2009年加拿大数学奥林匹克试题及参考解答.docx

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1、2009年加拿大数学奥林匹克参考解答1.一个时针与分针连续转动的12小时标准时钟设m是整数，且恰好在1200后的m分钟，时针与分针的夹角恰好是1求所有可能的m的值解：分针每小时（60分钟）转动一周360，则m分钟转动了，即6m；时针每12小时（720分钟）转动一周360，则m分钟转动了，即由题意，得，其中k是某些整数则因为，所以，从而而m是整数，故必须能被11整除设，其中q是整数，则，于是因为，所以，从而又q是整数，能被5整除，故或于是或从而或因此所有满足题意的可能的m的值是262与4582.求数的末三位数字解：因为，所以为解决这个问题，我们首先确定一个正整数n使由二项式定理，得上式中前三项后

2、的各项之和能被1000整除于是设，则由，由十字相乘法易得满足从而而，故因为，所以于是，再由，得因此数的末三位数字是2413.求方程组的所有（如果有）正实数解解法1：设题中的第一个方程等价于若，则且仅当时等号成立但若，则不满足第二个方程所以在方程组的任意解（如果有）中，至少有一个求知数小于1不失一般性，假设，则因此原方程组没有正实数解解法2：我们证明原方程组没有正实数解假设反面成立将第二个方程写成因为关于x的二次方程有一个实数解的前提是它的判别式是非负数于是，除以，得于是，由于y是正数，故同理得但第一个方程可写成，结合，得原方程组不存在正实数解解法3：对x，y，z应用算术-几何平均不等式与幂平均

3、不等式，有设，则上述不等式可写成这里隐含，故同时隐含，故但这时，从而这与不一致因此原方程组没有正整数解4.证明当AB是三个圆的公共弦，过A的不同于AB的任意一条直线确定相同的比，这里X是在第一个圆上不同于B的任意一点，而Y与Z是AX交其它两个圆的交点（使Y标记在X与Z之间）ABlXYZ图1证法1：设l是一条过A但不同于AB的直线，连结BA，BX，BY，BZ在图1左图中，一直对弦AB，与l的选择无关由此推得对所有这样的l，在BXY的各角与BXZ的各角大小都不变于是由相似三角形，知比仍然是常数注意到它的成立与X，Y，Z与A的位置无关假设X，Y，Z都位于A的同侧（象在这个图形中），则现在假设l的选择

4、使X与Y、Z在A的相对的一侧现在因为X在弦AB的另一侧，但它一直是这种情形，和所有在这两个相关的三角形中的其它的角仍然是不变的若l的选择使X与A是同一点，则l是第一个圆的切线且这一直是这种情形，所有其它情形都可用相似的方法证明也说是说，各种情形中BXY与BXZ的组合图形的形状总是与图1中的一样从而原命题成立ABlXYZPQR m图2证法2：设m是AB的垂直平分线，设这三个圆的圆心分别是因为AB是所有这三个圆的公共弦，所以都位于m上设l是过A且不同于AB的一条直线，假设X，Y，Z都位于AB的同一侧，如图2设过分别作l的垂线，垂足分别为P，Q，R由垂径定理，得AX=2AP，AY=2AQ，AZ=2A

5、R.现在类似地，因此又，故因为这些圆心是确定的，比是一个常数，不随l的选择而变化若X，Y，Z不都位于AB的同一侧，我们可用类似的证明得到相同的结果事实上，若X与Y在AB相对的一侧，则我们将有，但因为在这种情形里，一直有这种情形其它结论也可与此类似证得5.设平面内由n个点组成的集合S，使S中的任意两点至少相距1个单位证明存在一个S的子集T，至少有个点，使T中的任意两点至少相距个单位证明：我们用下面的方法构造集合T：假设S中的点在平面直角坐标系xOy内，且设P是S中y坐标最大的一点点P成为集合T的一个元素，现在从S中，我们移除P以及在S中与P的距离小于个单位的所有点从余下的点中我们选择一个y坐标最

6、大的点Q成为T的一个元素，且移除在S中与Q的距离小于个单位的所有点我们连续用这个方法，直到S中所有的点取尽显然T中任意两点至少相距个单位要证明T中至少有个点，我们必须证明在每个阶段不多于6个其它的点与P一起移除在这个过程中的某一个代表性的阶段，我们选择一个y坐标最大的点P，故与P的距离小于的任意点必须位于以P为圆心，为半径的半圆区域内部（不包含边界），如图3所示又因为S中的任意两点至少相距1个单位，所以这些点必须位于半径为1的半圆的外部或半圆上（包含边界）因此它们位于图3中阴影区域现在分割这个阴影区域成6个全等的区域如图3所示P1图3P C AB30图4我们将证明每一个区域至多包含S中的一个点因为所有6个区域是全等的，考虑其中的一个，如图4所示在这个阴影区域中的任意两点间的距离必小于线段AB的长度PA、PB的长度分别是、1，且=30若我们过B作PA的垂线，垂足为C，则PC的长度是于是BC是PA的垂直平分线，因此AB=PB=1所以在这个区域中任意两点的距离小于1故中每一个区域至多可包含S中的一个点，命题得证