重庆市荣昌中学校2024届高三上学期第二次月考试题数学含答案.pdf

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1、第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司荣昌中学高荣昌中学高 2024 级高三上期第二次月考数学试题级高三上期第二次月考数学试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合ln11,e,RxAxxBy yx，则AB（）A.1,e 1B.0,e 1C.1,eD.1,02.已知复数z满足243iz，则z（）A.5B.5C.13D.133.已知 p：0 xy，q：22ln1ln10 xxyy ，则 p 是 q 的（）A.充分不必要

2、条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知3sin()45，则sin1tan的值为（）A.7 2-60B.7 260C.7 2-30D.7 2305.已知单位向量,a b c满足0abc，其中1,0c，则2ab在c上的投影向量是（）A.33,22B.33,22C.3,02D.3,026.已知数列 na的前n项和为nS，首项11a，且满足13 2nnnaa，则11S的值为（）A.4093B.4094C.4095D.40967.已知函数()3sin()g xx，()g x图像上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到()f x的图像，()f x的部分图像如图所示，若2AB BC

3、AB ，则等于（）第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司A.12B.6C.4D.28.设2252,ln,sin212121abc，则（）A.abcB.cbaC cabD.bca二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知非零向量,a b c，下列命题正确的是（）A.若/,/a b b c，则/a c B.与向量a共线的单位向量

4、是aaC.“0a b”是“a与b的夹角是锐角”的充分不必要条件D.若,a b是平面的一组基底，则,ab ab也能作为该平面的一组基底10.设0,1ab ab，则下列结论正确的是（）A 22abbB.122aabC.22aabD.22112ab11.设函数1()3sincoscos2,0,2f xxxx则下列结论正确的是（）A.(0,1),()f x在6 4，上单调递增；B.若1且12()()2,f xf x则12minxx；C.若()1f x在0,上有且仅有 2 个不同的解，则的取值范围为5 7,6 3；D.存在(0,1)，使得()f x的图象向左平移6个单位长度后得到函数()g x为奇函数.

5、12.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E 是线段1AD的中点，点 M，N 满足11111,AMAC B NBC ，其中,(0,1)，则（）.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司A.存在,(0,1)，使得EMENB.MN的最小值为2C.当13,24时，直线1D M与平面MEN所成角的正弦值为1515D.当12,23时，过 E，M，N 三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为4 103三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知一个圆锥的侧面积为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为_.

6、14.已知2sin55，则sin 210_.15.设函数 21lg(1)xxf xeex，则使得(21)(2)fxf x 成立的x的取值范围是_.16.在等腰梯形ABCD中，22ABCD，3DABCBA，O为AB的中点.将BOC沿OC折起，使点B到达点B的位置，则三棱锥BADC外接球的表面积为_；当32B D时，三棱锥BADC外接球的球心到平面B CD的距离为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知等差数列 na满足674aa，且145,a a a成等比数列（1）求 na

7、的通项公式；（2）记nT为数列 na前n项的乘积，若10a，求nT的最大值第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司18 2sin cossinsin323f xxxxx（1）求函数 f x的中心对称点；（2）先将函数 yf x的图象上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标保持不变，再把所得的图象向右平移6个单位，得到函数 yg x，解关于x的不等式 3g xf.19.如图，ABC为正三角形，AE平面,ABC CD 平面,2ABC ACCD AECD，点,F P分别为,AB BD的中点，点Q在线段BE上，且4BEBQ（1）证明：直线CP与直线FQ相交；（2）求平面CPF与平面BDE夹角余弦

8、值20.2023 年 9 月 8 日，第 19 届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路湖滨路环城西路北山街西泠桥孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火杭州亚运会火炬首日传递共有 106 棒火炬手参与（1）组委会从全省火炬手中随机抽取了 100 名火炬手进行信息分析，得到如下表格：年龄性别满 50 周岁未满 50 周岁总计男154560女53540总计20801000.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828.的第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司根据小概

9、率值0.12独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满 50 周岁是否有关联；（2）在全省的火炬手中，男性占比 72%，女性占比 28%，且 50%的男性火炬手和 25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？21.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c且2cossin,6 2sin2sinabbCcBaAB，（1）求b；（2）求AC边上中线长的取值范围22.设函数 323ln2,f xxxaxax a R.（1）求函数 f x在1x 处的切线方程；（2）若12,x x为函数 f x的两个不等于 1 的极值

10、点，设1122,P xf xQ xf x，记直线PQ的斜率为k，求证：122kxx.的第 1 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司荣昌中学高荣昌中学高 2024 级高三上期第二次月考数学试题级高三上期第二次月考数学试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合ln11,e,RxAxxBy yx，则AB（）A.1,e 1B.0,e 1C.1,eD.1,0【答案】B【解析】【分析】由对数函数单调性结合指数函数性质可化简集合 A，

11、B，后由集合交集定义可得答案.【详解】因为1eln11ln1lne1e 110 xxxxx ，则 A1e 11,e 1xx ，因为xR，e0 xy=，则0,B，所以AB 0,e 1.故选：B.2.已知复数z满足243iz，则z（）A.5B.5C.13D.13【答案】B【解析】【分析】设i,Rzab a b，利用复数的运算法则和复数相等，建立,a b的方程组，直接求出,a b，从而可求出结果.【详解】设i,Rzab a b，则2222(i)2i=43izababab，所以22423abab，解得3 2222ab 或3 2222ab，所以225zab.故选：B.第 2 页/共 24 页学科网（北京

12、）股份有限公司3.已知 p：0 xy，q：22ln1ln10 xxyy ，则 p 是 q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】令2()ln1,Rf xxxx,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令2()ln1,Rf xxxx，(0)0f，且22()()ln1ln1ln10f xfxxxxx ，故2()ln1f xxx 为奇函数，0 x 时，21xx 递增，则2()ln1f xxx 也递增，又()f x为奇函数，则()f x在R上递增，pq，若0 xy，则xy，则 f xfy，即22ln1ln1xxyy 即22

13、ln1ln10 xxyy ；pq，若22ln1ln10 xxyy ，则等价于22ln1ln1xxyy ，即 f xfy，由()f x在R上递增，则xy，即0 xy，故 p 是 q 的充要条件，故选：C.4.已知3sin()45，则sin1tan的值为（）A.7 2-60B.7 260C.7 2-30D.7 230【答案】B【解析】【分析】先求出3 2cossin5，再求7sincos50，再化简sin1tan即得解.第 3 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由3sin()45得233 2(cossin),cossin255，所以1871 2sincos,sincos2550

14、，所以7sinsinsincos7577 250=sin31tancossin50603 230 212cos5.故选：B5.已知单位向量,a b c满足0abc，其中1,0c，则2ab在c上的投影向量是（）A.33,22B.33,22C.3,02D.3,02【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量,a b c满足0abc，所以22221212cabcabaa bba b ，由投影向量计算公式可知2ab在c上的投影向量是2cos 2,cabab cc，即222223abccaa bbcc 故223232aa bbcc ，而1,0c，故33,022c.故选：

15、D6.已知数列 na的前n项和为nS，首项11a，且满足13 2nnnaa，则11S的值为（）A.4093B.4094C.4095D.4096【答案】A【解析】【详解】由递推公式确定通项公式(1)2nnna ，再求11S即可.第 4 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【解答】13 2nnnaa，故11123 2221222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa，又121a ，所以2nna 是首项为1，公比为1的等比数列，所以(1)2nnna ，则11121111121121 2121212140931 2Saaa 故选：A7.已知函数()3sin()g xx，()g x图像上每一点的横

16、坐标缩短到原来的12，得到()f x的图像，()f x的部分图像如图所示，若2AB BCAB ，则等于（）A.12B.6C.4D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的定义可得1cos2ABC，从而可得120ABC，进而得出6AD，即224，求出12.【详解】根据22cos 180AB BCABAB BCABCAB 2cos12cos1ABCABC ，可得1cos2ABC，故120ABC，所以6AD，故()g x的周期为 24，所以224，12，故选：A8.设2252,ln,sin212121abc，则（）A.abcB.cbaC.cabD.bca第 5 页/共 24 页学科网（北京）股份

17、有限公司【答案】C【解析】【分析】根据0,sin2xxx，判断,a c的大小，由25222lnln 1221212121ba，构造函数 1ln 1202f xxxx，利用导数判断单调性，即可得到ba.【详解】由不等式0,sin2xxx可得22sin2121，即ac；25222lnln 1221212121ba，设 1221 2ln 120,12211212xf xxxxbaffxxx，因为 10,02xfx，所以 f x在10,2上单调递增，所以当 10,002xf xf，所以2021f，即ba.所以bac.故选：C二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

18、，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知非零向量,a b c，下列命题正确的是（）A.若/,/a b b c，则/a c B.与向量a共线的单位向量是aaC.“0a b”是“a与b的夹角是锐角”的充分不必要条件D.若,a b是平面的一组基底，则,ab ab也能作为该平面的一组基底【答案】AD【解析】【分析】利用向量共线定理判断 A；求出与向量a共线的单位向量判断 B；举例说明判断 C；利用平面的一第 6 页/

19、共 24 页学科网（北京）股份有限公司个基底的意义判断 D.【详解】对于 A，非零向量,a b c，由/,/a b b c，得存在非零实数,，使得=,=ab bc，则ac，即/a c，A 正确；对于 B，与a共线的单位向量是aa，B 错误；对于 C，当a与b同向共线时，满足0a b，而a与b的夹角为 0，不是锐角，C 错误；对于 D，,a b是平面的一组基底，则,a b不共线，假设向量,ab ab共线，则存在实数t，使得()abt ab，即(1)(1)tatb，显然1,1tt不同时为 0，于是,a b共线，与,a b不共线矛盾，即假设是错的，因此向量,ab ab不共线，D 正确.故选：AD10

20、.设0,1ab ab，则下列结论正确的是（）A.22abbB.122aabC.22aabD.22112ab【答案】BD【解析】【分析】先判断出1012ab，利用不等式性质及基本不等式一一验证：对于 A：利用作差法比较；对于 B：利用基本不等式判断；对于 C：利用作差法比较；对于 D：利用基本不等式判断.【详解】因为0,1ab ab，所以01ab2abab，12ab，对于 A：222221231211abbbbbbbbb，因为112b，所以2110bb，即22abb，故 A 错误；第 7 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司对于 B：由基本不等式2124abab,所以122aab，故 B

21、正确；对于 C：222221231211abaaaaaaaa，因为102a所以2110aa，所以22aab，故 C 错误；对于 D：由基本不等式，222122abab，而221abab，所以22112ab.故选：BD【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）利用基本不等式的条件：一正二定三相等.11.设函数1()3sincoscos2,0,2f xxxx则下列结论正确的是（）A.(0,1),()f x在6 4，上单调递增；B.若1且12()()2,f xf x则12minxx；C.若()1f x在0,上有且仅有 2 个不同的解，则的

22、取值范围为5 7,6 3；D.存在(0,1)，使得()f x的图象向左平移6个单位长度后得到函数()g x为奇函数.【答案】AD【解析】【分析】由 sin 26f xx，选项 A：利用正弦函数性质判断；选项 B：利用正弦函数的性质判断；选项 C：利用正弦函数的图象判断；选项 D：.利用三角函数的图象变换判断【详解】13sincoscos2sin 226f xxxxx，选项 A：6 4x ，得2,63626x ，因为(0,1)，有,36262 2 ，的第 8 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以(0,1),()f x在6 4，上单调递增；故 A 正确；选项 B：12()()2,f xf

23、 x可知12min22Txx，故 B 错误；选项 C：已知0,2,2666xx，得，若sin 216x有且仅有 2 个不同的解，如图所示：可得352262，解得5 4,6 3，故 C 错误；选项 D：sin 2sin 26636g xxx，可知当12时，满足()g x为奇函数，故 D 正确；故选：AD.12.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E 是线段1AD的中点，点 M，N 满足11111,AMAC B NBC ，其中,(0,1)，则（）A.存在,(0,1)，使得EMENB.MN的最小值为2第 9 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司C.当13,24时，直线1D

24、 M与平面MEN所成角的正弦值为1515D.当12,23时，过 E，M，N 三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为4 103【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对 ABC 选项进行分析，通过画正方体的截面判断 D 选项的正确性，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，1111112,0,2,0,2,0,2,2,2,2,2,2,0,2,2,2,0,0ACACBCBC ,所以112,0,22,2,222,2,22DMDAAM 即22,2,22M，112,2,22,0,022,2,2DNDBB N 即22,2,2N，1,0,1,1 2,2,1 2,1 2,2,

25、1EEMEN，1 21 241 22 12EM EN ，由于121,1，所以0EM EN ，所以不存在,(0,1)，使得EMEN，A 选项错误.22,22,2MN，222221222224822MN,所以当0220即12时，MN 取得最小值2，B 选项正确.当13,24时，110,0,2,1,1,1,2,2,1,0,12DMNE,111,1,1,1,1,0,1,02D MMNME ，设平面MEN的法向量为,nx y z，为第 10 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司则1020n MNxyzn MEy ，取2x，故2,0,1n，设直线1D M与平面MEN所成角为，则11115sin155

26、3n D MnD M ，所以 C 选项正确.当12,23时，M是1AC的中点，N是11BC上靠近1C的三等分点，11,ADADE设11BCBCP，根据正方体的性质可知,E M P三点共线.连接NP并延长，交BC于H，则123C NBH，过N作11/NF C D，交11AD于F，连接FE并延长，交AD于G，则123FDAG，连接GH，则/,GH NF GHNF，所以四边形NFGH是平行四边形，再根据正方体的性质可知四边形NFGH是矩形，所以 E，M，N 三点的平面截正方体得到的截面多边形为矩形NFGH，2222 102,233GHNH，所以截面多边形的面积为2 104 10233，D 选项正确.

27、故选：BCD第 11 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：作截面的三种方法:直接法:截面的定点在几何体的棱上；平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知一个圆锥的侧面积为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为_.【答案】3【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，分析得出2lr，由圆锥的侧面积计算出l、r的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式

28、可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的底面圆周长为rl ，可得2lr，圆锥的侧面积为226rlr，解得3r，2 3l，所以，圆锥的高为223hlr，因此，该圆锥的体积为21133333Vr h.故答案为：3.14.已知2sin55，则sin 210_.【答案】1725【解析】【分析】设5t，由诱导公式及倍角公式得2sin 22sin110t，求解即可.【详解】设5t，则5t，2sin5t，所以2217sin 2sin 2sin 2cos22sin110510225tttt .故答案为：172515.设函数 21lg(1)xxf xeex，则使得(21)(2)fxf x

29、成立的x的取值范围是_.第 12 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【答案】11 1(3,)(,)22 3【解析】【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.【详解】因为2lg(1)0 x，所以0 x，所以函数 f x的定义域为|x xR且0 x，又 21()lg(1)xxfxeef xx，f x偶函数.当(0,)x时，令 21,lg(1)xxg xeeh xx，0 xxgxee，g x在(0,)上是增函数，易知函数 h x在(0,)上是增函数，f x在(0,)上是增函数.又 f x为偶函数，(21)(21),(2)(2)fxfxf xfx，由(21)(2

30、)fxf x，得21221020 xxxx，解得11 1(3,)(,)22 3x，故答案为：11 1(3,)(,)22 3.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，其中解答中根据根据的解析式得到函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档试题16.在等腰梯形ABCD中，22ABCD，3DABCBA，O为AB的中点.将BOC沿OC折起，使点B到达点B的位置，则三棱锥BADC外接球的表面积为_；当32B D时，三棱锥BADC外接球的球心到平面B CD的距离为_.【答案】.4 .3 1313【解析】【分析】由题可得三棱锥BADC外接球的球心为 O，利用

31、球的表面积公式即求，然后利用等积法可求O 到平面B CD的距离.【详解】等腰梯形ABCD中，22ABCD，3DABCBA，O为AB的中点，为第 13 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司,BOCADODOC为等边三角形，1OAOBOCOD，三棱锥BADC外接球的球心为 O，半径为 1，414S；连BD与OC交于M，则 OCMD，OCMB，OCMB，所以B MD为二面角的平面角，又32BMDM，又32B D，二面角BOCD为3，B到平面COD的距离为33sin234h，在B CD中，31,12B CB DCD，213339124216B CDS，设球心 O 到平面B CD的距离 h，由O

32、B CDBCODVV，得1133B CDCODShSh，139133316344h，解得3 1313h，所以三棱锥BADC外接球的球心到平面B CD的距离为3 1313.故答案为：4；3 1313.第 14 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知等差数列 na满足674aa，且145,a a a成等比数列（1）求 na的通项公式；（2）记nT为数列 na前n项乘积，若10a，求nT的最大值【答案】17.2na 或211nan 18.

33、945【解析】【分析】（1）利用674aa，和145,a a a成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，从而求解.（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.【小问 1 详解】设 na的公差为d，由674aa，得：12114ad；由145,a a a成等比数列，得：2415aa a，即：211134adaad，整理得：1290dad.由112114290addad，解得：120ad或192ad.所以：na的通项公式为2na 或211nan.【小问 2 详解】因为10a，所以：211nan，得：当5n 时，0na；当6n 时，0na.从而123450,0,0,0,

34、0,05nTTTTTTn，又因为：2124123463,945Ta aTa a a a，所以：nT的最大值为4945T.故nT的最大值为945.18 2sin cossinsin323f xxxxx（1）求函数 f x的中心对称点；（2）先将函数 yf x的图象上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标保持不变，再把所得的图象向右的.第 15 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司平移6个单位，得到函数 yg x，解关于x的不等式 3g xf.【答案】（1）,0,26kkZ（2）5,Z21222kkxxk【解析】【分析】（1）将 f x的表达式展开,化简可得 sin 23f xx,令23xkk

35、Z,可求得函数的中心对称点;（2）先求得 g x的表达式,再由23sin3332f,可得sin 4332x,求解即可.【详解】（1）2sin cossinsin323f xxxxx1313sincossincossincos2222xxxxxx223sin coscossin2xxxx13sin2cos222xxsin 23x令2,3xkkZ,则26kx,故函数 f x的中心对称点为,0,26kkZ.（2）23sinsin33332f,yf x的图象上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标保持不变，得到sin 43yx,所得的图象向右平移6个单位，得到sin 44sin 4633yxx,第 16

36、 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司即 sin 43xxg.则sin 4332x,则452 42,333kxkkZ,即5,21222kkxkZ.所以不等式的解集为5,Z21222kkxxk.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了三角函数的对称中心,考查了三角函数的平移变换,考查了不等式的解法,属于中档题.19.如图，ABC为正三角形，AE平面,ABC CD 平面,2ABC ACCD AECD，点,F P分别为,AB BD的中点，点Q在线段BE上，且4BEBQ（1）证明：直线CP与直线FQ相交；（2）求平面CPF与平面BDE夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）35【解析】【

37、分析】（1）根据题意，取BE中点G，连接,DG GF FC PQ，即可证明,PQ CF共面，且其长度不相等，即可证明；（2）解法 1：由条件可得BQF为平面CPF与平面BDE的夹角，结合余弦定理，代入计算，即可得到结果；解法 2：根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问 1 详解】第 17 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司证明：取BE中点G，连接,DG GF FC PQ，则1/,2FG AE FGAE，因为AE平面,ABC CD 平面ABC，所以1/,2CD AE CDAE，所以/,CD FG CDFG，则四边形CDGF为平行四边形，所以/

38、,CF DG CFDG因为点Q在线段BE上，且4BEBQ，所以Q是BG的中点，又因为点P是BD的中点，所以1/,2PQ DG PQDG，所以1/,2PQ CF PQCF，即,PQ CF共面，且,PQ CF长度不等，所以直线CP与直线FQ相交【小问 2 详解】解法 1：由（1）知，平面CPF即为平面CPQF因为AE平面ABC，且CF 平面ABC，所以AECF，因为ABC为正三角形，点F是AB的中点，所以CFAB，又,AEABA AB平面,ABE AE平面ABE，所以CF 平面ABE又/PQ CF，所以PQ平面ABE，所以BQF（或 其补角）为平面CPF与平面BDE的夹角不妨设2AB，则15151

39、,4222BFBQBEQFBG，所以222551344cos52524BQQFBFBQFBQ QF，第 18 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司即平面CPF与平面BDE夹角的余弦值为35解法 2：因为AE平面ABC，所以AECF，因为ABC为正三角形，所以CFAB，所以CF 平面ABE，又/FG AE，所以FG 平面ABC以F为原点，以,FC FB FG所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设2AB，则3 10,0,0,0,1,0,3,0,0,3,0,2,0,1,4,122FBCDEP，所以3 13,0,0,122FCFP ，0,2,4,3,1,2.BEBD 设

40、平面CPF的一个法向量为1111,nx y z，则110,0,n FCn FP 即111130,310,22xxyz取10,2,1n 设平面BDE的一个法向量为2222,nxy z，则220,0,nBEnBD 即22222240,320,yzxyz取20,2,1n 设平面CPF与平面BDE的夹角为，则1212123coscos,5nn nnn n 所以，平面CPF与平面BDE夹角的余弦值为3520.2023 年 9 月 8 日，第 19 届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路湖滨路环城西路北山街西泠桥孤山路传递，第 19

41、页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司在“西湖十景”之一的平湖秋月收火杭州亚运会火炬首日传递共有 106 棒火炬手参与（1）组委会从全省火炬手中随机抽取了 100 名火炬手进行信息分析，得到如下表格：年龄性别满 50 周岁未满 50 周岁总计男154560女53540总计20801000.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值0.1的2独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满 50 周岁是否有关联；（2）在全省的火炬手中，男性占比 72%，女性占比 28%，且 50%的男性火炬手和 25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛

42、某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？【答案】（1）全省火炬手性别与年龄满或未满 50 周岁相互独立（没有关联）（2）3643【解析】【分析】（1）根据22列联表中的数据，求得2的值，结合附表，即可得到结论；（2）设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，结合条件概率和全概率公式，即可求解.【小问 1 详解】解：零假设为：0H：全省火炬手性别与年龄满或未满 50 周岁相互独立（没有关联），根据22列联表中的数据，计算得220.110015 355 452.342.70620 80 40 60 x，所以根据小概率值0.1的2独立性检验，没有充分证据推

43、断0H不成立，因此可以认定为0H成立，全省火炬手性别与年龄满或未满 50 周岁相互独立（没有关联）【小问 2 详解】第 20 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司解：设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，则()(|)()0.360.3636(|)()()()(|)()0.360.070.4343P ABP B A P AP A BP BP B A P AP B A P A，所以这位火炬手是男性的概率约为364321.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c且2cossin,6 2sin2sinabbCcBaAB，（1）求b；（2）求AC边上中线长的取值范围【答案】（1）6

44、 （2）3,33 2【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得0,18 218ac，再根据1122BDBABC ，结合向量的相关运算求解.【小问 1 详解】因为cossinbCcBa，由正弦定理可得sincossinsinsinsinsincoscossinBCCBABCBCBC，整理得sinsincossinCBBC，且0,C，则sin0C，可得sincosBB，即tan1B，且0,B，则4B，由正弦定理2sinsinabRAB，其中R为ABC的外接圆半径，可得2 sin,2 sinaRA bRB，又因为22 sin4 sin26

45、 2sin2sinsin2sinabRARBRABAB，所以22 sin6 262bRB.【小问 2 详解】在ABC中，由余弦定理2222cosbacacB，即22362acac，则223622acacac，当且仅当ac时，等号成立，第 21 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司可得3618 2222ac，即0,18 22ac设AC边上的中点为 D，因为1122BDBABC ，则22221111122424BDBABCBABA BCBCuuu ruu ruu u ruu ruu r uu u ruu u r2211122cos36299,27 18 242442acacBacacac，即

46、3,33 2BD，所以AC边上中线长的取值范围为3,33 2.22.设函数 323ln2,f xxxaxax a R.（1）求函数 f x在1x 处的切线方程；（2）若12,x x为函数 f x的两个不等于 1 的极值点，设1122,P xf xQ xf x，记直线PQ的斜率为k，求证：122kxx.【答案】（1）1ya （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出 1f，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意233230 xa x在0,上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设12xx，所以1201xx，根据两点

47、斜率公式得到2212121213ln12232xxkxxxxxx，即证2212121211403ln122xxxxxxxx，根据对数平均不等式可得212121l63 nxxxxxx，只需证明22121216140221xxxxxx，令21xxt，依题意即证328120ttt，2,t，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；【小问 1 详解】第 22 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司解：因为 323ln2,f xxxaxax a R，所以 3213ln1 11211faaa ，23322fxxaxax，所以 10f，所以切点为1,1a，切线的斜率0k，所以切线方程为1ya【小问

48、2 详解】解：因为 23221332333223322xxa xxaxaxfxxaxaxxx 因为12,x x为函数 f x的两个不等于 1 的极值点，所以233230 xa x在0,上有两个不等于1的正根，所以212123236032031aaxxxx，所以92 a，不妨设12xx，所以1201xx，所以2323222211112121213ln23ln2xxxxxxxxf xf xkaxxxaaax2222122112121211213ln2aaxxxxx xxxxxxxxxxx221212121213ln2axxxxx xxxxxa222121212121213323ln3123xxxx

49、xxxxxxxx 2212121213ln12232xxxxxxxx要证122kxx即证222121211123ln122232xxxxxxxxxx，即2212121211403ln122xxxxxxxx，第 23 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司令2(1)()ln,(1)(1)xg xxxx，则22214(1)()(1)(1)xg xxxx x，所以当1x 时，()0g x，所以函数()g x在(1,)上单调递增，故()(1)0g xg，即2(1)ln0(1)xxx，所以ln211xxx在(1,)上恒成立，因为1201xx，所以211xx，所以212211ln211xxxxxx，即

50、21212111ln2xxxxxxxx，即212121lln2nxxxxxx，所以212121l63 nxxxxxx，下面只需证明22121216140221xxxxxx，令21xxt，因为211xx，所以121xx，所以1222221122xxxxxx，所以2t，即证21142260ttt，2,t，即证328120ttt，2,t，令 32812g tttt，2,t，23283420g ttttt ，所以 g t在2,上单调递减，所以 20g tg，得证；【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数