第05讲 数列求和-教师版.pdf

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1、高效课堂 源于优教 1 高中数学课程 第 05 讲 数列求和 1求数列，的前 n 项的和.【答案】，.1212221313221414221)1n(1)1n(22nS22222(1)12221111()(1)1222nnnnannnnnnn 1111111111(1)(1)(1)(1)(1)132435112nSnnnn1111212113122nnnnnn 课前课前诊断诊断 官网： 2 一、要点一、数列的前要点一、数列的前 n 项和项和 Sn的相关公式的相关公式 任意数列的第任意数列的第n项项na与前与前n项和项和nS之间的关系式：之间的关系式：11(1)(2)nnnSnaSSn 等差数列的

2、前等差数列的前n项和项和nS公式：公式：211()(1)22nnn aan nSnadAnBn（AB、为常数）当 d0 时，Sn是关于 n 的二次式且常数项为 0；当 d=0 时（a10），Sn=na1是关于 n 的正比例式.等比数列的前等比数列的前n项和项和nS公式：公式：当1q 时，1naa，1231nnSaaaana，当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11 要点诠释：要点诠释：等比数列的求和中若 q 的范围不确定，要特别注意1q 的情况.要点二、求数列的前要点二、求数列的前n项和的几种常用方法项和的几种常用方法 公式法：公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n项和可

3、直接利用等差数列或等比数列的前n项和公式求和；倒序相加法：倒序相加法：等差数列前 n 项和的推导方法，即将nS倒写 后再与nS相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前 n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1(1)nan n的数列求和.常见的拆项公式：)11(1)(1knnkknn；若na为等差数列，且公差 d 不为 0，首项也不为 0，则111111()nnnnaad aa；知识要点一知识要点一 高效课堂 源于优教

4、3 高中数学课程 若na的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan.nnnn111；)(11nknknkn.分解求和与并项求和法：分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为 an=2n+3n的数列求和.错位相减法：错位相减法：如果一个数列 na的通项是由一个非常数列的等差数列 nb与等比数列 nc的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为nnncba

5、（其中 nb是公差 d0 的等差数列，nc是公比 q1 的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n项和nS.例如对通项公式为(21)2nnan的数列求和.一般步骤：一般步骤：nnnnncbcbcbcbS112211，则 1 211nnnnnqSbcbcb c 所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq 要点诠释：要点诠释：错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n项和的两边都乘以等比数列的公比 q 后，再错位相减求出其前n项和；在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比 q 是否有可能等于 1，若 q=1，错位相减法会不成立.错位相减另解错位相减另解

6、：求和通项求和通项：()nnSAnB qB 求得求得1a，2a；得得1S，2S，可得方程组可得方程组112212()(2)SAB qBaSAB qBaa 官网： 4 求解得出求解得出 A,B 即可求得即可求得nS。但是此种解法慎在解答题使用但是此种解法慎在解答题使用，解答题还是按错位相减法步骤书写解答题还是按错位相减法步骤书写，只只是在后面计算结果时使用是在后面计算结果时使用，保证结果的准确性保证结果的准确性。要点三、掌握一些常见数列的前要点三、掌握一些常见数列的前 n 项和公式项和公式 1.2)1(321nnn；2.21 35(21)nn 3.6)12)(1(3212222nnnn；要点诠释

7、：要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.类型一：公式法类型一：公式法 例例 1设数列 na的通项为*27(),nannN则1215|+|aaa=【解析】由0,na 得7,2n取4,n 则1215|+|aaa 1234515=()(+)(135)(135+23aaaaaa）1=9+1+232（）12=153.1已知 na是首项为 1 的等比数列，nS是 na的前 n 项和，且369,SS则数列1na的前 5 项和为 【解析】由题意知，显然1q 123123456,9()aaaaaaaaa 123456,8()aaaaaa 31231238()()aaaaaa q 12,2nn

8、qa，01412511111131+22216aaa 典例与分析典例与分析 举一反三举一反三 高效课堂 源于优教 5 高中数学课程 类型二：倒序相加法求和类型二：倒序相加法求和 例例 2求和：.【解析】法一：则 +有：法二：.1求和.【答案】3521lnlnlnlnnnSxxxx3521lnlnlnlnnnSxxxxln3ln5ln(23)ln(21)lnnSxxxnxnx(21)ln(23)ln5ln3lnlnnSnxnxxxx22 ln2 ln2 ln2 lnnSnxnxnxnx2lnnSnx3521lnlnlnlnnnSxxxx3521lnlnlnlnnnSxxxx3521lnnx xx

9、x1 3 5(21)lnnx 1 35(21)lnnx 2lnnx222sin 1sin 2sin 89S 222sin 1sin 2sin 89S 222sin 89sin 88sin 1S 222cos 1cos 2cos 892222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S 89892S 典例与分析典例与分析 举一反三举一反三 官网： 6 类型三：错位相减法类型三：错位相减法 例例 3设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100:1）求数列an，bn的通项公式；（2

10、）当 d1 时，记，求数列cn的前 n 项和 Tn 【解析】（1）由题意有，111045100,2,ada d即112920,2,ada d 解得119,122.9aadd或故111(279),219229().9nnnnnnananbb 或（2）法法 1：由 d1，知 an=2n1，bn=2n1，故1212nnnc，于是2341357921122222nnnT，.-可得，故.法法 2：求和通项：()nnSAnB qB 求得1c=1，2c=32；得1T=1，2T=52，可得方程组1221()1213(2)()22 TABBTABB A=-4,B=-6，.nnnacb23451135792122

11、22222nnnT221111212323222222nnnnnnTnT12362nnnT12362nn典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 7 高中数学课程 1求数列的前项和.【答案】，2已知数列an 的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且 an=bn+bn+1。（）求数列bn的通项公式；（）令 求数列cn的前 n 项和 Tn.【解析】（1）由题意知当 n2 时，an=SnSn1=6n+5，当 n=1 时，a1=S1=11，所以 an=6n+5。设数列bn的公差为 d，由112223abbabb，即111121723bdbd，可解得 b1=4，d=3。所以 bn=3n+1

12、。（2）由（1）知，又 Tn=c1+c2+c3+cn，得 Tn=3 2 22+3 23+4 24+(n+1)2n+1，2Tn=3 2 23+3 24+4 25+(n+1)2n+2，两式作差，得 1 2 3 4,2 4 8 162nnnnS1234248162nnnS 11123424816322nnnS11111111(1)122482222nnnnnnnS11222nnnnS1(1).(2)nnnnnacb11(66)3(1)2(33)nnnnncnn举一反三举一反三 官网： 8 所以 Tn=3n 2n+2 类型四：裂项相消法类型四：裂项相消法 2.11112(2)1 22 31已知数列的前

13、 项和为，求证：数列为等差数列；求和：例例4.4.anSSnnnnanna aa aaann【解析】（1）11(1)(2)nnnSnaSSn221(1)(1)(2)nnannn 21nan 121(21)2nnaann，即数列 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)21nan，111111()(23)(21)2 2321nnaannnn 122311111 111111()2 13352321nna aa aaann=111(1)22121nnn【总结升华】1本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有

14、明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.2在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：；)11(1)(1knnkknn典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 9 高中数学课程 若为等差数列，公差为 d，则；，.1求数列，的前 n 项和.【答案】2求和:【答案】,类型五：分组转化法求和类型五：分组转化法求和 na111111()nnnnaad aannnn111)(11nknknkn11212313211nnnS11nnannn111231321211nnSnnn132231211n)(21

15、132112111Nnn)111(2)1(22)1(1211kkkkkkkak)1(2432322212nnSn111111112()()()()1223341122(1)11nnnnn举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 官网： 10 例例 5已知数列 nx的首项13x，通项2nnxpn q（*nN，,p q是常数），且145,x x x成等差数列（1）求,p q的值；（2）求数列 nx的前 n 项和nS.【解析】（1）232(164)2325pqpqpqpp 解得11qp （2）12212(21)(22)+(2)nnSxxxn =12(22+2)(1 23+n)n =1(1)222nn

16、n 【总结升华】1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.1求和.【答案】(1+2+3+n)+=2已知数列an的前 n 项和 Sn22nn，nN*12312(222.2)2(123.)2(1 2)(1)21 2222nnnnn nnn na nbnnabnnS11111232482nn11111232482nnSn111242n(1)1122nn n 举一反三举一反三 高效课堂 源于优教 11 高中数学课程 ()求数列an的通项公

17、式；()设 bnnnaan)1(2，求数列bn的前 2n 项和【答案（1）当 n1 时，a1s11，当 n2 时，ansnsn12)1()1(222nnnnn，数列an的通项公式是 ann（2）由（1）知，bn2n+(1)nn，记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(21+22+22n)+(1+23+4+2n)21)21(22n+n22n+1+n2 数列bn的前 2n 项和为 22n+1+n2 例例 6已知数列的前项和，求，的值.【解析】方法一：方法一：由 方法二：方法二：由 当为奇数，时，当为偶数，时，【总结升华】1对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2对正负

18、相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结果 nan11 5 9 13 1721.(1)(43)nnSn 15S22S1(1)(43)nnan 158(1 57)7(553)1 9.(4 153)5 13.(4 143)2922S2211(1 81)11(585)1 9.(4 21 3)5 13.(4 223)4422S 1(1)(43)nnan nnN1(43)(41)4nnaann nnN1(43)(41)4nnaann 151(59)(13 17)(21 25).(5357)1 7 429S 22(1 5)(9 13)(1721).(81 85)11(4)44S n)1(1n)

19、1(nSn典例与分析典例与分析 举一反三举一反三 官网： 12 1求，的前 50 项之和以及前项之和.【答案】（1）设，则数列为等差数列，且是的前 25 项之和，所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.1（2017江苏）等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3=，S6=，则 a8=【解析】设等比数列an的公比为 q1，S3=，S6=，=，=，解得 a1=，q=2则 a8=32 2（2017北京）若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则=【解析】等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，设等差数列的公差为 d，等比数列的

20、公比为 q 可得：8=1+3d，d=3，a2=2；8=q3，解得 q=2，b2=2可得=1 1已知等差数列an的前 n 项和 Sn，若 a2+a3+a10=9，则 S9=（）212223242(1)nn50SnnS22(21)(2)41kbkkk kb50S kb25T5025253(4 25 1)12752STn2()nk kN(341)2nkkkST1(21)(1)2kkn nn21()nkkN2221(1)(21)(1)22nkn nSTnkknn nn 0 ln2ln391ln3nnn 综合提升综合提升 考场直播考场直播播反三播反三 高效课堂 源于优教 13 高中数学课程 A27 B1

21、8 C9 D3【解析】设公差为 d，则 3a1+12d=9，a1+4d=a5=3，S9=9a5=27，故选：A 2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6a1=15，则 S7=（）A19 B20 C21 D22【解析】S6a1=15，5a1+d=15，即 a1+3d=3，S7=7a1+d=7（a1+3d）=21，故选：C 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a1+a3=，且 a2+a4=，则等于（）A4n1 B4n1 C2n1 D2n1【解析】等比数列an的前 n 项和 Sn，且 a1+a3=，a2+a4=，两式相除可得公比 q=，a1=2，an=，Sn=4（1），=2n1，故选：

22、D 4数列满足，且（），则数列的前 10 项和为 。【解析】由题意得：所以 5已知函数 f(x)log2x，若数列an的各项使得 2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4 成等差数列，则数列an的前 n 项和 Sn_.【解析】设等差数列的公差为 d，则由题意，得 2n42(n1)d，解得 d2，于是 log2a14，log2a26，log2a38，从而 a124，a226，a328，.易知数列an是等比数列，其公比214aqa，所以424116(41)4 13nnnS 6 求数列12，34，58，212nn，的前n项和nS.【解析】135721248162nnnS，11135232124

23、81622nnnnnS na11a11naann*Nn1na112211(1)()()()1212nnnnnn naaaaaaaann 1011112202(),2(1),11111nnnSSannnn 官网： 14 111112222211121122481622222nnnnnnnnSS，故2121322nnnnS.7已知数列1，3a，25a，1(21)nna，求此数列前n项和nS.【解析】12)12(531nnanaaS，当0a时，1nS 当1a时，21(21)1 35(21)2nnnSnn .当0a且1a时，nnnananaaaSa)12()32(53132 由-得：2311(1)1(

24、2222)(21)2(1)1(21)1nnnnnaSaaaanaaanaa 22()1(21)(1)1nnnaanaSaa.8在等差数列an中，已知公差 d2，a2是 a1与 a4的等比中项()求数列an的通项公式；()设21nnnab，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn【解析】()a2是 a1与 a4的等比中项，a22a1a4，在等差数列an中，公差 d2，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a13 2)，化为，解得 a12 ana1(n1)d2(n1)22n()121nnabnnn，Tnb1b2b3b4(1)nbn1(11)2(21)(1)nn(n1)当 n2k(kN*)时，b2kb2k12k(2k1)(2k1)(2k11)4k Tn(b2b1)(b4b3)(b2kb2k1)4(12k)高效课堂 源于优教 15 高中数学课程 2212214nnkkkk 当 n2k1(kN*)时，Tn(b2b1)(b4b3)(b2k2b2k3)b2k1 1211nnnn 212n 故*2*1221222TNkknnNkknnnn，