江苏南通市如皋市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）数学试题数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求项符合题目要求.1.正项等比数列 na中，41a=，51181a a=，则6a=（）A.3B.3C.6D.92.“1m”是“方程2211xymm=表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知圆C的半径为

2、2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440 xy+=与圆C相切，则圆C的方程为（）A.22230 xyx+=B.22430 xyx+=C.22230+=xyxD.2240 xyx+=4.设,为不同的平面，,a b c为不同的直线，下列命题正确的是（）A.若ba，a，则b B.若a，b，ca，cb，则cC.若，b=，则bD.若m，n，mn，则 5.设数列 na满足111nnnaaa+=，且112a=，则2023a=（）A.-2B.13 C.12D.36.已知公差0d 的等差数列 na前n项和为nS，满足20002022SS=，则下列结论中正确的是（）A.2011S是nS中的最大值 B.2011S是n

3、S中的最小值 C.20110S=D.40220S=7.已知正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 2和 4，若侧棱1AA与底面ABCD所成的角为江苏南通市如皋市 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 60，则该正四棱台的体积为（）A.28 3 B.84 2 C.28 63 D.28 2 8.已知过点()30A ,的直线与抛物线 C：212yx=相交于 M，N 两点，F为抛物线 C 的焦点，若2MFNF=，则MF=（）A.92 B.9 C.8 D.16 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20分分.在每小题给出的

4、选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：221412xy=，则（）A.C实轴长为 2 B.C离心率为 2 C.C的渐近线方程为33yx=D.C右焦点到渐近线的距离为2 3 10.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E为1CC中点，下列结论正确的是（）.A.1ACEBD面 B.点C到平面ABE的距离为2 55 C.面1ABD 面EBD D.二面角EBDC的正切值为2 11.已知数列 na的前n项和为nS，满

5、足1nnSk=（0k 且1k），则（）A.数列是 na等比数列 B.若4k=，则644216SSSS=C.若1k，数列 na是递增数列 D.若01k的离心率为12，直线1x=被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点1F的直线l与椭圆交于 A，B 两点，若三角形ABO面积为6 27，求直线l的方程.21.如图，在多面体ABCDE中，BE 平面ABC，平面ACD 平面ABC，4ADACCD=，2 2ABBC=，3BE=.（1）若点F在AC上，且3AFFC=，求证：/BF平面CDE；（2）求DC与平面ADE所成角的正弦值.22.已知双曲线C与双曲线221412yx=有相同的渐近线

6、，且过点()3,2A.（1）求双曲线C的方程；（2）在双曲线C上存在异于点A的两点 M、N，且满足直线AM、AN斜率之和为2，点D为直线MN上一点，且ADMN，是否存在定点P，使得DP为定值.第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）数学试题数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求项符合题目要求.1.正项等比数列 na中，41a=，51181

7、a a=，则6a=（）A.3 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可.【详解】设等比数列 na的公比为q，因为数列 na为正项等比数列，所以0q，由题41a=，则78411458811qaaa qaq=，所以23q=，所以2643aa q=.故选：B 2.“1m”是“方程2211xymm=表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得m的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系.【详解】因为方程2211xymm=表示双曲线，所

8、以()10m m，解得0m，因为由1m可推出0m，但是由0m，不能推出1m，第2页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以“1m”是“方程2211xymm=表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.3.已知圆C的半径为 2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440 xy+=与圆C相切，则圆C的方程为（）A.22230 xyx+=B.22430 xyx+=C.22230+=xyx D.2240 xyx+=【答案】D【解析】【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C aa，根据圆与直线3440 xy+=相切可求出2a=，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C aa，因

9、为圆C与直线3440 xy+=相切，则30429 16a+=+，且0a，解得2a=，即圆心为(2,0)C，半径为2r=，所以圆 C 的方程为()2224xy+=，即2240 xyx+=故选：D 4.设,为不同的平面，,a b c为不同的直线，下列命题正确的是（）A.若ba，a，则b B.若a，b，ca，cb，则c C.若，b=，则b D.若m，n，mn，则【答案】C【解析】【分析】对于空间中的直线和平面关系的判断，一般可以考虑从构建长方体（正方体）模型判断，从结论的反面情况考虑能否满足条件以及从正面推理得出结论等方法解决.第3页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A选项，当b时

10、，也能满足条件ba，a，故 A项错误；对于 B选项，在满足条件a，b，ca，cb时，若/ab，则不能得出c，故 B 项错误；对于 C选项，如图，设,mn=，在平面内作直线lm，因，则l，同理在平面内作直线tn，因，则t，所以/lt，l，t，则/l，又l，b=，所以/lb，所以b，即 C 项正确；对于 D选项，在满足条件m，n时，若l=，只需使/,/ml nl，即可满足mn，但此时,不平行，故 D 项错误.故选：C.5.设数列 na满足111nnnaaa+=，且112a=，则2023a=（）A.-2 B.13 C.12 D.3【答案】A【解析】【分析】判断出数列 na的周期为 4，即可求解.【详

11、解】因为111nnnaaa+=，112a=，所以121131aaa+=，232121aaa+=，3431113aaa+=，4541112aaa+=，显然数列 na的周期为 4，而20234 5053=+，因此202332aa=.故选：A.6.已知公差0d 的等差数列 na前n项和为nS，满足20002022SS=，则下列结论中正确的是（）A.2011S是nS中的最大值 B.2011S是nS中的最小值 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 C.20110S=D.40220S=【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件可得201120120aa+=，然后分0d 与0d 时，由2011201

12、20aa+=可得，201120120,0aa，则2011S是nS中的最小值，且20110S，当0d，故 ABC错误；又20112012140220aaaa+=+=，且()140224022402202aaS+=，故 D 正确；故选：D 7.已知正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 2和 4，若侧棱1AA与底面ABCD所成的角为60，则该正四棱台的体积为（）A.28 3 B.84 2 C.28 63 D.28 2【答案】C【解析】【分析】作出图形，结合正四棱台1111ABCDABC D的性质求得其高，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】记正四棱台1111ABCDABC D

13、的上、下底面的中心为1,O O，连接1OO，在平面11ACC A中过1A作1AE平行于1OO，交AC于E，如图，第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 则由正四棱台1111ABCDABC D的性质可知1OO 底面ABCD，从而1AE 底面ABCD，所以1A AE为侧棱1AA与底面ABCD所成的角，即160A AE=，因为正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 2 和 4，所以112 2,4 2ACAC=，则()14 22 222AE=，故1tan60236AEAE=，即正四棱台1111ABCDABC D的高为6，所以该正四棱台的体积为()2222128 62244633

14、+=.故选：C.8.已知过点()30A ,的直线与抛物线 C：212yx=相交于 M，N 两点，F为抛物线 C 的焦点，若2MFNF=，则MF=（）A.92 B.9 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】设直线()()1122:(3),MN yk xM x yN xy=+联立抛物线与直线得交点坐标关系，再结合抛物线的定义联立可得212,x x k的值，从而可得MF的值.【详解】如图，过M作直线3x=的垂线，垂足为1M，过N作直线3x=的垂线，垂足为1N 第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 设直线()()1122:(3),MN yk xM x yN xy=+所以()()222221

15、2612903yxk xkxkyk x=+=+，0 得21k，数列 na是递增数列 D.若01k，若2k=，1122121,2,nnaaaaa=，数列 na不是递增数列，C选项不正确；若01k，()()()111211=12,1,1nnnnnnnnaaaaakkkknkkk=0，数列 na是递减数列，D选项正确.故选：ABD.12.已知 A（不在 x 轴上）是圆()22516xy+=上一点，点()3,0M，()3,0N，直线AN与圆的另一个交点为 B，则（）A.12ANAM=B.AMNBMN=C.ABM周长的最小值为12 3 D.存在点 A 使得ABM的面积为 24【答案】ABC【解析】【分析

16、】由满足12ANAM=的点A轨迹判断选项 A；由AMBMkk=，证明AMNBMN=判断选项 B；由AB的最小值求ABM周长的最小值判断选项 C；计算ABM的面积为 24 时的条件，判断选项 D.【详解】点()3,0M，()3,0N，设(),A x y，若12ANAM=，则有()()22221332xyxy+=+，化简得()22516xy+=，即点A轨迹方程为()22516xy+=，故 A 选项正确；设AB所在直线为3xmy=+，代入圆()22516xy+=消去x，第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 得()2214120mymy+=，设()11,A x y，()22,B xy，则有1

17、2241myym+=+，122121y ym=+，()()()()()12121212121212221224242601133666666AMBMmmmy yyyyyyykkxxmymymymymymymm+=+=+=+，则有AMBMkk=，所以AMNBMN=，B选项正确；12ANAM=，12BNBM=，ABM周长为()33ANBNAB+=，当AB最小时ABM周长的最小，AB过()3,0N，AB最小值为222 424 3=，所以ABM周长的最小值为12 3，C选项正确；()2221212122224484 434111mmyyyyy ymmm+=+=+=+，若2122112 432421AB

18、MmSMNyym+=+，解得212=m，不成立，故 D 选项错误.故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.写出满足：过点1,2的直线与圆()()221116xy+=相交于 A，B 两点，且4 3AB=的一条直线方程为_.【答案】1x=（或512190 xy+=）【解析】【分析】由弦4 3AB=，可计算的圆心到直线的距离为 2，设出直线方程根据点到直线的距离公式可计算得解.【详解】由题，直线过点1,2与圆()()221116xy+=相交的弦4 3AB=，可得圆心到直线的距离()222242 322ABdr=，当直线的斜率

19、不存在时，方程为=1x，圆心到直线的距离为 2，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线为()21yk x=+，圆心1,1到直线的距离为22321kdk+=+，第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 解得512k=，所以直线方程为512190 xy+=.综上，符合题意的直线方程为=1x或512190 xy+=.故答案为：=1x（或答案为512190 xy+=）.14.斜率为12的直线与椭圆22221xyab+=交于 A，B 两点，()2,1M 为线段AB的中点，则椭圆的离心率为_.【答案】32【解析】【分析】设()()1122,A x yB xy，结合题意得到()121212yyxx=，1

20、21242xxyy+=+=，再代入椭圆方程化简，结合椭圆离心率公式即可得到答案.【详解】设()()1122,A x yB xy，因为()2,1M 为线段AB的中点，所以直线AB斜率121212AByykxx=，12122212xxyy+=+=，即()121212yyxx=，121242xxyy+=+=，因为()()1122,A x yB xy在椭圆22221xyab+=上，所以22112222222211xyabxyab+=+=，两式相减得()()()()12121212220 xxxxyyyyab+=，代入化简得，()12122212420 xxxxab+=，由题意知，1212,0 xx x

21、x，所以化简得2214ba=，第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 则22ab，显然，椭圆的焦点位于x轴，所以椭圆的离心率22131142cbeaa=.故答案为：32 15.记nS为等差数列 na的前n项和，若35mnaa+=，329mnaa+=，则11nnSSnn+=+_.【答案】1【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.详解】由35mnaa+=，329mnaa+=，得34dd=，解得2d=，又()12nnn aaS+=，则12nnSaan+=，()1111111112222nnnnnnSSaaaaaadnn+=+.故答案为：1.16.已知正三棱锥SABC的外接球

22、为 O，2 3SA=，3BC=，则外接球 O 的半径为_，点 D 为BC的中点，过点 D作外接球 O 的截面，则所得截面面积的最小值为_.【答案】.2 .94【解析】【分析】如图，1O是S在底面射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于OD时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】如图：【的 第15页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 1O是S在底面的射影，由正弦定理得，ABC的外接圆半径313sin602r=，由勾股定理得棱锥的高11233SO=，设球O的半径为R，则()2233RR=+，解得2R=，当过点 D 作球 O的截面垂直于OD时，截面面积最小，而32BD

23、=，则22297444ODOBBD=，此时截面圆半径22273242ROD=，故截面面积为23924=.故答案为：2；94.【点睛】关键点睛：本题第二问的解决关键是利用球的截面性质得到截面面积最小时的情况，从而利用勾股定理即可得解.四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.17.已知等差数列 na中，前n项和为nS，已知136aa+=，611a=.（1）求nS；（2）设11nnnba a+=，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）

24、2nSn=（2）21nnTn=+【解析】为 第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求出首项与公差，再根据等差数列的前n项和公式即可得解；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问 1 详解】设公差为d，由136aa+=，611a=，得11226511adad+=+=，解得112ad=，所以21nan=，故()21212nnnSn+=；【小问 2 详解】由（1）得()()11111121212 2121nnnba annnn+=+，所以111111111111233557212122121nnTnnnn=+=+.18.如图，四棱锥PABCD中，若PCD为等边三角形，底面ABCD为

25、正方形，平面PCD 底面ABCD，E 是AB的中点，G为PA的中点.（1）求证：平面DGE 平面ABCD；（2）求二面角CPDB的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）2 77【解析】【分析】（1）F为CD中点，连接FA与DE相交于H点，由已知面面垂直得PF 底面ABCD，可证/GH PF，则有GH 底面ABCD，可得平面DGE 平面ABCD；（2）I为PD中点，可证得CIPD，BIPD，二面角CPDB的平面角为CIB，由余弦定理 第17页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 求出cosCIB，可得sinCIB.【小问 1 详解】F为CD中点，连接FA与DE相交于H点，连接,PF FE G

26、H，如图所示，PCD为等边三角形，PFCD，平面PCD 底面ABCD，平面PCD底面ABCDCD=，PF 平面PCD，PF 底面ABCD，底面ABCD为正方形，F为CD中点，E 是AB的中点，则DFAE=，/DF AE，四边形ADFE为平行四边形，H为AF中点，又 G 为PA的中点，所以/GH PF，则有GH 底面ABCD，GH 平面DGE，所以平面DGE 平面ABCD【小问 2 详解】I为PD中点，连接,CI BI FB，如图所示，PCD为等边三角形，底面ABCD为正方形，不妨设2CD=，则3CIPF=，5BF=，222 2PBPFBFBD=+=，所以CIPD，BIPD，二面角CPDB平面角

27、为CIB，227BIBDDI=，CIB中，由余弦定理，22237421cos27237CIBIBCCIBCI BI+=，则212 7sin1497CIB=，所以二面角CPDB的正弦值为2 77.的 第18页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 19.记数列 na的前n项和为nS，已知2nnSan=.（1）设1nnba=+，证明：数列 nb为等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设221lognnncbb+=，求数列 nc的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，21nna=（2）22nnTn+=【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS=推得121nnaa+=+，从而利用等比数列的定义即可

28、证明，进而求得na；（2）利用错位相减法结合分组求和法即可求出.【小问 1 详解】因为2nnSan=，当1n=时，1121Sa=，解得得11a=；当2n 时，由2nnSan=，得112(1)nnSan+=+，两式相减得11221nnnaaa+=，即121nnaa+=+，则()1121nnaa+=+，即12nnbb+=，又1112ba=+=，故0nb，所以12nnbb+=，所以 nb是以12b=为首项，2 为公比的等比数列，所以12 22nnnb=，即12nna+=，所以21nna=【小问 2 详解】由（1）得2nnb=，所以()221212logl2221 2ognnnnnncnbb+=+=,

29、所以()1233 25 27 221 2nnTn=+，则()1234221 23 25 27 2nnTn+=+，第19页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 两式相减，得()112323 22 22 2221 2nnnTn+=+()()()1121 221 222 1 2221 2nnnnn+=+，所以()121 22nnTn+=+20.在平面直角坐标系xOy中椭圆()222210 xyabab+=的离心率为12，直线1x=被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点1F的直线l与椭圆交于 A，B 两点，若三角形ABO面积为6 27，求直线l的方程.【答案】（1）22143x

30、y+=（2）10 xy=或10 xy+=【解析】【分析】（1）将1x=代入椭圆方程可直接得出交点坐标，根据弦长和即可求得椭圆方程；（2）设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和三角形面积，就可以解出直线方程.【小问 1 详解】椭圆离心率为12，则12cea=，即2ac=，22223bacc=，则椭圆方程化为2222143xycc+=将1x=代入椭圆方程可得2221143ycc+=，得221234cy=，即21232cy=.因此弦长为21232=32c，所以1c=，则2a=，23b=所以椭圆方程为22143xy+=.【小问 2 详解】第20页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 由（

31、1）可知()11,0F，则直线l与椭圆必定有两个交点，设交点为()11,A x y，()22,B xy.设直线l的方程为1xty=+.联立方程221143xtyxy=+=得()2234690tyty+=则有122634tyyt+=+，122934y yt=+.所以()2221212122226361214=343434ttyyyyy yttt+=+=+.而()1111121121116 22227ABOAFOBFOSSSOFyOFyOFyy=+=+=+=所以()1216 2127yy=，即1212 27yy=.所以2212112 2734tt+=+，解得21t=，即1t=故直线l的方程为1xy

32、=+，即10 xy=或10 xy+=.【点睛】方法点睛：直线与椭圆的位置关系基本解题方法：（1）设直线方程，注意考虑斜率是否存在；（2）联立直线与椭圆方程并化简，注意判断否有交点；（3）韦达定理代入题设条件并化简求解.21.如图，在多面体ABCDE中，BE 平面ABC，平面ACD 平面ABC，4ADACCD=，2 2ABBC=，3BE=.是 第21页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若点F在AC上，且3AFFC=，求证：/BF平面CDE；（2）求DC与平面ADE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）2 5719【解析】【分析】（1）取,AC CD中点,O G，根据面面垂直

33、性质可得DO 平面ABC，进而得到/FG DO BE，结合长度关系可证得四边形BFGE为平行四边形，得到/BF EG，由线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【小问 1 详解】取,AC CD中点,O G，连接,DO BF EG FG，ADACCD=，ACD为等边三角形，DOAC，平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，DO 平面ACD，DO平面ABC，又BE 平面ABC，/DO BE，3AFFC=，12AOOCAC=，F为OC中点，又G为CD中点，/FG DO，12FGDO=，第22页/共25页 学科网（北京）股份有限公

34、司 2222422 3DOCDCO=，3FG=，FG/BE，FGBE=，四边形BFGE为平行四边形，/BF EG，EG 平面CDE，BF 平面CDE，/BF平面CDE.【小问 2 详解】连接OB，ABBC=，OBAC，又DO 平面ABC，,DO AC OB两两互相垂直，则以O为坐标原点，,OB OC OD 正方向为,x y z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0C，()0,0,2 3D，()0,2,0A，()2,0,3E，()0,2,2 3CD=，()0,2,2 3AD=，()2,0,3DE=，设平面ADE的法向量(),nx y z=，则22 30230AD nyzDE n

35、xz=+=，令2z=，解得：3x=，2 3y=，()3,2 3,2n=，8 32 57cos,19419CD nCD nCDn=，即DC与平面ADE所成角的正弦值为2 5719.22.已知双曲线C与双曲线221412yx=有相同的渐近线，且过点()3,2A.（1）求双曲线C的方程；（2）在双曲线C上存在异于点A的两点 M、N，且满足直线AM、AN斜率之和为2，点D为直线MN上一点，且ADMN，是否存在定点P，使得DP为定值.第23页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2213xy=（2）存在定点22,2P【解析】【分析】（1）由题意设双曲线C的方程()220412yx=，再利用

36、待定系数法即可得解；（2）分直线MN的斜率是否存在两种情况讨论，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm=+，()()1122,M x yN xy，联立方程，利用韦达定理求出1212,xx x x+，再结合已知求出,k m的关系，从而可求出直线MN过定点，进而可得出结论.【小问 1 详解】由题意设双曲线C的方程()220412yx=，则29412=，解得14=，所以双曲线C的方程为2214124yx=，即2213xy=；【小问 2 详解】当直线MN的斜率不存在时，设()()111,3M x yx，则()11,N xy，故11111222 22333AMANyykkxxx+=+=，解得

37、11x=，又13x，所以直线MN的斜率不存在时，不符合题意，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm=+，()()1122,M x yN xy，联立2213ykxmxy=+=，消y得()()222316310kxmkxm+=，则()()()2222223612 31112 310m kkmkm=+=且2310k ，所以22310km 且33k ，第24页/共25页 学科网（北京）股份有限公司()2121222316,3131mmkxxx xkk+=，则12121212222223333AMANyykxmkxmkkxxxx+=+=+=，整理得()()()12122232 263 20k

38、x xmkxxm+=，即()()()2223122632 263 203131mkmk mkmkk+=，整理得()2222430kmmmkk+=，即()()320mkmk+=，所以mk=或32mk=+，当mk=时，直线MN的方程为()1ykxkk x=+，则直线MN过定点()1,0E，当32mk=+时，直线MN的方程为()3232ykxkk x=+=+，则直线MN过定点()3,2A，不符题意，综上所述，直线MN过定点()1,0E，因为点D为直线MN上一点，且ADMN，所以ADDE，所以点D的轨迹为以线段AE为直径的圆，所以当点P为线段AE的中点时，DP为定值1622AE=，所以存在定点22,2P，使得DP为定值.第25页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yyk xx=或截距式ykxb=+来证明.