第04讲 数列求通项公式-教师版.pdf

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1、高效课堂 源于优教 1 高中数学课程 第 04 讲 数列求通项公式 1数列 an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)证明：由已知可得an1n1ann1，即an1n1ann1，所以ann是以a111 为首项，1 为公差的等差数列 (2)解：由(1)得ann1(n1)1n，所以 ann2.从而 bnn 3n。Sn1 312 323 33n 3n，3Sn1 322 33(n1)3nn 3n1.得，2Sn31323nn 3n13（13n）13n 3n1（12n）3n132.所以

2、Sn（2n1）3n134.课前课前诊断诊断 官网： 2 一、数列通项公式求法数列通项公式求法（1）常规公式法）常规公式法：已知数列的前项和nS与na的关系，可用公式 2111nSSnSannn求解；注意：单独讨论 n=1 的情况，只要 n-1 作为下标存在，n 必须大于等于 2。（2）累加法）累加法：适用于已知)(1nfaann（)(nf可求和）的情况；则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n两边分别相加得 111()nnkaaf n（3）累乘法）累乘法：适用于已知)()(1nfnfaann要可求积）的情况；即1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff

3、naaa，；两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka（4）待定系数法）待定系数法：qpaann1，通过配凑可转化为：1121()()nnaf naf n，那么数列)(1nfan 即为以2为公比的等比数列。nnnqpaa1，通过配凑可转化为：)(211nnnnqaqa，那么数列nnqa即为2为公比的等比数列。（5）取倒数法）取倒数法：关于通项的递推关系式变形后含有1nna a项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1nna a后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出na（6）换元法）换元法（7）阶差法）阶差法 n知识要点一知识要点一 高效课堂 源于优教 3 高中数学课程 一累加法

4、一累加法 1适用于：适用于：1()nnaaf n-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若1()nnaaf n(2)n，则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n 例例 1已知数列 na满足11211nnaana，求数列 na的通项公式。【解析】由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列 na的通项公式为2nan。典例与

5、分析典例与分析 官网： 4 1已知数列 na满足112 313nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】解法一：由12 31nnnaa 得12 31nnnaa 则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 解法二：132 31nnnaa 两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 112232112232111122122()()()()3333333

6、3212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan 举一反三举一反三 高效课堂 源于优教 5 高中数学课程 二、累乘法二、累乘法 1适用于：1()nnaf n a-这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 例例 3已知11a,1()nnnan aa*

7、()nN,求数列na通项公式.【解析】：1()nnnan aa,11nnanan,又有321121(0,2)nnnnaaaaaana aa=123n 12n-1=n,当1n时11a，满足nan，nan.例例 4设 na是首项为 1 的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，），则它的通项公式是na=_【解析】已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa 0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann 2n时，nnaann11 112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1 典例与分析典例与分析 官网： 6 1已知数列na满足112

8、31123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。【解析】因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnana n 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan 。所以，na的通项公式为!.2nna 三、待定系数法三、待定系数法 适用于适用于1()nnaqaf n 基本思路是转化为等差数列或等

9、比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如0(,1cdcaann,其中aa 1)型（1）若 c=1 时，数列na为等差数列;（2）若 d=0 时，数列na为等比数列;（3）若01且dc时，数列na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 7 高中数学课程 待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得 dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann 因此数列1cdan构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以 11)1(

10、1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann 规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann 例例 5已知数列 na中，111,21(2)nnaaan，求数列 na的通项公式。【解析】解法一：121(2),nnaan 112(1)nnaa 又112,1naa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 12nna，即21nna 解法二：121(2),nnaan 121nnaa 两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法

11、的 2形如：nnnqapa1 (其中 q 是常数，且 n0,1)若 p=1 时，即：nnnqaa1，累加即可 官网： 8 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i 两边同除以1np目的是把所求数列构造成等差数列 即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型 1，累加求通项 ii两边同除以1nq 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11然后转化为类型 5 来解，iii待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11nnnnpapqa通过比较系数，求出，转化

12、为等比数列求通项 注意：应用待定系数法时，要求 pq，否则待定系数法会失效。例例 6已知数列 na满足11124 31nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna 是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna ，即114 35 2nnna 解法二（两边同除以1nq）：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略 解法三（两边同除以1np）：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略 高效课堂 源于优教 9 高中数学

13、课程 1已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】设1152(5)nnnnaxax 将123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnnnnaxax ，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得3 52,1,xxx则代入式得1152(5)nnnnaa 由1156 510a 及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是

14、等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。2已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。【解析】设1123(2)nnnnaxyaxy 将135 24nnnaa 代入式，得 135 2423(2)nnnnnaxyaxy 整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得 115 223(5 22)nnnnaa 由115 221 12130a 及式，得5 220nna ，则115 2235 22nnnnaa ，故数列5 22nna 是以115 221 1213a 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此15 22

15、13 3nnna，则113 35 22nnna。举一反三举一反三 官网： 10 四、对数变换法四、对数变换法 适用于适用于rnnpaa1(其中其中 p,r 为常数为常数)型型 p0，0na 例例 7设正项数列 na满足11 a，212 nnaa（n2）求数列 na的通项公式【解析】两边取对数得：122log12lognnaa-=+，122log12(log1)nnaa，设2log1nanb=+，则12nnbb 是以 2 为公比的等比数列，112log11b=+=111 22nnnb，12log12nan-+=，12log21nan，1212nna-=1已知数列na满足512 3nnnaa，17

16、a，求数列na的通项公式。【解析】因为5112 37nnnaaa，所以100nnaa，。在512 3nnnaa 式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 将式代入式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255x nxyxny，则 lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy 代入式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan 由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 及式，

17、得lg3lg3lg2lg04164nan，nb举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 11 高中数学课程 则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg

18、2)5lg3lg3lg2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。五、倒数变换法五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例例 8已知数列 na满足112,12nnnaaaa，求数列 na的通项公式。【解析】求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan 1已知数列an满足 a11，ana

19、n1nanan1(nN*)，则 an_【解析】2n2n2。提示：倒数变换 举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 典例与分析典例与分析 官网： 12 六、换元法六、换元法 适用于含根式的递推关系适用于含根式的递推关系 例例 9已知数列 na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列 na的通项公式。【解析】令124nnba，则21(1)24nnab 代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131

20、243124 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 2 111()()3 423nnna。七、阶差法（逐项相减法）七、阶差法（逐项相减法）例例 10 已知数列 na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,a a a成等比数列，求数列 na的通项公式。【解析】对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa 当 n=1 时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a 或12a 高效课堂 源于优教 13 高中数学课程 当 n2 时，1111(1)(2)6nnnSaa -

21、整理得：11()(3)0nnnnaaaa na各项均为正数，13nnaa 当11a 时，32nan，此时2429aa a成立 当12a 时，31nan，此时2429aa a不成立，故12a 舍去 所以32nan 1已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2nan，则数列an的通项公式为_【解析】由于 Sn2nan，所以 Sn12(n1)an1，后式减去前式，得 Sn1Sn2an1an，即 an112an1，变形为 an1212(an2)，则数列an2是以 a12 为首项，12为公比的等比数列又 a12a1，即 a11则 an2(1)(12)n1，所以 an2(12)n1 2已知数列an的前

22、 n 项和为 Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3 Ban2n3 Can1，n1，2n3，n2 Dan1，n1，2n3，n2【解析】当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn12n3，由于 a1的值不适合上式，故选 C 1（2017新课标）在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有 7层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A6 B5 C4 D3【解析】设塔顶的 a1盏灯，考场直播考场直播播播举一反

23、三举一反三 官网： 14 由题意an是公比为 2 的等比数列，S7=381，解得 a1=3故选：D 2（2017新课标）设数列an满足 a1+3a2+（2n1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和【解析】（1）数列an满足 a1+3a2+（2n1）an=2n n2 时，a1+3a2+（2n3）an1=2（n1）（2n1）an=2an=当 n=1 时，a1=2，上式也成立 an=（2）=数列的前 n 项和=+=1=1已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则=（）A.B.C.D2 2等差数列的前 n 项和为，且=6，=4，则公差 d 等于（）A1 B C-2 D 3 3设

24、数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。na3a9a25a2a1a21222nanS3S1a53nan,nS11,a 142nnSa12nnnbaa nbna综合提升综合提升 高效课堂 源于优教 15 高中数学课程 参考答案：B C 3.【解析】（I）由及，有 由，则当时，有 得 又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列 ，11,a 142nnSa12142,aaa21121325,23aabaa142nnSa2n142nnSa111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa12nnnbaa12nnbb nb13b 1123 2nnnnbaa 113224nnnnaa2nna12341331(1)22444nnann2(31)2nnan