， 故而ABD是直角三角形，有 又B=30，得AB=2AD 注意：（1）在用勾股定理时，“直角三角形”是定理的前提，解题时首先应该确认是否具备此条件。 （2）在直角三角形中，由a2+b2=c2可知，只要知道其中两边，就可以求出第三边。(3)在关于直角三角形的题目中，勾股定理是其中暗含的一个等式，在列方程求解方程组时，要经常用到这个等式。 例3. 在ABC中，C=90，且AB：AC=13：12，ABC的周长为120，求ABC各边长和面积。 分析：已知两边之比和周长，再加上勾股定理，就可以求得各边长。 解：在ABC中，C=90 又AB

3、+BC+AC=120 解得：AB=52 例4. 如图所示，把一矩形纸片沿对角线AC翻折后，点B落在B处，点E为AD与BC的交点，当AB=3，BC=4时，求ACE的面积。分析：要求SAEC，直接求较为困难，可先求CDE的面积，然后再求SAEC。 解：在RtABC中，AB=3，BC=4，故AC=5 又ADBC，故DAC=ACB 又ACB是ACB翻折得到，故ACB=ACB 所以DAC=BCA 得AE=EC 又ED=4AE 在RtEDC中，ED2+DC2=EC2 例5. 如图所示，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕B点逆时针旋转90到CBP的位置，若BP=a，求PP的长。 分析：由旋转特征知道，PB

4、P=90，BP=BP，由勾股定理可求出PP的长。 解：由题意知ABP=CBP 而ABP+PBC=90，故PBC+CBP=90 即PBP=90， 而BP=BP，（BP是BP旋转得到）， 故在RtPBP中，由勾股定理知 例6. 如图所示，一架梯子长为2.5米，顶端靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.5米，则梯子的顶端下滑了多少米？ 分析：要求下滑多少米，则是求AE，而AE=ACCE，故应先求AC，再求CE，求AC与CE分别用勾股定理完成。 解：由题意可知：AC2+CB2=AB2， 而AB=2.5米，BC=1.5米， AC=2 又梯子滑

5、动，测得BD=0.5米 而ED=AB 故EC2+CD2=ED2 EC2+22=2.52 EC=1.5 答：梯子下滑了0.5米。 例7 如图所示，已知ABC为直角三角形，C=90，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，说明三个半圆的面积之间的关系。 解：由题意可知： 图中由直角边形成的两个半圆面积之和等于由斜边形成的半圆面积。 例9. 如图所示，求直角坐标系中两点P1（a1，b1）和P2（a2，b2）间的距离。 解：由图及题意可知： 由此可以计算平面直角坐标系中任意两点的距离。 例点P1（3，2）与P2（2，4）之间的距离为 学后练习一、填空题： 1. RtABC中，C=90，CDAB，且BC

6、=12，AC=5，则CD=_。 2. 矩形房间的周长是20米，宽是4米，则对角线长_。 3. 直角三角形的三边长为三个连续的偶数，这个三角形的面积是_。 4. 等边三角形的面积为，则它的边长是_。 5. 在RtABC中，若两直角边长的和为，斜边长为4cm，则斜边上的高为_cm。二、计算题： 1. 如图，ACB=BDC=90，且AC=3，AB=5，BD，求四边形ABCD的面积。 2. 如图，AC=BC=BB1=B1B2，且AC=1，C=ABB1=AB1B2=90，求AB2的长。 3. 如图，已知ABC中，AB=4，BC=5，AC=3，AD、AE分别是BC边上的中线和高，求ADE各边长。 4. 如

7、图，ABC中，A=90，点D和E分别在AC和AB上，试说明。5. 如图所示，在ABC中，A=90，ABC=60，BD平分ABC交AC于D，DEBC于E，AD=15cm，求BC的长。 答案： 1. C=90，BC=12，AC=5， 又由面积法可知ACBC=CDAB，故而 2. 宽是4米，故而长是6米， 得对角线长度为 3. 设三边长分别为, 可得 解得 故三边长是6、8、10， 。 4. 如下图，设BD=x，则AB=2x，AD 故而 故而边长。 5. 设两直角边分别为x，y，故 得 故而二、计算： 1. 由题意知：， 故 2. 3. AB=4，BC=5，AC=3，故而 ABC为直角三角形。 又AE是高线，故 而AD是中线，故 又 得 又 4. 观察图形：得： 得 又 得 故5分析：由角平分线性质DE=AD=15cm，而ABC=60， DB平分ABC得ABD=30，故BD=2AD=30cm。 在RtBDE中，BE可求出，又C=DBC， 由BC=2BE可求出。 解：因BD平分ABC。 A=90，DEBC DE=AD=15cm 又ABC=60 ABD=DBC=C=30 BD=2DE=30cm